第19章 二次根式 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

第十九章质量评估 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、 C、D的四个答案，其中只有一个是正确的. 1.下列式子属于二次根式的是 数 A.√-7 B.√3 c D.2 2.若代数式1 有意义，则实数x的取值范围是 ( x-2 A.x≥2 B.x≥1且x≠2 C.x>1且x≠2 D.x≥1 3.下列二次根式中，不能与√5合并的是 ) A.25 B.√/I5 C.√20 5 4.若a=(-√3)2，b=√(-3)严，则a,b的大小关系是 A.a=b B.a>b C.a<b D.a+b-0 5.估计2√6×(6- √仔)的值应在 ( ) A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间 必 6.如图，甲、乙、丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中， 算式的计算结果是有理数的有 (2-5) 2(2-⑧) 24-√-3) 甲 乙 丙 A.0张 B.1张 C.2张 D.3张 ! 7.将二次根式m 中根号外的m移到根号里为 A.-√-m B.√-m C.√m D.m 8.已知a,b在数轴上的位置如图，化简代数式√(a-1)严-√(a+b)下+|1-b的结果等于( 90123 A.-2b B.-2 C.-2a-b D.-2a 9.按一定规律排成的三角形数阵如图所示，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个 数是 () 1 √2√5 2√5√6 8 72√23√10 A.210 B.√4I C.5√2 D.√51 第1页（共6页） 10.对于一个正实数m,我们规定：用符号[√m]表示不大于√m的最大整数，称[√m]为m的根整 数，如：[√4]=2，[√11]=3.如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对11连续 求根整数2次，[√I]=3→[√3]=1，这时候结果为1.现有如下四种说法：①[√5]+[√6]的值 为4；②若[√=1，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数， 第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 255.其中错误的说法有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11计算：33-√2×√6= 12.若最简二次根式√2a+1和2√5能合并，则a的值为 13.若实数x,y满足y=√x-4+√4一x-2,则xy的立方根为 rb(a≤b), 14.已知非负数a,b,定义“★”的运算规则如下：a★b= 则7★（√2★√3）的值为 √a2-b(a>b), 15,若二次根式有意义，且关于：的方程，十23有正整数解，则符合条件的所有整 √3-m 数m的积是 16.材料一：若a是正整数，a除以6的余数为1，则称a是“余一数”.例如：13是正整数，且13÷6= 2…1,则13是“余一数”. 材料二：对于任意四位正整数p,p的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为 4.规定：Fp)-=台则346 (填“是”或“不是”)“余一数”；若四位正整数q是“余一 数”，q的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数 字的和大于十位数字与个位数字的和，√F(q)是有理数，则满足条件的最大q为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）： 17.计算： (1)√⑧-2(6-2)+√54： (2)(W7-3)2-(6-1)(√6+1). 第2页（共6页） 18.下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： N厚-2×(+后) =9-0×后+而×后第一步 =5-10十2…第二步 4 =⑤一8.…第三步 4 (1)从第 步开始出现错误，错误原因是 (2)写出正确的运算过程. 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或 推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）. 19.先化简，再求值：(26+”)产”其中a6满足+65=0. 第3页（共6页） 20.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为45d2和 80dm的正方形木板. (1)截出的两块正方形木板的边长分别为 dm, dm; (2)求剩余木板的面积： (3)木工师傅想从剩余的木板中截出长为2dm、宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出多少个这 样的木条？（参考数据：√5≈2.236） 45 dm 80dm 21.已知a=7,5,b=7,5,求下列各式的值： 2 2 (1)a2b-ab; (2)b+ a b 22.请你阅读下列材料，并完成相应的任务 我们已经知道（√13+3）（√13-3）=（√/13）-32=4. 因此将8分子、分母同时乘“丽一3”，分母就变成了4，这个过程就是分母有理化，例如： √/13+3 1 3-2 =√/3-√2 √3+√2（√/3十√2）（√3-√2） 1 (1)模仿材料中的计算方法，化简 √7+√6 √n+1+√m 1 1 2)计算：2+5↑5+M6+52026+302) =)(√2026+√3). 第4页（共6页） 23.阅读材料： 小庆在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3十2√2= (1十√2)2，善于思考的小庆进行了以下探索：设a十b2=(m十n√2)（其中a,b,m,n均为正整 数)，则有a十b√2=m十2n2+2mn√2..a=m2十2n2,b=2mn.这样小庆就找到了一种把部分 形如a十b2的式子化为平方式的方法， 请你仿照小庆的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3=(n十n√3)，用含m,n的式子分别表示a,b,得a= ,b= (2)若a-12√3=(m-n√3)，且a,m,n为依次减小的正整数，求a的值. 24.阅读下列解题过程： 例：若代数式√(a-1)+√(a-3)的值是2，求a的取值范围. 解：原式=a-1|十a-3. 当a<1时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去)； 当1≤a≤3时，原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件； 当a>3时，原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去). 