精品解析：北京市101中学怀柔分校教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

北京市101中学怀柔分校教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 2025年是人工智能教育在中国基础教育阶段加速推进和全面普及的关键之年，多项重要的政策和举措落地实施．在初中阶段，学生要能够将作为解决实际问题的工具．以下是常见的人工智能软件的图标，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年10月，在北京怀柔科学城承建的国家重大科技基础设施建设项目“高能同步辐射光源（HEPS）项目通过工艺验收．在材料科学领域取得了重大突破．科研人员利用该装置，成功观测到一种新型半导体材料的微观结构．科研人员测得该新型半导体材料中一个关键的原子间距为0.00000000056米．将这个数据用科学记数法表示正确的是（　　） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列线段或直线中，能把三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线 C. 三角形的高 D. 三角形任意一边的垂直平分线 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 6. 下列因式分解结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A. 2 B. C. 不存在 D. 0 8. 如图，为等边三角形，点是的中点，点在边上（点与点，不重合），连接，与相交于点，点是上任意一点，是的中点，点在的延长线上，且满足，连接，．下列结论中，①；②；③；④．正确结论有（　　） A. ②③ B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是______． 10. 如图，点D延长线上一点，若，，则________． 11. 若多项式是一个完全平方式，则实数的值为_____________． 12. 若分式的值为0，则x的值是______． 13. 如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 14. 已知等式：，则________． 15. 如图，在中，，D为中点，，于点C，且，延长线于点F，则面积_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 三、解答题（本题共60分，其中第17-24小题每小题5分，第25小题6分，第26、27小题，每小题5分） 17. 计算：． 18. 分解因式：． 19. 先化简再求值，已知，求代数式且的值． 20 计算：． 21. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 22. 下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． （3）如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 23. 京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 24. 如图，在中，，，D为中点，E为延长线上一点，．求证：． 25. 小明在研究下面的问题： 一个水壶里有1L水，按如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的，以此类推，第n次倒出的水量是的，按照这种倒水方式，求第n次后倒出的总水量（用含n的代数式表示）． 小明思考：求倒出的总水量需把每次倒出的水量相加，得出代数式．小明认为要化简这个代数式，应先研究代数式，从而找到一般的规律解决问题，他进行了如下的拆分，示例：，因此拆分结果为． （1）请根据上面的运算规律直接写出拆分结果 ； （2）请用示例方法拆分 （写出拆分过程）； （3）若第n次后倒出的总水量为，求n的值． 26. 在中，，，点P是直线上方一点，过点B，P作直线，直线不与线段相交，令，过点A作于点E，在射线上取点D，使，连接，． （1）如图1，当时， ①根据题意在图1中补全图形，并求的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）当时，直接写出线段，，之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． （1）在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； （2）直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； （3）已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市101中学怀柔分校教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 2025年是人工智能教育在中国基础教育阶段加速推进和全面普及的关键之年，多项重要的政策和举措落地实施．在初中阶段，学生要能够将作为解决实际问题的工具．以下是常见的人工智能软件的图标，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形，， 故选：B． 2. 2025年10月，在北京怀柔科学城承建的国家重大科技基础设施建设项目“高能同步辐射光源（HEPS）项目通过工艺验收．在材料科学领域取得了重大突破．科研人员利用该装置，成功观测到一种新型半导体材料的微观结构．科研人员测得该新型半导体材料中一个关键的原子间距为0.00000000056米．将这个数据用科学记数法表示正确的是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.00000000056米用科学记数法表示为米． 故选：A． 3. 下列线段或直线中，能把三角形的面积分成相等的两部分的是（　　） A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线 C. 三角形的高 D. 三角形任意一边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质解答即可． 【详解】三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形面积问题，关键是根据三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分解答． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 6. 下列因式分解结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C． 7. 已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A. 2 B. C. 不存在 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 8. 如图，为等边三角形，点是的中点，点在边上（点与点，不重合），连接，与相交于点，点是上任意一点，是的中点，点在的延长线上，且满足，连接，．下列结论中，①；②；③；④．正确结论有（　　） A. ②③ B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的内角性质及外角性质可直接判断①；倍长中线，证明，可得，进一步导角可得，再证明，可得，结合全等结论进而可判断②；由以上全等关系可得面积关系，从而可判断③；由题意可知点、关于直线对称，在中，由三边关系可得（仅当、重合时等号成立），故可判断④． 【详解】解：为等边三角形，在线段上且不与、重合， ， ①错误； 如图所示，延长至，使得，连接， 中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，即②正确； ， ， 又， ，即③正确； 为的对称轴， 点、关于直线对称， 对上任一点，有，对上任一点，亦有， 故，， 则在中，由三边关系可得（仅当、重合时等号成立）， 即，故④正确， 综上，②③④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质及其辅助线作法，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的三边关系，熟练掌握以上内容并能灵活推理是解题关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的基本概念是解题关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，解不等式即可． 【详解】解：由分式有意义， 则分母， 解得． 故答案为：． 10. 如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 【答案】103 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由点D是延长线上一点，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，求得，即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，点D是延长线上一点， ， ，， ， 故答案为：103． 11. 