第20章 专题特训 勾股定理中常见的易错题&数学活动 利用勾股定理绘制图案（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

专题特训 勾股 类型①斜边不明确而导致漏解 1.若一个三角形的三边长为3,4，x,则使此三 角形是直角三角形的x的值是 A.5 B.6 C.7 D.5或/7 2.(1)(开州区期中)已知直角三角形的两边长分 别为3和5，则第三边的长为 (2)若直角三角形的两边长分别为a,b,且满 足a2-12a十36+|b-8=0,则该直角 三角形的第三边长为 类型2概念理解错误 3.有下列数组：①5,12,13；②2,3,4；③2.5， 6650日号其中是勾股数的组数为 ( A.4 B.3 C.2 D.1 4.如果下列各组数是三角形的三边长，那么不 能构成直角三角形的一组数是 ) A.15,20,25 B3分4分5司 1 1 C.3,4,5 D.1,2,W3 类型3忽略三角形的高在三角形外的情况 5.在△ABC中，AB=10,AC=2√/10，BC边上 的高AD=6,则BC的长为 A.10 B.8 C.6或10 D.8或10 类型④判断三角形形状时考虑不全面 6.△ABC的三边长分别为a,b,c,有下列条件： ①∠A=∠B-∠C;②∠A：∠B:∠C= 3:4:5;③a2=(b+)(b-c);④a:b:c= 5:12:13.其中，能判定△ABC是直角三角 形的有 ( A.1个B.2个C.3个D.4个 34 数学八年级下册人教版 定理中常见的易错题 7.请阅读下列解题过程： 已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2c2 bc2=a4一b,试判断△ABC的形状. 解：.a2c2-bc2=a4-b,① .c2(a2-b)=(a2+b2)(a2-b).② ∴.c2=a2+b2.③ ∴△ABC为直角三角形.④ (1)上述解题过程从哪一步开始出现错误： :(填序号) (2)错误的原因是： (3)本题的正确结论是： 类型⑤求最短路径时对立体图形展开情况 理解错误 8.(大渡口区期末)如图，有一个圆柱 形玻璃杯，高为10cm,底面周长为 12cm,在圆柱的下底面的内壁A 处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿 2cm的点E处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离 A.2√6Tcm B.12 cm C.4√/13cm D.10 cm 类型6分类讨论时考虑不全面而漏解 9.在等腰三角形ABC中，∠A=30°，AB=4, 则AB边上的高CD为 ( A.2或2√3 B.2或2VE 3 C.2或√3 D2或26或 10.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段 BC上的动点（不含端，点B,C).若线段AD 的长为正整数，则点D的个数为() A.5B.4 C.3 D.2 数学活动 利用勾股定理绘制图案 新趋势项目学习 项目背景 八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形 图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树 素材一 经过小组讨论，制定了如下规则： (1)画出由不同类型的三角形形成的树形图： (2)所画的基础三角形周长均为7cm,其中一条边长固定为2cm,根据规则，三名同学分别画出 了如下三种不同类型的树形图并进行探究 素材二 图① 图② 图③ 解决问题 任务一 如图①，小明画出了锐角三角形ABC,AB=AC,BC=2cm,则S2= cm2 任务二 如图②，小金画出了直角三角形DEF,∠DFE=90°，EF=2cm,求S2的值 任务三 如图③，小山画出了钝角三角形GHI,∠GIH=120°，HI=2cm,则S2= cm2 第二十章勾股定理35角形.理由如下：，AB=2√5，BC=5,AC=5,∴.AB十 BC=(2√5)2+(5)=25=AC.∴.△ABC是直角三角 形.4.C5.15 综合运用 6.B7.11,60,618.45°9.解：(1)BC=132=169, BD2+CD=52+122=169,.BC2=BD2+CD2...△BDC 是直角三角形，且∠BDC=90°.(2)由(1)，得∠BDC=90°， ∴.∠ADC=90°.设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x- 5.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD十CD,x =(x-5)2+122,解得x=16.9.∴.AC=16.9. 第2课时勾股定理逆定理的应用 分点训练 1.符合2.73.A4.A5.解：这个零件符合要求.理由 如下：：BD=15=225,AD2+AB=122+9=225, AD十AB=BD.∴.△ABD是直角三角形，且∠A= 90°.同理，得BD+BC2=CD,∴.△BCD是直角三角形， 且∠DBC=90..这个零件符合要求，6.47.解： (1):∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,.AC= √/AB+BC=15m.