第19章 专题突破 二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

专题突破 二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】 类型①直接代入求值 (二)巧用√a2=|a化简求值 方法点拨：直接代入求值时，先观察式子的特，点，若 6.(易错题)计算√9一6π十π的结果是( 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 A.3-元 B.3十元 琐运算 C.-3-π D.-3十元 1.(重庆一中期未)已知x=√3+1，则x2 7.已知1<x<2,化简√(x-1)+x-2的结 2x+1的值为 ( 果为 ( A.0 B.3 C.1 D.√2+1 A.-1 B.1 2.(教材P20复习题T6变式)已知a=√5+2，求 C.2x-3 D.3-2x 代数式(9-4√5)a2-(W5-2)a+4的值. 8.若a,b,c是△ABC的三边长，则化简√(c一a一b} √(a十b十c)的结果是 9.（梁平区期中)已知实数a,b,c在数轴上对应 的点的位置如图所示，化简：|a十b|一 √(c-b)z+8(a-c)3. b d o c 类型2挖掘隐含条件求值 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 3.已知√a-3+(b+4)2=0,则(a+b)2o35的值 为 4.若a满足2035-a|十√a-2036=a,则 a-20352的值为 A.0 B.1 C.2035D.2036 类型3整体代入求值 5.(西南大学附中期中)化简求值：(3 x十 (一)先化简，再整体代入求值 Ix十y 10.若x-y=√2十1，xy=√2，则代数式(x-1)· y)÷t-4拉，其中y=-2 x十y (y+1)的值为 √2-x+2. A.2√+2 B.2√2-2 C.2√2 D.2 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 方法点拨：(1)完全平方公式(a士b)2=a2士2ab千b 及其常见的变形： ①a2士2ab+b2=(a±b)2; ②a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)平方差公式(a十b)(a一b)=a2一b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变 形：a2-b2=(a十b)(a-b). 12 数学八年级下册人教版 11.(教材P16习题T5变式)已知a=7-2,(三)活用（√a)2=a变形后，再整体代入求值 b=√7+2.求下列各式的值. 13.逻辑推理类比探究（教材P20复习题T5变 (1)a2-b2; 式)请阅读下列材料： (2)a2-ab+b2. 问题：已知x=√5+2，求代数式x2一4x一7 的值、 小明根据二次根式的性质：（√a)=a,想到 了以下解题方法： .x=√5+2，.x-2=5. 两边平方，得(x-2)2=(5)2. .x2-4x+4=5. .x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代入，得x2一4x一7= 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题， 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2+6x-8的值： 12.(教材P16习题T7变式)已知x+是=3，求 2)已知x=⑤求代数式x+3x的值 反+上的值. 【延伸问1丘一左的值为 第十九章二次根式13创新拓展 12解：1w后-万E(2原式=×(T-万+ 2 5-厅+…十2-m)=号×(-3+11)=4 (3)a= 1=2+1,∴a-1=E.(a-1)2=2,即a √2-1 -2a十1=2..a2-2a=1..原式=4(a2-2a)十1=4×1 十1=5. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 分点训练 1.C2.C3.A4.B5.(1)3√3(2)06.解：(1)原式 =3√7-√7=2√7.(2)原式=4√十8√=12√.(3)原式 =3√5-2-2√3=√3-√2.7.解：(1)③(2)原式= 3√2+3√3+5√2=8√2+3√3.8.12√59.解：d2-d =7X√/30-12-7×√20-12=21√2-14√2= 7√2(cm).答：d2与d1的差为72cm. 综合运用 10.C11.312.解：(1)原式=3√3-3√2-2√2+√3= 4后-5元.(@原式=y-号+29-厅- 2 3 13.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为√192= 8/3(cm),.AD=8/3-2√3=6√3(cm),AB=83-7√3 =√3(cm)..长方形木板ABCD的长为63cm,宽为 厅cm.(2)长方形木料的长为12÷9=45(cm.:4后 =所.6g=5=里i45<6vg< ∴能裁出符合条件的长方形木料. 创新拓展 14.解：(1)718(2)：a,b均为有理数，(2-√a)2=14 -6.2-22a+a=14-6六2+a=14, 解得 2√2a=√b, [9=12a十b=12+96=108.(3)”a,b均为有理数尽 1b=96. +图+√+(2-32=a+b,a+b=2厄+ 3反++4-12+18=22-272.a=2,6=-2架. ∴a+6=22+(头)= 第2课时二次根式的混合运算 分点训练 1.B2.B3.(1)3√6(2)24.解：(1)原式=2√3-√3 =√.(2)原式=2-√5+2√-3=-1十√3.(3)原式= 35×2×22-62=122-62=62.5.B 3 参考答案第 6.(111+20√11)π7.(1)a(a-2)(2)68.解：(1)原 式=1-2+3+2=4(2)原式=(W6)-(2月)=8 -是-9.(3)原式=3-6+6+g-12=6-6厄. 综合运用 9.A10.36+6√511.解：(1)原式=(W+√5)(3-√5) =(3+3-月=g-5=4(2)原式=(3-3×号) ÷×√20-(4+4√5+5)=2√5÷√3×2√5-(9+4√5) =4√5-9-4√5=-9.(3)原式=5-1-4十1=1. 12.解：(1)ab=(W5+2)(W5-2)=5-4=1.(2),a=√5+ 2,b=5-2,∴.a+b=(√5+2)+(W5-2)=2√5..a2+b2 -ab=(a+b)2-3ab=(2√5)2-3×1=17. 创新拓展 13.解：(1)7-√6< (2)原式= n+1-m n+1-√m (√n+i+√m)(√n+I-√m) =(√n+I)2-(m √+I-√m.(3)原式=√2-1十√5-√2+√4-√5+…+ √/2024-√2023+√/2025-√2024=-1+√/2025= -1+45=44. 专题突破二次根式中常见的 化简求值技巧【回归教材】 1.B2.解：当a=√5+2时，原式=(9-4√5)(w5+2)2 (5-2)(5+2)+4=(9-4√5)(9+4√5)-(5-4)+4= 81-80-1十4=4,3.-14.D5.解：原式= (器，)÷=②9卫· x十y x十y x+y=2t.:y=-2-2-x+2,小x-2≥ (2y-=2y-x 0.2-≥0=2y=2原式=袋号=3.6D 7.B8.-2c9.解：由数轴，得b<a<0<c,则a十b<0,c -b>0,a-c<0,原式=-a-b-(c-b)十a-c=-a-b c十b十a-c=-2c.10.C11.解：(1)a=√7-2，b=√7 +2,∴.a十b=(W7-2)+(W7+2)=2√7，a-b=(√7-2)- (W7+2)=-4,∴.a2-6=(a十b)(a-b)=-8√7.(2)：a =√/7-2，b=√7+2，.a-b=(W7-2)-(W7+2)=-4,ab =(W7-2)(W7+2)=3,.a2-ab+b2=(a-b)2+ab= （-40+3=19.12.解：“x+士=3(+合方)= +安+2-“+左0+后6【廷同1上1 13.解：(1)，x=√10-3，.x十3=√10.两边平方，得(x +3)2=(√10)2，即x2+6x十9=10.∴.x2+6x=1..x2+ 6x一8=1一8=-7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将 代数式x2十6x-8变形为(x十3)2-17，再将x十3=√/10 0页（共55页） 整体代人求值，(2)=51,2x=5-1,2x+1= 2 √5.两边平方，得(2x+1)2=(5)2,即4x2+4x十1=5. .4x2十4x=4,即x2十x=1.x2十3x=x2十x十2x=1十 2x=√5 专题特训与二次根式有关的规律探究题 1.解：√+=5√ (2)/n+ n+2 =(n十 1√中2证明如下：左边=√ n2+2n+1 /(n+1) n十2 =(n n+2 十1乐=右边，猜想成立.(8)原式=100√而× 20√×m×Vm=(10×20)×(√× /1 可)×（√2×/40）=2000VE.2.1)解：原式 =(25)2-1+ 4(5+1) =20-1+2(√3+1)=20 (√5-1)(3+1) -1+2√3+2=21+2√5.(2)证明：. √2025-√2024 2025+√/2024 /2025+ (/2025-√2024)（√/2025+√/2024） 1 √2024， √/2024-√2023 √2024+√2023 =√2024+ (2024-√/2023)（√/2024+√/2023） 1 √2023，. > √2025-√/2024 √/2024-/2023 ∴.√/2025-√2024<√/2024-√/2023.(3)解： :(√a+I+a)(+I+b)=1,∴.（√a2+I+a) (√a+I-a)(√+I+b)=√a2+I-a.∴[（√a2+1) -a](√6+1+b)=√a2+1-a.(a2+1-a2)(√6+1 +b)=√a+1-a..√+1+b=√a+1-a.同理可得 √a2+I+a=√伊十I-b.两式相加，得a十b=-a-b,∴.a +b=0. 专题特训比较含二次根式的式子 的大小的常见方法 1.(1)<(2)>(3)>2.解：(W6+√11)=17+ 2√66，（√14+√3）2=17+2√/42,17+266>17+ 2√42，.(W6+√I)>(√14+√3)2.又：√6+√I>0, +5>06+>+尽.3.解：出： √a+2 6+2-46+=4+4≤1，且+)>0，+2> 4 (Wa+2)2a+4√a+4 va+21 4 0.4解：02 √a+2 2-√/5 =2+后 -5+2,2+5>+E小2-后5-顶 11 (2)7- 参考答案第 6-万66-后=石万+6>6+6≥ 万+万后十后万-6<6-65.解：店- 2 -3=四-6.：V9<6,丽-6<0.：⑧-6< 2 2 2 0.-3< 2 专题特训二次根式中常见的易错题 /3x+2≥0， 1.C2.A3.解：(1)根据题意，得 解得x≥ x-1≠0， -号且x≠1.当≥-号且x≠1时，代数式V3++ 有意义.(2)根据题意，得 1 x-1≥0， 解得1≤x<2. 4-2x>0, 当1≤x<2时，代数式三有意义.4.A5.1 √/4-2x 6.解：a+b=-6,b=3,a<0,6<0.∴原式=√受+ √票--+-=匹-=瓜当a+6 a b =-6,6=3时，原式=-号9×5=2原。7.解：最简 二次根式√2a与√a十2a-4可以合并，∴.2a=a2十2a-4. ∴a2=4.a=±2.2a>0,a>0..a=2.8.A 9.解：)当a=时，>,原式=+-a=名 a =10-号=9号(20<x<3∴x-3<0,2x+1>0,z +1>0..原式=|x-3|-|2x十1|+|x十1|=3-x-2x -1+x十1=-2x+3. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠， 得到正方形ABEB',∴∠B=90°，AB=BE.∴.AE= √AB十BE=√EAB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. “船-反.即A纸的长与宽的比值为反.【进 阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为号，a:b=√E, a=6:号=6：受=E.A5纸长与宽的比值 为反.【类比归纳厅减半【拓展探究】牛【延伸 探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353= 88250(mm).B5纸的面积为S纸÷2=44125(mm2).A4 纸的面积为210×297=62370(mm).A5纸的面积为 SA纸÷2=31185(mm2)..S纸：SM纸=88250：62370 ≈1.4≈√2，Ss纸：SA纸=44125：31185≈1.4≈√2. 【归纳2 1页（共55页）