若多项式是一个完全平方式，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，符合这个形式的多项式是完全平方式，据此进行解答即可． 【详解】解：∵根据条件可知多项式是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 12. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 13. 如图，C是中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 【详解】解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 14. 已知等式：，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，D为中点，，于点C，且，延长线于点F，则的面积_____． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三线合一，关键是证明． 由三线合一得到，，，证明，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 16. 如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称路径最短，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，面积法求三角形的高，是解题的关键． 过B作于Q，交于P，则此时的值最小，且的最小值，根据轴对称的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过B作于Q，交于P， 则此时的值最小，且的最小值， ∵，点C为点B关于y轴对称的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本题共60分，其中第17-24小题每小题5分，第25小题6分，第26、27小题，每小题5分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解：原式＝11 ＝1． 18. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 19. 先化简再求值，已知，求代数式且的值． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和运算法则来计算． 根据运算法则先对整式进行化简，再由得到． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴． ∴原式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 22. 下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． （3）如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全的图形如图所示； 【小问2详解】 解：如图2，连接，． 在与中， ， ， ． 即射线平分； 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：交于E，交于F，， ∴平分（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 23. 京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 【答案】该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时 【解析】 【分析】设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时，根据题意列方程求解即可． 本题考查分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时． 24. 如图，在中，，，D为中点，E为延长线上一点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的判定与性质，关键是根据等边三角形的判定得出是等边三角形解答． 根据等边三角形的判定得出是等边三角形，进而利用等边三角形的性质和三角形外角性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 小明在研究下面的问题： 一个水壶里有1L水，按如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的，以此类推，第n次倒出的水量是的，按照这种倒水方式，求第n次后倒出的总水量（用含n的代数式表示）． 小明思考：求倒出的总水量需把每次倒出的水量相加，得出代数式．小明认为要化简这个代数式，应先研究代数式，从而找到一般的规律解决问题，他进行了如下的拆分，示例：，因此拆分结果为． （1）请根据上面的运算规律直接写出拆分结果 ； （2）请用示例方法拆分 （写出拆分过程）； （3）若第n次后倒出的总水量为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，理解题中所给计算方法是解题的关键． （1）根据题中发现的规律即可解决问题； （2）根据题中所给示例进行拆分即可； （3）根据题意，得出关于n的等式，再据此进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， 化简得，1， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 所以n的值为2025． 26. 在中，，，点P是直线上方一点，过点B，P作直线，直线不与线段相交，令，过点A作于点E，在射线上取点D，使，连接，． （1）如图1，当时， ①根据题意在图1中补全图形，并求的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）当时，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①图见解析，；②线段，，之间的数量关系是：，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意补全图形即可，根据三角形外角性质得，再根据即可得出的度数；②在的延长线上截取，连接，则，证明，，进而依据“”判定和全等得，再根据即可得出线段，，之间的数量关系； （2）点在线段上，在的延长线上截取，连接，则，先证明，进而依据“”判定和全等得，再根据即可得出线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：①补全图形如图1①所示： ，且，， 点在的延长线上， 是的外角， ， ， ， ； ②线段，，之间的数量关系是：，证明如下： 在的延长线上截取，连接，如图1②所示： ， 于点， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 由①的结论可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴点D在线段上，在的延长线上截取，连接，如图2所示： ， 于点，， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即线段，，之间的数量关系是：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 27. 在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． （1）在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； （2）直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； （3）已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）S （2） （3）或 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，中点坐标公式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）点关于x轴的对称点，，从而得出S是点C关于（点B，x轴）的中似点， （2）线段关于直线l的对称线段是，其中，线段关于直线l的对称线段是，其中，当时，，当时，，进而得出结果； （3）当P关于的对称点在y轴时，，此时，当点P关于的对称点在y轴上时，，此时，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图1， ∵点关于x轴的对称点，， ∴S是点C关于（点B，x轴）的中似点， 故答案为：S； 【小问2详解】 如图2， 线段关于直线l的对称线段是，其中， 当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 如图， 设直线与直线的交点记作， 点B关于直线m的对称点，点E关于直线m的对称点， 当y轴上只有两点时，P关于上一点的对称点在y轴上， 当P关于的对称点在y轴时，，此时， 当点P关于的对称点在y轴上时，，此时， ∴， 如图， 当x轴上只有两点时， 当P关于的对称点在x轴时， ，此时， 当P关于的对称点在y轴时， ，此时， ∴， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $