21.3.1 专题突破 矩形中的折叠问题&专题突破 巧构斜边上的中线解题（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

等边三角形ABC的边长为2，AB=BC=AC=2.D 为AB的中点，BD=号AB=I,CD⊥AB,在R△BCD 中，CD=√/BC一BD=√5.：四边形CDEF为平行四边 形，∴.EF=CD=√3. 创新拓展 13.解：(1)证明如下：在△AED和△CEF中， DE=FE, ∠AED=∠CEF,.△AED≌△CEF(SAS)..AD= AE=CE, CF,∠A=∠ECF,AB∥CF.AD=BD,.BD=CF ∴.四边形DBCF为平行四边形..DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC,DE=号BC.(2):点E,M分别是AD,AC的 中点，∴EM是△ADC的中位线，∴.EM=号CD=4,EM∥ CD..∠EMC+∠ACD=180°.∠ACD=125°， ∴∠EMC=55.同理可得：MF=AB=-3,MF∥AB, ∴.∠CMF=∠BAC.'∠BAC=35°，∴.∠CMF=35. ∴.∠EMF=∠FMC+∠EMC=35°+55°=90°.∴.EF= √/EMP+FM=√/4+3z=5. 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1B2.号3.1.5【变式题1】6【变式题274.C 5.46.B7.1<EF4 【变式题】号 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 分点训练 1.D2.B3.B4号5.(D证明：四边形是ABCD 矩形，.AB∥CD,即AE∥CD.又CE∥DB,.四边形 CDBE是平行四边形.(2)解：·四边形ABCD是矩形， ∴.BD=AC=8.四边形CDBE是平行四边形，∴.CE= BD=8.6.B7.48.4 综合运用 9.C10.20°11.解：(1)如图所示. 4D(2)①AB B =CD②∠BAE=∠CDF③BE=CF 创新拓展 12.解：(1)：四边形OABC是矩形，.BC=OA=4,∠OCB =∠ABC=∠OAB=90°，AB=OC,AB∥OC.:∠BOC= 30°.∴.OB=2BC=8,.AB=OC=√OB-BC=4√3. AB∥OC,∴∠ABO=∠BOC.,把矩形OABC沿对角线 OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E, ,.∠BOC=∠BOD,.∠ABO=∠BOD,.EO=EB.设 参考答案第 AE=x,则EO=EB=AB-AE=4√3-x,:在Rt△AEO 中，∠OAE=90°，.OA2+AE=OE,.42+x2= （4后-，解得=5.E(4小2以0G为 边，在OG下方作∠GOH=30°，且∠GHO=90°.∴.GH= 合0GBG+之0G的最小值即为BG+GH的最小值，当 点B,G,H三点共线时，BG十GH取得最小值.，∠BOC= 30°，∴.∠BOH=∠BOC+∠GOH=60°.此时在Rt△BHO 中，∠OBH=30,OB=8,OH=2OB=4.GH= 70G,0C2=G+0,0G2=(70G+4华，0 =8点G的坐标是（色50） 3 第2课时矩形的判定 分点训练 1.C2.解：(1)答案不唯一，如：选择①.证明：，AD∥BC, AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形.(2)在Rt△ABC中，AB=3,AC =5,.BC=√/AC-AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩 形，∴.S矩形BD=AB·BC=12.3.C4.证明：四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=号AC,OB=OD= BD,:∠OAB=∠AB0,OB=OA.AC=BD.四 边形ABCD是矩形.5.A6.证明：：AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，·AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90°.AN是∠CAM的平分线，∴∠CAN= ∠CAM:∠DAE=∠CAD+∠CAN=(∠BAC+ ∠CAM)=90°.：CE⊥AN,∴.∠AEC=90°..四边形 ADCE是矩形. 综合运用 7.A8.C9.(1)证明：.CE∥BF,.∠BFD=∠CED. :D是边BC的中点，BD=CD.:∠BDF=∠CDE, .△BDF≌△CDE(AAS),(2)解：四边形BFCE是矩形. 证明如下：由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF=DE=号EF. 又，BD=CD,.四边形BFCE是平行四边形.DE= BC,EF=BC.∴四边形BFCE是矩形 创新拓展 10.解：(1)如图所示. A ED(2)①CD②∠DCF ③∠BAE=∠CDF=90°④该平行四边形为矩形 专题突破矩形中的折叠问题 1.B2.C3.20°4.108°5.2√56.解：设线段EF= x.四边形ABCD是矩形，.AB=CD=3,AD=BC=4, 8页（共55页） ∠B=∠D=90°.在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC= √AD+CD=√/4+32=5.由折叠的性质，得∠AFE= ∠B=90°，BE=EF=x,AF=AB=3,则EC=4-x,CF=5 一3=2.在Rt△EFC中，根据勾股定理，得EC2=EF2十 CF,即(4-x)P=+2,解得r=三.即线段EF的长为 号.7.I)证明：四边形ABCD是矩形，“AB=CD, ∠A=∠C=90°.由折叠的性质，得DF=CD,∠F=∠C= 90°，.AB=FD,∠A=∠F.在△BEA和△DEF中， r∠AEB=∠FED, ∠A=∠F, .△BEA≌△DEF(AAS);(2)解：设 AB=FD, AE=x.△BEA≌△DEF,.BE=DE=AD-AE=4- x,在Rt△BAE中，根据勾股定理，得AB十AE=BE.即 2+=（4-),解得x=号AE的长为受 专题突破巧构斜边上的中线解题 1.解：连接DF,AB=AC,AD⊥BC于点D,BD=CD =专BC=3,即D为BC的中点，：以BC为斜边作 Rt△BCF,∴.∠BFC=90°，.DF=BD=CD=3,∴.∠CFD =∠BCF.设∠BCF=x,则∠EAF=2∠BCF=2x,∠CFD =x,.∠BDF=∠CFD十∠BCF=2x,.∠BDF= ∠EAF.:'∠BCF+∠CED=∠BCF+∠DBF=9O°， ∴∠CED=∠DBF.N∠CED=∠AEF,∴∠DBF= ∠AEF.又，AE=BD,∴.△AEF≌△DBF(ASA),.AF= DF=3,∠BFD=∠EFA,.∠AFE+∠CFD=∠BFD+ ∠CFD=∠BFC=90°，.∠AFD=90°，.AD= √JAF+DF=√32+3=3√2.在Rt△ACD中，由勾股 定理，得AC=√AD+CD=√(3√2)2+3=3√3. 2.120°3.证明：取AC中点F,连接EF,DF,..EF为 △ABC的中位线，∴EF=号BC,EF∥BC,∠FEA= ∠B=2∠A.在Rt△ACD中，F是斜边AC的中点，∴.DF =AF,∴∠FDA=∠A,∴.2∠FDA=2∠A=∠FEA. ∠FEA=∠FDA十∠DFE.∴∠DFE=∠FDA.DE =EF.DE=之BC4.证明：延长AE,与BC的延长线 交于点F.AD∥BC,.∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.E 是CD的中点，∴.DE=CE.∴.△ADE≌△FCE.∴.AE= EF,即E是AF的中点.：∠ABC=90°，即△ABF是直角 三角形，AE=BE. 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 分点训练 1.平行四边形有一组邻边2.C3.B4.B5.B 6.证明：，四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD, ∠A=∠C.:BE=BF,∴.AB-BE=BC-BF,即AE= 参考答案第 AD=CD. CF,在△DAE和△DCF中，∠A=∠C,∴·△DAE≌ AE-CF, △DCF(SAS).∴.DE=DF..∠DEF=∠DFE.7.24 8.解：(1)四边形ABCD是菱形，BD=10,AC=24,.OB =号BD=5,OA=号AC=12,ACLBD.在R1△AB0中， AB=√OB+OA=13,∴.菱形ABCD的周长为4AB= 52.(2):AC=24,BD=10,∴Sn=7AC·BD 120.(3):S菱形BCD=AB·DE=120,AB=13,∴.DE= 120 13 综合运用 9.C10.811.解：(1)如图所示 (2)①OB=OD②CF=OD③CF∥OD④∠DOC= 90° 创新拓展 12.(1)证明：如图①，连接AC.:四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60,.△ABC, △ACD都是等边三角形，∴∠DAC=∠ACB=∠D=60°， AD=AC.:∠EAF=60°，∴.∠EAF=∠DAC,∠EAC =∠FAD,.△EAC≌△FAD(ASA),.EC=DF. (2)解：结论：CF=AB十EC,证明如下：如图②，连接AC 四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD,∠B= ∠ADC=60°，∴.△ABC,△ACD都是等边三角形， ∴∠DAC=∠ACB=∠ADC=60°，AD=AC,∴.∠ACE= ∠ADF=120°.：∠EAF=60°，.∠EAF=∠DAC, ∴∠EAC=∠FAD,∴△EAC≌△FAD(ASA),.EC= DF,CF-CE=CF-DF=CD=AB,..CF=AB+EC. (3)解：如图③，连接AC,过点A作AG⊥BC于G. ∴∠AGB=90°.AB=4,∠B=60°，.∠BAG=30°， ∴BG=2AB=2,AG=VAB-BC=2E.:AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DEG=∠AGB=∠AGE=90°，∴.四边形 AGED是矩形，∴.AG=DE=2√3，∴.AE=√AD十DE =√42十(2√3)=2√7.易得△EAC≌△FAD,∴.AF= AE=27. 图① 图② 图③ 第2课时菱形的判定 分点训练 1.D2.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD,AB=CD.BE=DF,.AB-BE=CD-DF,AE =CF.∴.四边形AECF是平行四边形.又·AE=AF,.四 9页（共55页）专题突破 矩形中的折叠问题 1.如图，已知矩形纸片ABCD,E是AB的中6.如图，折叠矩形ABCD,让点B落在对角线 点，G是BC上的一点，∠BEG>60°.现沿直 AC上.若AD=4,AB=3,求线段EF的长. 线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点 H处，连接AH,则与∠BEG相等的角的个 数为 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 D (第1题图) (第2题图) 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10,AD= 6,将纸片折叠，使点D落在AB边上的点F 处，折痕为AE,再将△AEF沿EF向右折 叠，使点A落在点G处，EG与BC相交于点 H,则△CEH的面积为 ) 7.如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使 A.4 B.6 C.8 D.10 点C落在点F处，BF交AD于点E. 3.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与 (1)求证：△BEA≌△DEF; 点B重合，点C落在点C处，折痕为EF.若 (2)若AB=2,AD=4,求AE的长. ∠EFC=125°，则∠ABE的度数为 (第3题图) (第4题图) 4.如图，ABCD为一矩形纸带，AD∥CB,将 ABCD沿EF折叠，C,D两点分别与C',D 对应.若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为 5.如图，将长8cm、宽4cm的矩形纸片ABCD 折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为 cm C(A 60 数学八年级下册人教版 专题突破 巧构斜边上的中线解题 类型①知斜边中点，连斜边中线 类型2取中点，构斜边中线 1.(沙坪坝区校级期中)如图，在△ABC中，AB 2.如图，在以AB为斜边的 =AC,AD⊥BC于点D.以BC为斜边在 两个直角△ABD和 △ABC的同侧作Rt△BFC,连接AF,CF与 △ABC中，∠ACB= AD交于点E.若BC=6,AE=BD,∠EAF= ∠ADB=90°，CD=m,AB=2m,则∠AEB 2∠BCF,求线段AC的长. 的度数是 3.如图，在△ABC中，∠B=2∠A,CD⊥AB于 D,E为AB的中点，求证：DE=BC, D 类型3结合全等三角形，构斜边中线 4.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= 90°.若E是CD的中点，求证：AE=BE. 第二十一章四边形61