河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学（四）试题

河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学（四）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 6．下列函数中，满足“，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 8．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（    ）． A．数据，，…，的平均数是7 B．数据，，…，的方差是16 C．数据，，…，，，，…，的平均数为3 D．数据，，…，，，，…，的方差为4 10．已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 11．在长方体中，，为的中点，为线段上的动点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A． B．三棱锥的体积是定值 C．球与该长方体的公共部分的体积为 D．的周长的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 . 13．在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米． 14．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 16．如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面． (1)证明：； (2)若，点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； (2)若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 18．已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 19．已知 (1)讨论的单调性 (2)对于恒成立；求的取值范围 (3)设，为函数的两个零点；证明． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学（四）试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D D C C ABD ABC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】对于A，表示实数集，所以，故A正确； 对于B，表示有理数集，为无理数，所以，故B正确； 对于C，表示有理数集，则，所以C正确； 对于D，表示空集，而表示该集合有一个元素，所以，故D错误； 故选：D 2．B 【分析】根据复数的除法运算化简. 【详解】由题意得，. 故选：B 3．D 【分析】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可. 【详解】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 4．B 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 5．D 【分析】根据双曲线的定义和正弦定理得到与，再结合余弦定理即可求出值. 【详解】 设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：D. 6．D 【分析】构造函数则单调递减，利用函数图象，导数，依次判断函数的单调性即可. 【详解】“，当时，都有等价于，当时，都有.令则单调递减. 对于A，，，故该函数在上不单调，不满足题意； 对于B, ，该函数在上不单调，不满足题意； 对于C，，在上单调递增，在上单调递增，又，故在上单调递增，不满足题意； 对于D，， 时，，在上单调递减； 时，显然在上单调递减；又， 故在上单调递减，满足题意. 故选：D 7．C 【分析】根据直线的斜率关系，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，再结合抛物线的焦点弦长公式，即可求的最小值. 【详解】设，，，，直线的方程为， 联立方程，得， ∴，同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知， 当且仅当（或）时，取等号. 故选：C. 8．C 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 9．ABD 【分析】应用均值、方差的性质求新数据的均值和方差判断A、B，应用分层抽样的均值和方差求法判断C、D. 【详解】由题意，， A：由题设，数据平均数为，对； B：由题设，数据方差为，对； C：由题设，数据平均数为，错； D：由题设，数据方差为 ，对； 故选：ABD 10．ABC 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合焦点弦公式列不等式求出的范围即可. 【详解】由题可知，的方程为，联立整理得， 则，得. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】对于A，根据条件建系，设，利用向量的坐标运算求得，由求出即可判断；对于B，通过证明平面，推得点到平面的距离为定值，结合为定值，即可判断；对于C，取的中点，证明，即得为经过 四点的球的球心，结合点的位置可得该球与长方体公共部分的体积为球体积的，计算即可判断；对于D，根据，且，可得点与点关于平面对称，故有 ，要使的周长最小，只需使取最小值，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可判断结论. 【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知，则，. 可得， 设，则 因为平面过点与直线垂直并交于点，所以， 又，则， 展开式子得：，解得.即， 可得故A错误； 对于B，在长方体中，易得，因，则平面， 又因，则点到平面的距离为定值，而点的位置固定，即的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，由，则，又在平面上的射影为， 在正方形中，，故，即点为的交点， 下面证明的中点即经过 四点的球的球心. 如图，因是的中点，则，由上分析已得， 又，则，即， 故的中点即经过 四点的球的球心， 由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的，即，故C正确； 对于D，因的周长为，因为的中点，则， 于是，依题意，只需求的最小值. 由上分析知点与点关于平面对称，为平面内的动点，则，， 因点与点在平面的两侧，故当且仅当三点共线时，取得最小值为， 此时，的周长取得最小值.故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 13． 【分析】根据圆台的体积公式计算． 【详解】由已知圆台的上底半径为米，下底半径为米，母线长为米，所以高为（米）， 体积为（立方米）． 故答案为：． 14． 【分析】利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案. 【详解】，令，， 则 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，故， 故，当且仅当时，等号成立， 令，， 则， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 故时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也时最小值，最小值为， 设， 由基本不等式得， ， 当且仅当，，时，等号成立， 故，则． 故答案为： 【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，则根据面面垂直先证明线面垂直，进而得到线线垂直，即证明平面. （2）建立空间直角坐标系，确定各个点的坐标，然后求出平面与平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【详解】（1）过点作交于，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. （2）由（1）可知平面，因为点到平面的距离为， 所以. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以， 即，， 令，则. 所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为 .    17．(1)0.9 (2)分布列见解析，1.8 【分析】（1）利用对立事件概率和为1的性质求解至少完成一项核心任务的概率即可； （2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望. 【详解】（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率． （2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.01 0.18 0.81 18．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【详解】（1）记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． （2） （ⅰ）不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 19．(1)当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【详解】（1）定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. （3）由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $