第19章 专题特训 与二次根式有关的规律探究题&专题特训 比较含二次根式的式子的大小的常见方法（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）重庆专版

专题特训 与二次根式有关的规律探究题 1.新趋势规律探究小丽根据学习“数与式”积2.（西南大学附中月考)阅读材料： 累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探 材料一两个含有二次根式的非零代数式 究下列二次根式的运算规律，下面是小丽的 相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这 探究过程，请补充完整： 两个代数式互为有理化因式.例如：（√6一 (1)具体运算，发现规律： √2)(6+√2)=6-2=4，我们称√6-√2的一 等式1+=2得 个有理化因式是√6十√2. 材料二如果一个代数式的分母中含有二次 根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因 等式2v2+=8 式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理 化.例如：石-2 4 4(6+2) (6-√2)(6+2) 等式4： 46+②=6+2. 4 (2)观察、归纳，得出猜想： 请你仿照材料中的方法探索并解答下列问题： 等式n(n为正整数)可表示为 ,并证明你的猜想； 1)计算：(25-1D(25+1)+5 (3)应用运算规律： (2)求证：√2025-√2024<√2024-√2023； 化简：ys+而× 19+ 201 ×√402× (3)已知（√a2+1+a)(√6+1+b)=1,探究 a与b的关系. √101. 14数学八年级下册人教版 专题特训 比较含二次根式的式子的大小的常见方法 类型①直接比较法 化为有理数，就称为“分子有理化”，例如： 1.比较下列各组数的大小： 2=2-2,B-1=B-1D×(3+1 (1)(开州区期中)√15 4; √2√2’√ 3×(w3+1) (2)-√/35 -√37； (3)2-12.3-1 （)+53+后3十后请根据上述知 2 (3)-√2-1 -3-1. 识，完成下列问题： 类型2平方法 2.比较6+√1I与√/14+√3的大小. ①)比较，1与1的大小： 2-53-2 (2)运用分子有理化，比较√7-√6与√6-√ 的大小，并说明理由. 类型3作商法 3.比较与产的大小 √a+2 类型5作差法 5.逻辑推理类比探究课堂上，老师出了一道题， 比较2与号的大小，小明的解法如下： 3 解.19-2-2=19-4 3 3 3 类型④分母（分子）有理化 19>4,∴.√19-4>0. 4.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出 :19-4>0.9-22 现诺如宿后后的计算，西医运用分式的 3 31 我们把这种比较大小的方法称为作差法. 基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分 利用作差法比较四一3与的大小 12√2 2 母有理化”，例如：厄2艺尽一厄 2 2×(3+√2) 2√3+2√2 (√3-√2)X(3+√2) (3)2-(2) 2尽+2巨=2+2反类似地，将分子转 3-2 第十九章二次根式 15整体代人求值，(2)=51,2x=5-1,2x+1= 2 √5.两边平方，得(2x+1)2=(5)2,即4x2+4x十1=5. .4x2十4x=4,即x2十x=1.x2十3x=x2十x十2x=1十 2x=√5 专题特训与二次根式有关的规律探究题 1.解：√+=5√ (2)/n+ n+2 =(n十 1√中2证明如下：左边=√ n2+2n+1 /(n+1) n十2 =(n n+2 十1乐=右边，猜想成立.(8)原式=100√而× 20√×m×Vm=(10×20)×(√× /1 可)×（√2×/40）=2000VE.2.1)解：原式 =(25)2-1+ 4(5+1) =20-1+2(√3+1)=20 (√5-1)(3+1) -1+2√3+2=21+2√5.(2)证明：. √2025-√2024 2025+√/2024 /2025+ (/2025-√2024)（√/2025+√/2024） 1 √2024， √/2024-√2023 √2024+√2023 =√2024+ (2024-√/2023)（√/2024+√/2023） 1 √2023，. > √2025-√/2024 √/2024-/2023 ∴.√/2025-√2024<√/2024-√/2023.(3)解： :(√a+I+a)(+I+b)=1,∴.（√a2+I+a) (√a+I-a)(√+I+b)=√a2+I-a.∴[（√a2+1) -a](√6+1+b)=√a2+1-a.(a2+1-a2)(√6+1 +b)=√a+1-a..√+1+b=√a+1-a.同理可得 √a2+I+a=√伊十I-b.两式相加，得a十b=-a-b,∴.a +b=0. 专题特训比较含二次根式的式子 的大小的常见方法 1.(1)<(2)>(3)>2.解：(W6+√11)=17+ 2√66，（√14+√3）2=17+2√/42,17+266>17+ 2√42，.(W6+√I)>(√14+√3)2.又：√6+√I>0, +5>06+>+尽.3.解：出： √a+2 6+2-46+=4+4≤1，且+)>0，+2> 4 (Wa+2)2a+4√a+4 va+21 4 0.4解：02 √a+2 2-√/5 =2+后 -5+2,2+5>+E小2-后5-顶 11 (2)7- 参考答案第 6-万66-后=石万+6>6+6≥ 万+万后十后万-6<6-65.解：店- 2 -3=四-6.：V9<6,丽-6<0.：⑧-6< 2 2 2 0.-3< 2 专题特训二次根式中常见的易错题 /3x+2≥0， 1.C2.A3.解：(1)根据题意，得 解得x≥ x-1≠0， -号且x≠1.当≥-号且x≠1时，代数式V3++ 有意义.(2)根据题意，得 1 x-1≥0， 解得1≤x<2. 4-2x>0, 当1≤x<2时，代数式三有意义.4.A5.1 √/4-2x 6.解：a+b=-6,b=3,a<0,6<0.∴原式=√受+ √票--+-=匹-=瓜当a+6 a b =-6,6=3时，原式=-号9×5=2原。7.解：最简 二次根式√2a与√a十2a-4可以合并，∴.2a=a2十2a-4. ∴a2=4.a=±2.2a>0,a>0..a=2.8.A 9.解：)当a=时，>,原式=+-a=名 a =10-号=9号(20<x<3∴x-3<0,2x+1>0,z +1>0..原式=|x-3|-|2x十1|+|x十1|=3-x-2x -1+x十1=-2x+3. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠， 得到正方形ABEB',∴∠B=90°，AB=BE.∴.AE= √AB十BE=√EAB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. “船-反.即A纸的长与宽的比值为反.【进 阶问】解：由题意，得A5纸的长为b,宽为号，a:b=√E, a=6:号=6：受=E.A5纸长与宽的比值 为反.【类比归纳厅减半【拓展探究】牛【延伸 探究】解：由题意，得B4纸的面积为250×353= 88250(mm).B5纸的面积为S纸÷2=44125(mm2).A4 纸的面积为210×297=62370(mm).A5纸的面积为 SA纸÷2=31185(mm2)..S纸：SM纸=88250：62370 ≈1.4≈√2，Ss纸：SA纸=44125：31185≈1.4≈√2. 【归纳2 1页（共55页）