21.3.3 第1课时 正方形的性质（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

边形AECF是菱形.3.B4.C5.证明：AB=5,OA =4,OB=3,∴.OA2+OB=AB,∠AOB=90°.∴.AC⊥ BD.∴.□ABCD是菱形.6.菱四条边相等的四边形是 菱形7.证明：AB=AC,AD是边BC上的中线，AD ⊥BC.AD垂直平分BC.∴.BE=CE,BF=CF.∠BED =∠CED.·CF∥BE,∠BED=∠CFD..∠CED= ∠CFD.∴.CE=CF..BE=BF=CF=CE.∴四边形 BECF是菱形 综合运用 8.D9.B10.1611.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由 如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD是平 行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,则AE =AF.'SABCD=AE·CD=BC·AF,.CD=BC.∴.四边 形ABCD是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm.AD∥ BC,∴.∠ABF=∠BAD=30°.∴.AB=2AF=2cm.四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm..重叠部分的面积为 BC·AF=2cm. 创新拓展 12.解：(1)如图所示。 (2)①AD∥BC ②AD=CB③DE=BF④菱形 专题突破矩形、菱形与60度角 1.D2.B3.解：如图， 连接 EF交AD于M..四边形ABCD是矩形，.DE=AE= 合BD,∠BAD=90.BD=VAD+AE=4V.DE= AE=号BD=2万.：△ADF是等边三角形，“AD=DF =AF=2E.EF垂直平分AD.DM=AD=E, ∠MFD=30°..FM=√DF2-DMF=3,EM= √DE-D=5.∴.EF=FM十EM=8.垂线段最短， .当EG⊥FG时，EG有最小值，∴.此时△FGE为直角三角 形，其中∠PGE-90,”∠EFG=30,∴EG=号EF=4 4.D5.√36.(1)解：四边形ABCD是菱形，∴.AB= BC.∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴.AC=AB =2.又：E是线段AC的中点…BELAC,AE=号AC= 1,.BE=V2-下=B,∴.△ABC的面积为号AC·BE= √3.(2)证明：如图②， P作EG∥BC交AB于点 G.四边形ABCD是菱形，.AB=BC.∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴·AB=AC.:EG∥BC,易得 参考答案第} △AGE是等边三角形，∴.AG=AE=EG.AB=AC, .BG=CE.CF=AE,.CF=EG.∠AGE=60°， .∠BGE=120°.∠ACB=60°，.∠ECF=120°， ∠BGE=∠ECF.在△BGE和△ECF中， GE=CF, ∠BGE=∠ECF,∴.△BGE≌△ECF(SAS),∴.BE=EF. BG=EC, 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 分点训练 1.B2.A3.84.√2-15.15°【变式题】15°6.(2， -2)7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AD=CD, ∠A=∠BCD=∠ADC=90°.∴.∠DCF=90°=∠A.又 :∠EDF=90°，.∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即 ∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA)..DE=DF. 8.证明：：AC,BD是正方形的对角线，∴∠BAC=∠ABO= ∠DBC=45.:BE平分∠DBC,∠OBF=∠DC 22.5°..∠ABF=∠ABO+∠OBF=67.5°.∴.∠AFB= 180°-∠BAC-∠ABF=67.5°..∠ABF=∠AFB. :.AB=AF. 综合运用 9.A10.5 5 11.解：(1)如图所示 D(2)①角平 分线的定义②BA=BF③AE=EF④AB=AD 创新拓展 12.解：(1)AG=CE(2)取AG=EC,连接EG.四边形 ABCD是正方形，.AB=BC,∠B=90°.：AG=CE,.BG =BE,∴.△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG= 45°，∠AGE=135°.：四边形ABCD是正方形，.∠BCD =90°.：CF是正方形ABCD外角的平分线，∴.∠DCF= 45°，∠ECF=90°+45°=135°.：AE⊥EF,.∠AEB+ ∠FEC=90°.∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE= ∠CEF,△GAE≌△CER,AE=ER,(3)当k=号时， 四边形ECFP是平行四边形，证明如下：由(2)，得△GAE ≌△CEF,.CF=EG,设BC=x,则BE=kx,∴.CF=GE= √2kx,EC=(1-k)x.EP⊥AC,.△PEC是等腰直角三 角形∴∠PFC=5,∠PBC+∠BCF=18,PE=-号 (1一k)x..PE∥CF,当PE=CF时，四边形PECF是平行 四边形，号(1-)x=E红，解得k=子 第2课时正方形的判定 分点训练 1.A2.B3.A4.解：答案不唯一，如：(1)AB=AD (2)四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD. 0页（共55页）21.3.3 第1课时 ④分点训练 。夯实基础 知识点正方形的性质 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,则∠ABD的度数为 A.30 B.45 C.60 D.90° RL (第1题图) (第2题图) 2.如图，点E在正方形ABCD的边BC上.若 CE=1,DE=2,则AD的长为 ( A.3 B.√5 C.3 D.5 3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长 为4，则正方形ABCD的面积为 (第3题图) (第4题图) 4.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的 延长线上.若BE-BD,则CE的长为 5.(教材P86复习题T1(4)变式)如图，在正方 形ABCD的内侧作等边三角形ADE,则 ∠CBE的度数为 (第5题图) (变式题图) 【变式题】（巴南区期未）如图，以正方形 ABCD的边AB为一边向外作等边三角形 ABE,则∠AED的度数为 正方形 正方形的性质 6.如图，在平面直角坐标系 中，正方形OABC的顶点 O,B的坐标分别是O(0, 0),B(4,0),则顶点C的坐 标是 7.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点 F在边BC的延长线上，且∠EDF=90°.求 证：DE=DF D 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,∠DBC的平分线BE交CD于 点E,交AC于点F.求证：AB=AF. 第二十一章四边形67 B综合运用 。提升能力 9.(重庆一中期中)如图，在正方形ABCD中， 点E在对角线AC上，连接EB,ED,延长 BE交AD于点F,若∠DEB=a,则 ∠AFE的度数为 () A.135-号 B.135°+号 C.90°-号 D.90°+号 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为 CD边的中点，将正方形沿MN折叠，使得 点B与点E重合，点A与点A'重合，MN 与BE交于点G,则兴 11.如图，在正方形ABCD中，BD为其对角线. (1)用直尺和圆规完成作图，作∠ABD的 平分线BE交AD于点E,再在BD上 截取BF=BA,连接EF; (2)根据(1)中的作图，求证：DE+EF=AB. 证明：BE平分∠ABD, ∴.∠ABE=∠FBE(① 在△ABE与△FBE中， ② ∠ABE=∠FBE, BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE.∴.③ 又.DE+AE=AD,.DE十EF=AD. 在正方形ABCD中， .④ ,∴.DE+EF=AB. 68 数学八年级下册人教版 C创新拓展 0发展素养 12.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形 外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF (提示：取AB的中点G,连接EG) (1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线 的意图是得到条件： (2)如图，若点E是BC边上任意一点（不 与B,C重合)，其他条件不变.求证： AE=EF. (3)在(2)的条件下，连接AC,过点E作 EP LAC,垂足为P.设=，当及为 何值时，四边形ECFP是平行四边形， 并给予证明.