(2):AC+CD=152+8=289, AD=172=289,.AC2+CD=AD2.△ACD是直角三 角形，且∠ACD=90°，S四边形BcD=S△ABc十S△MCD= 2AB·BC+合AC·CD=号X9X12+号×15×8= 114(m).答：这块菜地的面积为114m. 综合运用 8.B9.45°10.解：(1)连接AC.∠B=90°，∴.AC= √AB十BC=√62十8=10(m).答：至少需要10m装饰 彩带.(2).AC2=102=100,CD2=242=576,AD2=262= 676,∴.AC2十CD=AD,.△ACD是直角三角形，∠ACD =90.Sam=2AC·CD=7X10×24=120(m, Sa=号AB·BC=2×6×8=24(m),5X24+3X120 =480(株)，∴.总共需要种植480株花卉. 创新拓展 11.解：(1)过点C作CD⊥AB于点D,由题意，得AB= 250m,AC=150m,BC=200m.,AC2+BC2=2502= AB.∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴.S△ABc= 合AC:BC=合AB.CD.CD-ACBC=120m.答：灯 AB 光秀表演点C与公路的垂直距离为120m.(2)需要暂时封 锁，理由如下：由(1)可知，CD=120m<130m,∴.公路上存 在两点E,F到C地的距离为130m,公路上EF之间到表 演点C的距离均小于130m..按照安全要求，A,B两地之 间的公路EF段需要暂时封锁.以点C为圆心，130m为半 径画弧，交AB于点E,F,连接CE,CF.'CE=CF= 130m,CD⊥AB,.DE=DF.在Rt△CDE中，DE= 参考答案第 /CE-CD=50m.,.EF=2DE=100m..需要封锁的 公路长为100m. 专题突破利用勾股定理求最短路径问题 【教材拓展·通性通法】 1.D2.173./854.2√135.5√346.解：将圆柱 沿着A,B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个 长方形，如答图，过点B作BO⊥AO于O,作点A关于直线 DE的对称点A',连接AB,交DE于点C,则B→CA即 为蜘蛛爬行的最短路径.·AC=A'C,∴BC+ CA=BC十A'C=A'B.由图和题意可知： ∠B0A=90,0B=2×24=12cm,0D=15 答图 -3=12 cm,A'D AD=4 cm,.OA'=OD+A'D= 16(cm).由勾股定理，得A'B=√OA2十OB=20(cm).故 蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且 它至少要爬行20cem7.铝8.59.解：(1)作点A关于 河边所在直线的对称点A,连接AB,交直线于点P,则点 P即为水泵站的位置，此时PA十PB的值最小，即所用水 管最短.(2)连接AB,过点B作河边所在直线的垂线，过点 A作该直线的平行线，设这两线交于点C,则∠C=90°.过 点A作AE⊥BC于点E.由题意，得BE=5km,AB= 13km,∴.AE=√/AB-BE=√/13-5=12(km). ..AC=AE=12km.BC=7+2=9(km),..AB= /AC2+BC=/122+92=15(km)..PA=PA',..PA +PB=A'B=15km..4000×15=60000(元).答：最节 省铺设水管的费用为60000元，10.解：S长方形ABCD=AB ×AD=5×3=15.设△ABP的高为h. 1 :3S△PAB=S长方形BCD,S△PMB= ×15 3 =5,即令Xh×AB=5,h=2.如答图， 答图 在AD上确定点M,使AM=2,在BC上确定点N,使BN =2,连接MN,则点P在MN上.作点A关于MN的对称 点A1,连接A,B,交MV于点P,此时PA十PB最小.，点 A和点A,关于MV对称，.PA=PA1,AM=AM=2. .AA1=4..PA+PB=PA+PB=A1B.在Rt△AAB 中，由勾股定理，得AB=√A1A十AB=√4+5= √4I,∴.PA十PB的最小值为√4I. 专题特训勾股定理中常见的易错题 1.D2.(1)√34或4(2)10或2√73.D4.B5.C 6.C7.(1)③(2)没有考虑a一b=0这种可能，当a一 b=0时，△ABC是等腰三角形(3)△ABC是等腰三角 形或直角三角形8.D9.D10.C 数学活动利用勾股定理绘制图案 解：任务一：6.25任务二：：DE十EF十DF=7cm,EF= 4页（共55页） 2cm,∴.DE+DF=5cm..DE=(5-DF)cm.在 Rt△DEF中，由勾股定理，得DF2十EF=DE,∴.DF2十4 -(5-DF)"D cm.S=DP-100 100cm.任务 49 三：16 【解析】如图， 过点H作HM⊥GI,交 H S GI的延长线于点M,则∠M=90°.：∠GIH=120°， ∠MHI=∠GH-∠M=30.∴IM=合H1=1cm由 勾股定理，得HM=√HI-If=√3cm,设GI=acm,则 GM=GI+IM=(a+1)cm,GH=(5-a)cm. Rt△GHM中，由勾股定理，得HM+Gf=GH,即(W3)2 十(a十1产=6-a,解得a=子S=Gf=号cm. 