第20章 大单元整合练 利用勾股定理在数轴上表示实数&专题特训 勾股定理中的方程思想【回归教材】（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

大单元整合练 利用勾股定理在数轴上表示实数 【回归教材·落实课标】 设计目标：能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小（课标新增） 整合知识点：数轴，二次根式，实数，勾股定理 学科素养、思想体现：动手操作能力，空间想象能力，数形结合思想等 任务活动1：（教材P28探究变式）如图，在4× BC=1,连接AC,以点C为圆心，CB的长 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 为半径画弧，交AC于点D;以点A为圆 1,用直尺、圆规在数轴上画出到原点距离为 心，AD的长为半径画弧，交AB于点E,则 √20的点.（保留作图痕迹，不写作法） 点E表示的实数为 E 2 任务活动4：（教材P44复习题T9延伸）教材中 -4-3-2-101234 的探究：如图①，把两个边长为1的小正方形 沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼 成一个面积为2的大正方形.由此，得到了一 任务活动2：（教材P29图20.1一12,13融合变 种能在数轴上画出无理数对应点的方法.（数 式)如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠CBA= 轴的单位长度为1) ∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以点A为圆 心，AF的长为半径作弧，与数轴交于点P.若 ☑☑-☒ 3-21012 点A表示的数为0，点B表示的数为1，试确定 图① 图② 点P表示的数， 4-321012 图③ 图④ (1)阅读理解：图①中大正方形的边长为 ,图②中点A表示的数为 (2)迁移应用：把5个边长为1的小正方形按图 ③位置摆放，请你参照上面的方法，将其进 行裁剪，拼成一个大正方形 任务活动3：(1)由数到形：在数轴上用尺规作 ①请在图③中画出裁剪线，并在方框中画 出一√5对应的点P.(保留作图痕迹，不写 出所拼得的大正方形的示意图， 作法) ②利用①中的成果，在图④的数轴上分别 标出表示数一0.5以及-3十√5的点，并 比较它们的大小. 3-2-10123 (2)由形到数：如图，在数轴上，点A,B表示的 数分别为0,2.作BC⊥AB于点B,截取 26数学八年级下册人教版 专题特训 勾股定理中的方程思想【回归教材】 类型①利用勾股定理解决两“共边”直角三 类型2 利用勾股定理解决折叠问题（教材 角形问题（教材P31习题T12变式） P31习题T11变式) 方法点拨：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8, 在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△ACD BC=4,E,F分别是直角边AB和斜边AC 中，AD=AC2-CD,则AB2-BD=AC-CD. 上的点，把△ABC沿直线EF折叠，点A恰 好落在BC边的中点D处，则线段BE的 长为 D C B C D 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 A号 一点.若AB=8,AD=BD=5,则CD的长 B 为 C.3 D.4 4.(南开中学期中)如图，在长方形ABCD中， (第1题图) (变式题图) AB=10cm,将长方形ABCD沿MN折叠，使 【变式题】如图，在△ABC中，已知AB=10, 点C恰好落在AB的中点F处，点D落在点 BC=9,AC=17,则△ABC的面积为 E处.若AM=4DM,则DM的长为() 2.新趋势续写过程如图，在△ABC中，AB A.2.5 cm B.√5cm 15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积， 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 C.√6cm D.3 cm 题思路： M (1)过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含 x的代数式表示CD的长； (2)根据勾股定理，利用AD作“桥梁”，建立方程 模型求出x的值： (第4题图) (第5题图) (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC 5.(外国语学校期末)在如图所示的三角形纸 的面积. 片ABC中，点D,F分别在边BC,AB上，把 请你按照他们的解题思路完成解答过程， ∠C沿着AD折叠，点C落在线段BC上的 点E处；再把∠B沿EF折叠，点B与点A 重合.若AE=√5，EF=1,则△ABC纸片的 面积是 6.如图，正方形ABCD的边长为6，E为AB的 中点，点F在BC上，将△DAE,△DCF分 别沿DE,DF向内折叠，此时DA与DC重 合（点A,C都落在点G处） 第二十章勾股定理 27 (1)求∠EDF的度数； 靠于墙上，木棒上端与墙头齐平.若木棒下 (2)求△DEF的面积. 端向右滑，则木棒上端会随着往下滑.当木 棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好 落到地上B处，则木棒长尺。 9.某设计师打造的一款项目的示意图如图所 示，其BC段和垂直于地面的AB段均由不 锈钢管材打造，两段总长度为26m,长方形 CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得 CD=1m,AD=15m,求AB段的长度. 10.如图，直线1为一条公路，A,D处有两个村 庄，AB⊥l于点B,DC⊥I于点C,AB= 类型3利用勾股定理解决实际问题 8km,BC=16km,CD=12km.现需要在 7.(教材P31习题T10变式)如图，在平静的湖 BC上建立一个物资调运站E,使得调运站 面上有一支红莲AB,高出水面的部分AC E到A,D两个村庄的距离相等，请求出此 为1m,一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵 时调运站E到村庄B的距离. 齐及水面（即AB=DB).已知红莲移动的水 平距离CD为3m,则湖水深BC为 m. 木棒 墙 (第7题图) (第8题图) 8.新趋势数学文化《九章算术》勾股卷有一题 目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐.引 木却行二尺，其木至地，问木长几何？意思 是：如图，一道墙AB高6尺，一根木棒AC 28数学八年级下册人教版第3课时利用勾股定理作图与计算 分点训练 1.B2.-√13 3.解：如图， 点A即为所 -43-2-101234 求.4.C5.222√2-16.解：设AB边上的高为h. :AB=V尽+=55c=号×5认=号×3X3,解得 =号.∴△ABC中AB边上的高为号.7.248.解： AB=AC=25,AD⊥BC,BD=CD=号BC=6.在 Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB一BD= .∴Sm=合BC·AD=X26X厅=22I. 综合运用 9.D10.14厘1.解：1)：AD⊥AB,∠BAD= 17 90°.“∠B=30,AD=2BD.在Rt△ABD中，由勾股 定理，得AB+AD=BD,即(2)十（令BD)=BD, ∴.BD=4(负值已舍).(2)过点A作AE⊥BC于点E,则 ∠AEB=∠AEC=90.:∠B=30,AE=号AB=5.在 Rt△AEB中，由勾股定理，得BE=√AB2-AE=3.在 Rt△AEC中，由勾股定理，得CE=√AC-AE区=5.∴.BC =BE+CE=8.∴Sa=2AE·BC=2XBX8=45 创新拓展 12.解：(1)5.5(2)如图， AB=√(2a)'+(2a) =2√2a,BC=√/(2a)'+(3a)r=13a,AC=√a2+(4a) =ma,sau=3a×4a-合×aX4a-×2aX3a- ×2aX2a=5a2. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上 表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图， 点E -21十33 和点F即为所求，任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC= √+1'=√2，同理得AD=√(W2)2十12=√，AE= √(W3)2+12=2,AF=√2+1下=5.由题意知AP=AF 参考答案第 =√5.∴点P表示的数为一5.任务活动3：解：(1)如图， 点P即为所求.(2)5-1任务 -3-2-1 123 活动4：解：(1)2一√2(2)①如图③所示.②如图④，点 A表示-3十√5，点B表示-0.5.∴.-0.5>-3十√5. A -4-3-2-1012 图③ 图④ 专题特训勾股定理中的方程思想【回归教材】 【变式题】362.解：设BD=x,则CD=14-x.在 Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB-BD=15 x2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD= 132-(14-x)2.152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 5AD=I5-g=12.Sr=合BC·AD=2X14X 12=84.3.B4.B5.号6.解：(1)由折叠的性质知 ∠EDG=∠ADG,∠GDF=号∠CDG.又：四边形 ABCD是正方形，∴.∠ADC=∠ADG十∠CDG=90°， ÷∠EDF=∠EDG+∠GDF=(∠ADG+∠CDG) 45°.(2).正方形ABCD的边长为6，，.AB=BC=AD= CD=6,∠ABC=∠C=∠ADC=∠A=90°..E为AB的 中点，.AE=BE=3.由折叠性质，得DG=AD=6,EG= AE=3,CF=FG,∠DGE=∠A=∠DGF=∠C=90°， .∠EGF=∠DGE+∠DGF=l80°.∴.E,G,F三点共线. 设CF=FG=x,则BF=6-x,EF=x十3.在Rt△BEF中， BE2+BF2=EF2,32+(6-x)2=(x十3)2，解得x=2. EF=x+3=5.SaE=2EF·DG=1i,74810 9.解：延长FC,交AB于点G,则CG⊥AB,AG=CD=1m, CG=AD=15m.设BG=xm,则BC=(26-1-x)m.在 Rt△BGC中，BG+CG=BC,.x2+152=(26-1- x)2,解得x=8.∴.BG=8m.AB=BG+AG=9m.答： AB段的长度为9m.10.解：设BE=xkm,则CE=BC BE=(16-x)km.:'AB⊥l,DC⊥l,∴.∠ABE=∠DCE= 90°.∴EA=AB十BE,ED=CD十CE.:调运站E到 A,D两个村庄的距离相等，.EA=ED.∴.AB2十BE= CD十CE,即8+x2=122+(16-x)2,解得x=10.5. .BE=10.5km.答：此时调运站E到村庄B的距离为 10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 分点训练 1.C2.C3.解：(1)2√5√55(2)△ABC是直角三 3页（共55页）