21.2.2 专题特训 证明平行四边形的常用思路&过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

专题特训 证明平行四边形的常用思路 类型1已知一组对边相等或平行，可找本组3.如图，已知四边形ABCD为平行四边形， (另一组)对边平行或相等 AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD,交BD于 1.已知四边形PONM的各边长如图所示，MO 点E,F,连接AF,CE ON.求证：四边形PONM是平行四边形， 求证：四边形AECF是平行四边形 p 11-x M x-3 O x-5 N 4.如图，在□ABCD中，分别以AD,BC为边向 2.(巴蜀中学期未)如图，点A,F,C,D在一条 内作等边三角形ADE和等边三角形BCF, 直线上，AB∥DE且AB=DE,AF=DC. 连接BE,DF 求证：四边形BFEC是平行四边形. 求证：四边形BEDF是平行四边形. 50 数学八年级下册人教版 类型2已知与角有关的条件，考虑利用“两组 在△BOE和△DOF中， 对角分别相等的四边形是平行四边形” ∠BEO=∠DFO, 5.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC,交 ③ AD于点E,DF平分∠ADC,交BC于点F, OB=OD. 那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说 ∴.△BOE≌△DOF(AAS). 明理由. .④ 又.OB=OD, .四边形DEBF是平行四边形.（⑤ 7.如图，在口ABCD中，O是对角线AC的中 点，EF过点O,与AD,BC分别相交于点E, F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G, H,连接EG,FG,FH,EH. 求证：四边形EGFH是平行四边形 类型3已知与对角线有关的条件，考虑利用 “对角线互相平分的四边形是平行四边形” 6.(沙坪坝区期未)小静在学习平行四边形时 发现：如图，在平行四边形ABCD中，O为对 角线BD的中点，过点O的直线分别交AB, CD于点E,F,连接DE,BF,则四边形 DEBF也是平行四边形.她的证明思路是： 利用平行四边形的性质得三角形全等，再利 用平行四边形的判定定理，从而使问题得以 解决.请根据小静的思路将下面证明过程补 充完整， 证明：O为BD的中点， .① ,四边形ABCD是平行四边形， .② ∴.∠BEO=∠DFO. 第二十-章四边形51 专题特训 过平行四边形对角线交点的直线问题及常见面积模型 【通性通法】 类型①过平行四边形对角线交点的直线问题 类型2 与平行四边形相关的常见面积问题 1.(教材P58例2原题呈现)如图，□ABCD的对 常见面积模型： 角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与 AB,CD分别交于点E,F.求证：OE=OF S=S, S=S=8=5 S=S2.S,=S.S,=5 S,+S,+S,=S,+S S S 2 S+S, S+S=S:十 S,=2So S,=s 2.(教材P66习题T10变式)如图，E为□ABCD 的边AD上任意一点，□ABCD的面积为6， 则图中阴影部分的面积为 (第2题图) (第3题图)》 模型总结：过平行四边形对 3.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 角线交点的任意一条直线 O,过点O的直线分别交AD,BC于点F,E 都被该点平分，如图所示」 若□ABCD的面积为2，则图中阴影部分的 【结论应用】(1)如图，O是□ABCD的对角 面积为 线的交点，EF过点O,分别交AD,BC于 4.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 点E,F,下列结论不正确的是( ) 过点O的直线与AD,BC交于点M,N.若 A.∠CFO=∠AEOB.AE=CF △CON的面积是3，△DOM的面积是5，则 C.∠DOC=∠COF D.OE=OF 四边形ABNM的面积是 (第(1)题图) (第(2)题图) (第4题图) (第5题图) (2)如图，EF过□ABCD对角线的交点O, 5.如图，在□ABCD中，O是BD的中点，EF 交AD于点E,交BC于点F.若□ABCD 过点O.有下列结论：①AB∥DC;②EO 的周长为18，OE=1.5,则四边形EFCD ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF, 的周长为 ( 其中正确的是 .(填序号) A.14B.13 C.12 D.10 52 数学八年级下册人教版理，得CE=√/BC”一BE=4.:四边形AECF是平行四边 形，.S四边形AECF=AE·CE=12. 综合运用 9.B10.D11.(1)解：如图， DCN B 即为所求.(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB =CD,AB∥CD,∠BAC=∠BCD.:AE平分∠BAD,CN 平分∠CD,∠BAE=令∠BAD,∠DCF-合∠BCD ∴.∠BAE=∠DCF.AB∥CD,∴.∠ABE=∠CDF.在 I∠BAE=∠DCF, △ABE和△CDF中，JAB=CD, ..△ABE2 ∠ABE=∠CDF, △CDF(ASA),∴.AE=CF,∠AEB=∠CFD.:∠AEB= ∠MEF,∠MEF=∠CFD,.AM∥NC,即AE∥CF. .四边形AECF为平行四边形. 创新拓展 12.解：(1)(12-t)3t(2)若BP与AQ互相平分，则 ABQP是平行四边形，.AP=BQ,即12一t=3t,解得t= 3.(3)存在.理由如下：①点Q在线段BC上，当PD=QC 时，以点P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时 PD=tcm,QC=(16-3t)cm,即t=16-3t,解得t=4; ②点Q在线段BC的延长线上，当PD=CQ时，以点P,Q, C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时PD=tcm,CQ= (3t-16)cm,即t=3t-16,解得t=8,综上所述，存在以点 P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间 t为4s或8s 专题特训证明平行四边形的常用思路 1,证明：，MO⊥ON,∴.∠MON=90°，在Rt△MON中，由 勾股定理，得MN-MOy=ON2,即(x-3)-4=(x 5)2,解得x=8.∴.PM=11-8=3,MN=8-3=5,ON=8 -5=3,∴.PM=ON=3,PO=MN=5,∴.四边形PONM 是平行四边形.2.证明：AB∥DE,∴∠A=∠D.AB =DE,AF=DC,∴.△ABF≌△DEC(SAS).∴.BF=EC, ∠AFB=∠DCE.∴.∠CFB=∠FCE.∴BF∥EC..四边 形BFEC是平行四边形.3.证明：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCB, ∴∠ABE=∠CDF.AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD, ∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB.·∠BAE= ∠DCF,∴.△ABE≌△CDF(ASA),∴.∠AEB=∠CFD, AE=CF,.∠AEF=∠CFE,.AE∥CF,.四边形AECF 是平行四边形.4.证明：四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD.又△ADE和 △BCF都是等边三角形，∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC, ∠DAE=∠BCF=6O°，∴.BF=DE,CF=AE,∠BCD- ∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE.在△DCF 参考答案第 (CD=AB. 和△BAE中，∠DCF=∠BAE,∴.△DCF≌△BAE(SAS), CF-AE. ∴.DF=BE.又BF=DE,.四边形BEDF是平行四边形. 5.解：四边形BFDE是平行四边形.理由如下：在□ABCD 中，∠ABC=∠ADC,∠A=∠C..BE平分∠ABC,DF平 分∠ADC.·∠ABE=∠CBE=合∠ABC,∠CDF= ∠ADF=2∠ADC,·∠CBE=∠ADR.:∠DFB=∠C +∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴.∠DFB=∠BED, ∴四边形BFDE是平行四边形.6.解：①OB=OD ②AB∥CD③∠BOE=∠DOF④OE=OF⑤对角线 互相平分的四边形是平行四边形7.证明：，四边形AB CD是平行四边形，.AD∥BC,.∠EAO=∠FCO.O是 AC的中点，.OA=OC.在△OAE和△OCF中， ∠EAO=∠FCO, OA=OC, .△OAE≌△OCF(ASA),.OE= ∠AOE=∠COF, OF.同理可证OG=OH,.四边形EGFH是平行四边形. 专题特训过平行四边形对角线交点的 直线问题及常见面积模型【通性通法】 1.证明：：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,OA= OC.∴.∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中， f∠EAO=∠FCO, OA=OC, .△AOE≌△COF(ASA)..OE=OF ∠AOE=∠COF, 【结论应用】(1)C(2)C2.33.14.165.①③④ 21.2.3三角形的中位线 分点训练 1.D2.D3.B4.解：E,M分别是AD,AC的中点， 六EM是△ACD的中位线.EM=号CD=4,EM∥CD. ∴.∠EMC+∠ACD=180°.∴.∠EMC=180°-∠ACD= 60.同理可得FM=号AB=3,FM/AB.·∠CMF ∠BAC=30°.∴∠EMF=∠EMC+∠CMF=90°.∴.EF= √/EM+FM=5.5.C6.147.28.证明：D,E分 别为AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，∴DE∥ BC,DE=2BC:G,F分别为BH,CH的中点，GF是 △HBC的中位线.GF∥BC,GF=号BC.∴DE∥GF且 DE=GF.∴.四边形DEFG为平行四边形. 综合运用 9.c1o.c1.9 12.(1)证明：D,E分别是AB,AC 中点，.DE是△ABC的中位线..DE∥BC.又EF∥ CD,.四边形CDEF是平行四边形..DE=CF.(2)解： 7页（共55页）