第二十章归纳与提升 1.C2.B3.D4.B5.等6.102.57.188.101 9.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC+BC2=AB,.8十(16-x)2= x2,解得x=10.∴.AB=10dm,∴.绳子的总长度为AB+ AC=10十8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB =10+7=17(dm).在Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2 =AB2-AC=172-82=225,∴.B'C=15dm.由(1)，得 BC=16-10=6(dm),.BB'=B'C-BC=15-6=9(dm). 答：滑块B向左滑动的距离为9dm.10.A11.解： (1)是，理由如下：：CB=25百米，CH=24百米，HB=7 百米，.CH+HB=242+7=625,CB2=252=625, ∴.CH+HB=CB,∴.△CHB是直角三角形，∠CHB= 90°.∴.CH⊥AB,.CH是从村庄C到河边的最近道路. (2)设AC=x百米..AB=CA,∴.AB=x百米，.AH= AB-BH=(x-7)百米.在Rt△CHA中，AC=AH+ CH,即r=c一y十2，解得x=空CA-空百 米，CA-CH=625-24≈20.64（百米）.∴新路CH比原 14 路CA少20.64百米 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 分点训练 1.B2.223.(1)凸(2)AB,BC,CD,AD (3)∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA(4)∠EAD, ∠ABF,∠CBG4.D5.B6.D7.解：(1)3x+3x+4x +2x=360,解得x=30.(2)73十82+90十180-x=360,解 得x=65.8.B9.C 综合运用 10.B11.B12.A13.∠1+∠2=∠3+∠414.0A+ 参考答案第 OD>AD OC+OD>CD OBC OB+OC>BC 2(AC +BD)>AB+BC+CD+AD 创新拓展 15.解：(1)270°(2).DF=BD..∠BAD+∠C=270°， .∠BAF+∠BAD=270°..∠FAD=360°-（∠BAF+ ∠BAD)=90°..AD+AF=DF,即AD+CD=BD. 21.1.2多边形及其内角和 分点训练 1.A2.B3.64.B5.56.18°7.解：由图知135°+ x°+(x+9)°+126°+120°+(2x-120)°=(6-2)×180°， 解得x=112.5.8.A9.B10.611.解：(1)由题意， 得小淇所经过的路线正好构成一个外角是20°的正多边 形，360°÷20°=18..18×10=180(m).答：小淇一共走 了180m.(2)(18-2)×180°=2880°.答：这个多边形的内 角和是2880° 综合运用 12.B13.D14.C15.解：(1)连接AD.由三角形的内 角和定理得，∠B十∠C=∠BAD十∠CDA,.∠BAF十 ∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠BAD+ ∠CDA+∠CDE+∠E+∠F=∠FAD+∠ADE+∠E+ ∠F=360°..∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F= 360°.(2)连接AF.由(1)方法可得：∠G十∠H=∠GFA+ ∠HAF,∴.∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+ ∠G+∠H=∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+ ∠GFA+∠HAF=(∠BAH+∠HAF)+∠B+∠C+ ∠D+∠E+(∠EFG+∠GFA)=∠BAF+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠EFA=(6-2)×180°=720° 创新拓展 16.【-题多变】15【变式题1】6或7【变式题2】解：设新 多边形的边数为n.由题意，得180°(n一2)=2160°，解得n =14,·剪去一个角有如图所示的三种剪法，剪完后新多边 形的边数可能有三种情况： 比原多边形多一条边，相等，少一条边.原多边形的边数 为13或14或15. 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形及其性质(1) 分点训练 1.平行四边形2.33.C4.A5.解：(1)6(2)四边 形ABCD和四边形DCFE都是平行四边形，∴.AB=CD= EF,AB∥CD,∠CDE=∠F=110°.∴.∠ADC=180° ∠BAD=120°.∴.∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=130°. :□ABCD与□DCFE的周长相等，.AD=DE. ·∠DAE=2(180°-∠ADE)=256.D7.C8.9 5页（共55页）