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3. 上述解题过程主要运用了分类讨论的思想，请你根据上述解题方法解答下列问题： (1)当2≤a≤5时，化简：√(a-2)+√(a-5)z= ； (2)若等式√(3-a)+√(a-7)=4成立，则a的取值范围是 (3)若√(a+1)z+√/(a-5)=4√5，求a的值. 第5页（共6页） 25.【发现问题】由(a-b)2≥0，得a2+b≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不 等式：a十b≥2√ab,当且仅当a=b时取到等号. 【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a十b的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知x>0,求式子x十4的最小值， 解：令a=x,6=,则由a十6≥2a函，得x+≥2·=4，当且仅当x=时，即x=2 时，式子有最小值，最小值为4. 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题： (1)2+3 2√23（填“>”“<”或“=”）；当x>0,式子x十1的最小值为 【能力提升】 (2)如图①，用篱笆围一个面积为32的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长 20),问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆长是多少？ (3)如图②，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB,△COD的面积分别是8和 14,求四边形ABCD面积的最小值. 墙 花园 R 图① 图② 第6页（共6页）质量评估答案 第十九章质量评估 1.B2.B3.B4.A5.D6.B7.A8.D9.B 10.A11.√312.213.-214.215.-116.不是 633117.解：(1)原式=2√2-2√6+2√2+3√6=4√2+ √6.(2)原式=7-6√7+9-6+1=11-6√7.18.解：(1)一 √厚化简错误及括号前为-“，去括号未变号（②）原式 复mx6-而×方号-10-？-号-2 19.解：：a,b满足a十1+|b-3|=0,.a+1=0,b-3 =0,解得a=-1,b=尽.原式=「a+b)(a-D-a1 (a-b)2a-6 。-[]- 云当a=1时：原武肩- ,20.解：185 4√5(2)剩余木板的面积为(4√5-3√5)×3√5 15(dm2).(3)剩余木板的长为3√5dm,宽为v5dm,W5>2, 3√5÷1.5≈4.472..最多能截出4个这样的木条. 21.解：a=+9,65a+6=.b=之a 6=6.)原式=a6a-6)=号.(2)原式=十4 ab （a+b2-2ab=2=12.22.解：1W万-6 ab 2 √n+I-√(2)原式=(2-√3+√5-√+√6-√5+…十 √/2026-√/2025)(w√/2026+√3)=（√2026 √5)（√2026+√3）=2026-3=2023.23.解：(1)m2+ 3n22mn(2)若a-12√5=(m-n√3)，则有a-12√3 =m2+3n2-2mn√5，.a=m2+3n2,-12√3=-2mn√5， 即mn=6,,a,,n为依次减小的正整数，.m=6,n=1或 m=3,n=2.当m=6,n=1时，a=m2+3n2=62+3×12= 36十3=39，a,m,n为依次减小的正整数，符合题意；当m= 3,n=2时，a=m2+3n2=32+3X22=9+12=21,a,m,n 为依次减小的正整数，符合题意.∴.a=39或a=21. 24.解：(1)3(2)3≤a≤7(3)原方程可化为：a十1十 a-5|=45.当a≤-1时，a十1≤0，a-5<0,∴.原方程 化为：-a-1-(a-5)=45,解得a=2-25,符合题意； 当-1<a<5时，a十1>0，a-5<0,∴.原方程化为(a+1) -(a-5)=45.此方程无解，故-1<a<5不符合题意；当 a≥5时，a十1>0，a-5≥0，.原方程化为：a十1十a-5= 4V5,解得a=2√5十2，符合题意.综上所述，a=2-2√5或 a=2√5+2.25.解：(1)>2(2)设这个长方形花园靠 参考答案第 墙的一边的长为xm,另一边长为ym,则xy=32,y= 翌这个篱信的长为×2十x=(十)m根据材料 可得，触+≥2√·，当兰=时，兰+的值最小， x=8(负值已舍去)，y=2-是=4…当长，宽分别为 8m,4m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆长是64+r=8 十8=16(m).(3)设S△x=a,已知S△M0B=8,S△0oD=14, 则由等高三角形可知：S△c：S△oD=BO:OD=S△oB: Saw,a:14=8:SAAo,SAD=2,四边形 ABCD的面积为8+14+a+2≥2+2√a·平=2+ 87.当且仅当a=2时，即a=47时，取等号，四边形 ABCD面积的最小值为22十8√7 第二十章质量评估 1.B2.D3.D4.B5.C6.B7.D8.B9.A 10.C11.4012.2613.3-514.1015.36 16.8√217.证明：.AE=12+32=10,AB2=12+32= 10,BE=2+42=20,.AE+AB=20=BE,△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°.∴AB⊥AE.18.解：由题 意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB一AC=15m, .BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户窗口距离地 面18m.19.解：：∠C=90°，∠CAB=45°，.∠B=90 -∠CAB=45°=∠CAB..AC=BC.在Rt△ABC中，AB =2V3,由勾股定理，得AC+BC=AB,即2AC= (2√3)2，AC=√6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD= √/AD-AC=2.20.解：连接AC.在△ABC中，∠ABC =90°，AB=9m,BC=12m,∴.AC=√AB+BC=15m. CD=17m,AD=8m,.AD+AC=CD.∴.△ADC是 直角三角形，且∠DAC=90°.∴.S四边形BCD=SABc十S△Ac =号AB.BC+号AD:AC=号×9X12+号×8X15= 114(m)..∴.绿化这片空地共需花费100×114= 1140(元).21，解：(IDS题m=(AC+DF)·CF =号6十b6十@)·6=6+尝(2②)连接BD由题意知BF- b-a,DF=b十a.'S四边形BFD=S四边彩AcFD一S△AC=S△BD +5asb+岁空-+合b-a0)b+a.= c+26-a,即28+a=2c.a+6=d 22.解：(1)在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15.:9+ 12=225=152,.AB2十AC=BC2,.△ABC是直角三角 6页（共55页）