精品解析：北京丰台区2025--2026学年上学期八年级数学期末样题

八年级数学样题 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　) A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 1，2，3 D. 1，2，4 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．1+1=2，不能组成三角形，故A选项错误； B．1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确； C．1+2=3，不能组成三角形，故C选项错误； D．1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的求值，取特殊值可判断A、B、C；根据分式的基本性质可判断D． 【详解】解：A、取，则，，此时，不符合题意； B、取，则，，此时，不符合题意； C、取，则，，此时，不符合题意； D、把分式的分子和分母同时乘以a可得，原式成立，符合题意； 故选：D． 5. “破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 根据1皮秒秒，将400皮秒转换为秒，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒秒． 故选：A． 6. 在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 7. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论： ①点必在直线上； ②； ③点是直线上一动点，必有； ④线段的长度一定小于线段的长度． 以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点． 证明，然后即可证明，即可判断②；证明，则，即可判断①；由两点之间线段最短即可判断③；当时，由轴对称的性质得到，即可判断④． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴ ∴ ∵直线平分第一象限， ∴点必在直线上，故①正确； 点直线上一动点，必有，故③错误； 当时，由对称可得， 则点与点B重合，点与点重合，则，故④错误， ∴正确的有①②， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是分母， 解不等式得，故实数的取值范围是． 故答案为：． 10. 图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若，，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，再由代入计算即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. 如图，在中，，是边上的高，．则与的数量关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，在中分别根据所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】在中，， ， ， ， 又是边上的高， ，则， ，即． 故答案为：． 13. 如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 【详解】根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 14. 若关于的方程的解是，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义及解分式方程． 根据题意，将代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， 交叉相乘，得，即， 解得． 故答案为：8． 15. 如图，在中，，，的面积为27，线段的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为直线上的动点，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形面积公式，垂直平分线的性质，两点间线段最值，掌握两点间线段最短是解题的关键． 连接，根据等腰三角形三线合一可得，结合三角形面积可得，再由垂直平分线的性质可得，则． 【详解】连接， ，点为的中点， ，， ，解得， 为线段的垂直平分线，点为直线上的动点， ， 则的周长, 当在与的交点处时取等， 的周长的最小值为． 16. 甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 ①. ②. 乙 【解析】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 三、解答题（本题共60分，第17－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27题7分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】原式 ． 18 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式是解题的关键． 根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程解． 20. 如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握“”、“”证明三角形全等是解题的关键，同时熟记“”不能证明三角形全等． 根据题意可选择①②为条件，③作为结论，利用“”证明即可得出结论；选择②③为条件，①作为结论，利用“” 证明即可得出结论． 【详解】解：选择①②为条件，③作为结论． 在和中， ， ， ； 选择②③为条件，①作为结论． 在和中， ， ， ； 选择①③为条件，②作为结论则无法得出． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键，先算括号，然后算除法，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴对称图形（其中点分别是点的对应点）； （2）若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，和直线即为所求： 23. 下面是小刚同学设计“作一个角的平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使平分． 作法：①在的边上任取一点，并过点作的垂线（如图2）； ②在边上截取； ③过点作的垂线与直线交于点； ④作射线． 则平分． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：， ． 在和中， （___________）（填推理依据）． ． 即平分． 【答案】（1）见解析 （2）（或） ；． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作圆弧，交于，再以为圆心，为半径作圆弧，交于，再分别以为圆心，相同半径作圆弧即可作出垂线，交于点，连接即可； （2）根据全等三角形的判定补充证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：， ． 在和中， ， ， ， 即平分． 故答案为：（或） ；． 24. 无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱．某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由． 【答案】能满足订单需求，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒公顷农田，进而得到，解得，再计算各10台无人机每小时喷洒量，作出判断即可． 【详解】解：能满足订单要求，理由如下： 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， ， 交叉相乘得：，即， 解得， 即A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， 公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台， 则每小时可喷洒公顷农田， ， 答：能满足订单需求． 25. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． （1）小明的方法是从小到大逐一列举： 则小明列举的第8个“智慧数”是___________； （2）小华在小明列举的基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 设是正整数， ， 又是正整数， 为大于或等于3的奇数． 除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明． （3）用含有的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”___________（是正整数）． 【答案】（1）13 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解“智慧数”的定义是解题的关键． （1）根据题意可得12和13都是“智慧数”，据此可得答案； （2）设n是大于1的正整数，则，根据是“智慧数”，即可证明结论； （3）根据（2）所求可知除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴12和13都是“智慧数”， ∴小明列举的第8个“智慧数”是13； 【小问2详解】 证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； 【小问3详解】 解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为． 26. 如图，在中，，，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）作点关于直线的对称点，连接． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）①根据题意即可作图；②过点作交于点，先证明，得到为等腰直角三角形，则，由对称可得，然后证明，再由线段和差即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①如图，即为所作； ②线段之间的数量关系为：， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由对称可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． （1）若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； （2）若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； （3）若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，图形的“阶关联点”，解题的关键是理解题意． （1）根据图形的“阶关联点”定义直接计算即可； （2）根据图形的“阶关联点”定义，得到，结合线段纵坐标的范围求解即可； （3）根据题意， ，即等于的中点的纵坐标，根据当在上的顶点上时，求出此时的值，由此判断最大值或最小值，根据些取值是范围内连续的，求由得出结论． 【小问1详解】 设点，由点是点的“阶关联点”，可得 ，解得， 因此，点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 设线段上一点， ，， ， 点是线段的“阶关联点”， ，即， ， ， 即； 故答案为：； 【小问3详解】 点是点关于轴的对称点，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，且， 点是的“阶关联点”， ∵上存在点，使得，， 即，即等于的中点的纵坐标， 由图可知：当在上的顶点上时，取最大值或最小值， 若当点在点时，、都在原点，，但不存在， 若当点在点时，中，或， 或， 若当点在点时，中，或， 或， 综上所述：是最小值，是最大值， 即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学样题 第一部分 选择题 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　) A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 1，2，3 D. 1，2，4 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “破晓”是复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室科研团队研制的皮秒闪存器件，其擦写速度提升至400皮秒，实现了亚纳秒级操作，已知1皮秒等于秒，那么400皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 6. 在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论： ①点必在直线上； ②； ③点直线上一动点，必有； ④线段的长度一定小于线段的长度． 以上结论正确是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 图1是某平板电脑支架，图2是它侧面示意图，若，，则___________°． 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. 如图，在中，，是边上的高，．则与的数量关系是___________． 13. 如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 14. 若关于的方程的解是，则的值为___________． 15. 如图，在中，，，的面积为27，线段的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为直线上的动点，则的周长的最小值为___________． 16. 甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 三、解答题（本题共60分，第17－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解分式方程：． 20. 如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； （2）若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 23. 下面是小刚同学设计“作一个角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使平分． 作法：①在的边上任取一点，并过点作的垂线（如图2）； ②在边上截取； ③过点作的垂线与直线交于点； ④作射线． 则平分． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：， ． 在和中， （___________）（填推理依据）． ． 即平分． 24. 无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱．某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由． 25. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． （1）小明的方法是从小到大逐一列举： 则小明列举的第8个“智慧数”是___________； （2）小华在小明列举基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 设是正整数， ， 又是正整数， 为大于或等于3的奇数． 除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明． （3）用含有的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”___________（是正整数）． 26. 如图，在中，，，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）作点关于直线的对称点，连接． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． （1）若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； （2）若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； （3）若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $