精品解析：广东清远市英德市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

广东省清远市英德市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A B. C. D. 2. 学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在梯形中，，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 9. 反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（ ） A B. C. D. 10. 如图，英德市滨江公园某个矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下面所列方程错误的是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 12. 不透明口袋中装有黄球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中黄球大约有___________个． 13. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 15. 如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题7分，第18题6分，共21分． 16. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．…第一步 ．…第二步 ．…第三步 ．…第四步 ，．…第五步 （1）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （2）请你用“公式法”解该方程． 17. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 18. 如图是某停车场彼此相邻五个大小一致空闲车位，分别为，，，，．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个随机选择一个停放，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 20. 如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比． 21. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上中线，并说明理由． （2）在图②中作的角平分线，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． （1）探究1 检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角．视力值n与分辨视角（分）的对应关系近似满足． （2）探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同． （3）探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 23. 如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． （1）若，证明：平分； （2）如图2，若，，，求的面积； （3）如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省清远市英德市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 空心圆柱体（如图所示）的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的虚实线特点是解题的关键． 首先明确左视图的定义，再分析空心圆柱体的结构，确定其左视图的形状及线条类型，最后结合选项得出正确的选项即可． 【详解】解：从左面看是一个矩形，几何体内部也是一个圆柱，左视图也为矩形，但是在内部用虚线表示， ∴空心圆柱体的左视图为一个矩形，内部有两条虚线， 故选：B． 2. 学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 3. 如果是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，根据方程的根满足方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，解得， 故选：C． 4. 如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合实际问题中变量的取值范围判断函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵ 受力面积， 由可得， ∵ 自变量，函数值， ∴ 该函数图象位于第一象限． 故选：A． 6. 如图，在梯形中，，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以，，又因为，即可证． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定定理是关键． 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 8. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确； B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误； C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确； D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 9. 反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出的取值范围是解题的关键． 根据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 10. 如图，英德市滨江公园某个矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下面所列方程错误的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程，关键是正确表示出扩建后的面积，理清面积之间的等量关系，判断方程的正确性． 【详解】解：若将该草坪的长和宽各增加，则扩建后矩形草坪的长为，宽为， 根据题意得：， 即． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 12. 不透明的口袋中装有黄球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中黄球大约有___________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．根据概率公式列出算式即可得出答案． 【详解】解：摸到黄球的频率稳定在附近， ∴摸到黄球的概率大约为， 口袋中黄球大约有（个）， 故答案为：12． 13. 如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影的分类，需明确平行投影与中心投影的区别：平行投影是由平行光线(如太阳光)形成的投影，中心投影是由点光源(如灯光)形成的投影． 【详解】解：太阳光可看作平行光线，晷针在晷面上的投影是由平行光线形成的，根据平行投影的定义，可知该投影属于平行投影． 故答案为：平行． 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 故答案为：． 15. 如图所示，在正方形中，E，F分别是中点，若，则的长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理；连接，由三角形中位线定理得；再由正方形的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是正方形， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题7分，第18题6分，共21分． 16. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．…第一步 ．…第二步 ．…第三步 ．…第四步 ，．…第五步 （1）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （2）请你用“公式法”解该方程． 【答案】（1）等式的基本性质； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法(配方法、公式法)及等式的性质． （1）第二步是在等式两边同时加上同一个数，依据是等式的基本性质1； （2）需先确定方程中、、的值，计算判别式，再代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：第二步是在等式的两边同时加上1，变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； 【小问2详解】 解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 17. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 18. 如图是某停车场彼此相邻的五个大小一致空闲车位，分别为，，，，．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这五个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的四个随机选择一个停放，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，考查列表法或树状图法求概率．关键是画树状图准确列出所有等可能的结果，并找出符合条件的结果数． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有8种结果， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 20. 如图，，和分别是它们的中线，与是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比． 【答案】相似，与的周长比是1∶2，面积比是1∶4． 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质证明，∠G=∠C，进而证明△BDC∽△FHG，问题即可解决． 【详解】解：△BDC和△FHG相似． 证明如下： ∵Rt△ABC∽Rt△EFG， ∴，∠G=∠C；而AC=2DC，EG=2GH， ∴， ∴△BDC∽△FHG， ∵EF=2AB， ∴其周长比和面积比分别为1∶2和1∶4． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 21. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线，并说明理由． （2）在图②中作的角平分线，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，理由见解析； （2）作图见解析，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形中线与角平分线的网格作图，考查矩形对角线性质、等腰三角形三线合一性质的应用． （1）要作边上的中线，需先确定的中点．利用正方形网格中矩形对角线互相平分的性质，找到的中点，连接即可得到中线． （2）要作的角平分线，可构造等腰三角形，取的中点，连接交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求： 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴线段是的中线； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求： 理由：∵5，， ∴， ∵， ∴平分， ∴线段是的角平分线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． （1）探究1 检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角．视力值n与分辨视角（分）的对应关系近似满足． （2）探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同． （3）探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长． 【答案】（1）①反比例；②；；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． （1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系； ②由待定系数法可得，将代入得：； （2）由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】（1）①由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系； ②设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行“”形图边长为； （2）， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 23. 如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． （1）若，证明：平分； （2）如图2，若，，，求的面积； （3）如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证出四边形是正方形，再通过延长至使构造全等三角形，先证，利用角的代换得到，再证，由全等三角形的对应角相等证得，从而证明平分． （2）取边的中点，作，交于点，连接，证四边形为正方形，利用（1）的角平分线结论结合的边角关系，通过勾股定理求出的长度，进而计算出的面积，结合正方形的面积与内部各三角形面积的数量关系求出的面积，再由是中点且证出是的中位线，得到为中点，最终将的面积转化为2倍的面积求解，核心是构造正方形实现面积拆分，利用中位线定理实现面积的倍数转化． （3）先在的延长线上取点使，连接，利用四边形内角和证得，结合四点共圆的性质证出，进而证得，得到且，由此证出为等边三角形，过作于，利用勾股定理求出的长度，再将四边形的面积转化为与的面积和，即等边的面积，最后通过三角形底乘高的面积公式求出结果． 【小问1详解】 解：延长至点，使得，如图， ∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形正方形， ∴，， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：如图，取边的中点，作，交于点，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴四边形是正方形，面积为． 由（1）． ∴， ∴， 由勾股定理得，得， 解得， ∴． 在中，，同理，． ∴， 由（1），而， ∴． ∵是中点，， ∴是的中位线， 点是的中点， ∴. 【小问3详解】 解：如图，在的延长线上取点，使得，连接． ∵四边形的内角和为， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，． 过点作于，则为的中点，． 在中，由勾股定理：， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，同时考查了图形面积的转化与计算，核心侧重辅助线的构造与几何图形间的边角、面积转化技巧．本题的关键是根据不同问题特征构造合适的辅助线，利用全等、特殊三角形的性质实现边角和面积的转化，将未知问题转化为已知可解的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $