精品解析：北京市北京实验学校（海淀）2024-2025学年八年级上学期数学期末考试B卷

实验学校（海淀）2024-2025学年度八年级上学期期末考试 数学B卷（2025.1） 考试时间∶ 100分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，26道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示．设他们这10次射击成绩的方差为、，下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN=20m，那么A、B两点的距离是( ) A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m 6. 小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 7. 如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是_______． 10. 如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 11. 若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是______． 12. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 13. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 14. 如图，在中，，，垂直平分交于点D，连接．若，则的长度是______． 15. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 16. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 三、解答题（第17题6分，第18、19、20、21题5分，第22、23、24题6分，第25、26题8分，共68分） 17. 如图，在等边中，平分交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 18. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． （1）求该一次函数的解析式； （2）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 19. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． 20. 如图，在中，，． （1）作出线段的中点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初二的测试成绩在C组中的数据为：80，86，88． 初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86． 年级 平均数 中位数 众数 初二 88 a 98 初三 88 88 b （1） ______， ______； （2）通过以上数据分析，你认为初二、初三年级中哪个年级学生掌握防疫知识更好？请写出一条理由； （3）若初二、初三共有3000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？ 22. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出时，的取值范围． （3）求四边形的面积． 23. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 24. 某游泳池的纵截面如图所示，深水区和浅水区的最大水深分别为和． 向池内持续注水，注水速度保持不变，在注水过程中，兴趣小组记录了部分注水时间t及其对应的深水区水深，列出下表： 注水时间/小时 0 1 2 3 4 5 6 16 24 深水区水深/dm 0.0 1.8 3.3 4.6 5.9 7.0 8.0 a 20.0 （1）游泳池被注满水共需_______小时； （2）在下图的平面直角坐标系中，绘制h与t之间的函数图象．由图象，当注水时间为小时之时，深水区水深约为 （保留到小数点后一位）； （3）当时，h与t的关系式为__________，表中a的值是_______； （4）为了维修清理水池，对满水的泳池进行放水，若放水时的速度与注水时的速度相同，则经过20小时深水区水深为_________． 25. 如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． （1）①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 定义：若点M为线段的中点，线段外存在一点P，线段上存在一点Q，使三角形为等边三角形，则称点P为线段的“合点”． （1）在平面直角坐标系中，点，则点，，，中，是线段的“合点”的有__________； （2）在平面直角坐标系中，点， ①若点是线段的“合点”，求n的值； ②若直线上存在线段的“合点”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验学校（海淀）2024-2025学年度八年级上学期期末考试 数学B卷（2025.1） 考试时间∶ 100分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共4页，共三道大题，26道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数概念，对于两个变量x、y，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此可得答案． 【详解】解；由函数的定义可知，四个选项中，只有B选项不能表示y是x的函数， 故选：B． 3. 甲和乙一起练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示．设他们这10次射击成绩的方差为、，下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合图形，乙的成绩波动比较大，则波动大的方差就大． 【详解】解：从图看出：甲选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，乙的波动较大，则其方差大， 故选：A． 4. 已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性问题，解一元一次不等式；根据，可得y随x增大而减小，则一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上且， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 5. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN=20m，那么A、B两点的距离是( ) A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质即可得出答案． 【详解】∵M,N分别是AC,BC的中点， ∴MN为的中位线． ∵MN=20m， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 6. 小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直方图，从直方图中有效地获取信息是解题的关键．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：小明同学一共统计了（人）；故①正确； 每天早晨跑步不足30分钟的有（人）；故②错误； 每天早晨跑步30~40分钟的人数最多；故③正确； 每天早晨跑步0~10分钟的人数最少；故④正确； 故选C． 7. 如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，先根据勾股定理分别求出，，的长，根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴边上的高为， 故选：B． 8. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 11. 若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，由图象所在的象限得到关于的不等式组是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的性质解答即可求解，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 故答案为：． 13. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 14. 如图，在中，，，垂直平分交于点D，连接．若，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．利用线段的垂直平分线的性质求出，，再求得为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质求出，由解答即可． 【详解】解：垂直平分交于点D，， ，， ， ， ,为等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示， AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 16. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（第17题6分，第18、19、20、21题5分，第22、23、24题6分，第25、26题8分，共68分） 17. 如图，在等边中，平分交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质得出，进而可得，则，，即可得证； （2）根据三线合一可得，进而根据是等边三角形,即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 ∴是等边三角形； 【小问2详解】 ∵是等边三角形，平分交于点， ∴， ∵是等边三角形； ∴ 即． 18. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． （1）求该一次函数的解析式； （2）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】（1） （2）点不在此函数图象上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴， ∴该一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：点不在此函数图象上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图象上． 19. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． 【答案】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，ADBC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中 ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【详解】略 20. 如图，在中，，． （1）作出线段的中点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图以及等边三角形的运用，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）分别以点A、点B为圆心，再以足够长的半径画弧相交，连接弧的交点，交于点D，此时点D即为所求； （2）首先根据点D为线段的中点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，在，由勾股定理解得，进而可得，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 如图，连接， 点D为线段的中点，，，， ，， ∴， 在，由勾股定理，可得， 即，整理可得， ∴（负值舍去）， ∴， ． 21. 某校德育处利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初二的测试成绩在C组中的数据为：80，86，88． 初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86． 年级 平均数 中位数 众数 初二 88 a 98 初三 88 88 b （1） ______， ______； （2）通过以上数据分析，你认为初二、初三年级中哪个年级学生掌握防疫知识更好？请写出一条理由； （3）若初二、初三共有3000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？ 【答案】（1）86，100 （2）初三对防疫知识的掌握更好，理由见解析． （3）估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有1200人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数、众数的定义，可以得到、的值，根据数据可知的值； （2）根据题目中的数据，可以从中位数、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可； （3）利用样本估计总体，用3000乘以样本中测试成绩达到90分及以上的所占的百分比即可． 【小问1详解】 由直方图可知，初二的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在组的第二个， 初二的测试成绩在组中的数据为：80，86，88， 中位数， 初的三测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86． 众数， 故答案为：86，100； 【小问2详解】 根据以上数据，我认为初三对防疫知识的掌握更好． 理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、众数均高于初二，说明初三掌握的较好． 【小问3详解】 （人）， 答：估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有1200人． 22. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出时，的取值范围． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式； （2）根据不等式的解集为直线在直线的下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的表达式； 小问2详解】 由函数图象可知：当时，直线在直线的下方， ∴时，的取值范围为； 【小问3详解】 ∵直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 23. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 24. 某游泳池的纵截面如图所示，深水区和浅水区的最大水深分别为和． 向池内持续注水，注水速度保持不变，在注水过程中，兴趣小组记录了部分注水时间t及其对应的深水区水深，列出下表： 注水时间/小时 0 1 2 3 4 5 6 16 24 深水区水深/dm 0.0 1.8 3.3 4.6 5.9 7.0 8.0 a 20.0 （1）游泳池被注满水共需_______小时； （2）在下图的平面直角坐标系中，绘制h与t之间的函数图象．由图象，当注水时间为小时之时，深水区水深约为 （保留到小数点后一位）； （3）当时，h与t的关系式为__________，表中a的值是_______； （4）为了维修清理水池，对满水的泳池进行放水，若放水时的速度与注水时的速度相同，则经过20小时深水区水深为_________． 【答案】（1）； （2）图见详解，； （3），； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，正确计算． （1）由表格即可求解； （2）描点、连线，观察图象可知注水时间为小时之时深水区水深； （3）当时，设，求出，将代入求解即可； （4）由表格可知排空水也需要24小时，放水经过20小时相当于注水4小时，由图表即可求解． 【小问1详解】 解：由表格得，游泳池被注满水共需小时； 故答案为：； 【小问2详解】 解：描点、连线，如图所示： 由图可知，当注水时间为小时之时，深水区水深约为； 故答案为：； 【小问3详解】 当时，设， 则，解得， ， 将代入得； 故答案为：，； 【小问4详解】 由题意可知注满水需要24小时，则排空水也需要24小时，放水经过20小时相当于注水4小时， 此时深水区水深为． 故答案为：． 25. 如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． （1）①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解； （2），证明见详解． 【解析】 【分析】（1）小红的解题方法是：过点作，，通过证明，即可求得；小黄的解题方法是：过点作交于点，通过证明，即可求得；小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接；通过证明，即可求得； （2）过点作，，通过证明，可得，，进而求解． 【小问1详解】 证明：小红的解题方法是：过点作，， ， 又平分，，， ，， 在四边形中， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 小黄的解题方法是：过点作交于点， 平分，， ， , ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，， 由（1）得， ，， ， ，， ，同理可得， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 26. 定义：若点M为线段的中点，线段外存在一点P，线段上存在一点Q，使三角形为等边三角形，则称点P为线段的“合点”． （1）在平面直角坐标系中，点，则点，，，中，是线段的“合点”的有__________； （2）在平面直角坐标系中，点， ①若点是线段的“合点”，求n的值； ②若直线上存在线段的“合点”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边三角形的性质及直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，设，由等边三角形的性质可得，利用勾股定理建立方程求解即可解答； （2）①根据题意可得，由点且点是线段的“合点”，可得点P在线段的垂直平分线上，求出，进而得到，再根据利用勾股定理建立方程即可求解；②设，，由等边三角形的性质可得点P在线段的垂直平分线上，得到，求出，由，得到，求出，再利用等边三角形的性质求出，即可解答． 小问1详解】 解：∵，点M为线段的中点， ∴，即， 设， ∵为等边三角形， ∴，即， ∵， ∴且， 解得，则在线段上，符合题意，即点是线段的“合点”； 同理， ∴且， 解得，则在线段上，符合题意，即点是线段的“合点”； 同理， ∴且， 解得，则不在线段上，符合题意，即点不是线段的“合点”； 同理， ∴且， 解得且， ∴与没有公共解，即点不是线段的“合点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵，点M为线段的中点， ∴，即， ∵为等边三角形，，点在线段上， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ②解：设，， ∵为等边三角形，点在线段上， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 如图，在等边中，过点作于点， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $