6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 连接SD,AD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴.∠ADS是二面角 A-一BC一S的平面角】 又∠BSC=90,令SA=1,则SD-号，AD=号， 2 ∴.SD+AD=SA2,..∠ADS=90. ,平面ABC⊥平面BSC §6.简单几何体的再认识 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 课前预习学案情境引入 提示：棱锥。 知识梳理知识点一 1.2πrl2πrl+2πr2 2.πrlπrl十πr 3.π(n十r2)lπ(r十r)l十πr12十πr2 [思考] 1提示：Sa=21S=x,十10 S园软制=πrl. 知识点二 1.h2.合cf3十ah [思考] 2.提示：正棱锥、正棱台的斜高是正棱锥和正棱台侧面图形的 高，而正棱锥的高是指顶点到底面的距离，正棱台的高是上 下两个底面之间的距离. 预习自测 1.A2.C3.2π 课堂互动学案 [例1][解](1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体 是圆台，其上底面半径是4cm,下底面半径是16cm,母线 DC=√52+(16-4)'=13(cm). ∴.该几何体的表面积为π×(4十16)×13十π×4十π×16 =532π(cm2). (2)以BC所在直线为轴旋转一周所 得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如 图所示.其中圆锥的高为16一4= B 12(cm),由(1)可知圆锥的母线DC 长为13cm,又圆柱的母线AD长为4cm,故该几何体的表 面积为2元×5×4十π×52+π×5×13=130π(cm). 变式训练 1.解析：(1)根据圆锥的侧面面积公式可得S=π×2× √/2+1=25π(cm2). (2)圆台的上底面半径r'=2,下底面半径r=7,母线长1= 6,则圆台的侧面面积S=π('十r)1=πX(2十7)X6 =54π. 答案：(1)2√5π(2)54π [例2][解]如图，设正三棱锥的底面 △ABC边长为a,斜高为h',过点O作 OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则 SE⊥AB,SE=h'. Sw=25a·3a-5.2×2, ∴a=5h' .SO⊥OE,.SO+OE2=SE 3+(×)= ∴.h'=2V3,.a=3h'=6. 5A=5a2=5×6=95,5%=2Sa=185. 4a1 4 .S,=S十S底=18√5十93=27V5. ·21 数学s·必修第二册 变式训练 2.解：(1)设棱台AC两底面的中心分别 是O'和O,B'C,BC的中点分别是E'， E,连接OO,EE,OB,OB',OE OE,则四边形OBB'O',OEEO'都是直 角梯形，且O0=17cm,在正方形 D ABCD中，BC=16cm,则OB=8V2cm, OE=8cm,在正方形A'B'C'D'中B'C'=A 4cm则OB'=2√2cm,OE'=2cm,在直角梯形OOBB'中， BB=√OO+(OB-OB)F=√172+(8√2-2√2)2= 19(cm),在直角梯形OOEE'中，EE=√OO+(OE-OE) =√17+(8-2)=5√/3cm,即这个棱台的侧棱长为19cm, 斜高为5√13cm. (2)Sw=4×号×(4+16)×53=200V3(cm) S求面积=S州十S上底面十SF底面=200√3十4X4十16X16 (200√13+272)cm2. [例3][解]因为圆柱形铁管的高为 3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2 圈，且铁丝的两个端，点落在圆柱的同一 母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧 面展开后的平面图形，如图所示，其中每 一个小矩形的宽为圆柱的底面周长2π， 长为圆柱的高3π，则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的 最小值.故铁丝的长度最小值为√/9π”十16π2=5π，即铁丝 的最短长度为5π. 变式训练 3.A[如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽 为2，则在此圆柱的侧面上从A到C的最短路径为线段AC, 易得AC=√2+6=2√10.故选A.] D 1A' B 随堂步步夯实 1.B[由题意得上底面半径为3，下底面半径为6，母线长为 3√2，.S=π(3+6)×3√2=27√2元.] 2.A[所求长方体的表面积S=2×(1×2)十2×(1×3)+2× (2×3)=22.故选A.] 3.D[由已知得底面边长为1，侧棱长为√6一2=2.所以S酬 =1×2×4=8.7 4.解析：设圆锥母线长为α，结合三角形面积计算公式，得到S =号a'sin60°=尽，解得a=2(负值舍去)，所以底面半径r =1,底面积S意=πr2=π，所以侧面积S制=πra=2π，所以圆 锥的表面积为3π. 答案：3π 5.解析：因为四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍， 不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC,交BC于点D,如 图所示， 周为C=SB=asD=V5SB-BD√d-(受)-号， 所以Ss=BC·sD=a×9a= 故四面你S-ABC的表面积S=4X。=5d. 4第六章立体几何初步 五维课堂 ● 随堂。步步夯实 1.如果直线1，m与平面a,B,Y满足1=B∩Y, 4.如图，过S点引三条长度相 1∥a,mCa,m⊥Y,那么必有 ( 等但不共面的线段SA,SB, A.a⊥Y和l⊥m B.a∥y和m∥3 SC,且∠ASB=∠ASC=60°， C.m∥B且l⊥m D.a∥3和a⊥Y ∠BSC=90°， 2.在空间中，下列命题正确的是 求证：平面ABC⊥平 A.垂直于同一条直线的两直线平行 面BSC. B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3.下列命题中正确的是 ( ) A.平面a和3分别过两条互相垂直的直线，则 a⊥B B.若平面a内的一条直线垂直于平面3内的 两条平行直线，则α⊥3 C.若平面α内的一条直线垂直于平面B内的 两条相交直线，则a⊥3 D.若平面α内的一条直线垂直于平面B内的 C温馨提 无数条直线，则a⊥B 学习至此，请完成配套训练 §6.简单几何体的再认识 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课程标准 素养解读 通过利用实物归纳柱、锥、台的侧面展 1.借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开， 开图及其表面积的计算，培养学生的 理解面积的求法 数学抽象素养，提升学生的直观想象、 2.掌握柱、锥、台的表面积的求法 数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 金字塔在埃及和美洲等地均有分布，今天 [知识点一]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 的苏丹和埃及境内，也就是现在的尼罗河下游 1.圆柱的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图 散布着约80座金字塔遗迹， 是矩形.如图： 圆柱的侧面积和表面积公式：S圆柱侧 问题从金字塔中可以看出怎样的几何体？ S表面积=S圆柱侧十2S底面积= 2.圆锥的底面半径为r,母线长为1，侧面展开图 是扇形.如图： ·197· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 圆锥的侧面积和表面积公式：S圆锥侧 正棱锥的侧面积和表面积公式：S正棱锥侧= ,S表面积=S正棱锥侧十S底面积· S表面积=S圆锥侧十S底面积= 3.正棱台的上底面周长为c1,下底面周长为c2, 3.圆台的上底面半径为r1,下底面半径为r2,母 斜高为h'.正棱台的侧面展开图是一些全等的 线长为1，侧面展开图是扇环.如图： 等腰梯形.如图： 圆台的侧面积和表面积公式：S圆台侧 ,S表面积=S圆台侧十S上底面积 正棱台的侧面积和表面积公式：S正棱台侧= S下底面积 ,S表面积=S正棱台侧十S上底面积 ?思考1.从运动的角度看，圆柱、圆锥、圆台 十S下底面积 的侧面积之间存在怎么样的联系？ 纪思考2.正棱锥、正棱台的斜高和高有什么 区别？ [知识点二] 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 与表面积 1.直棱柱的底面周长为c,高为h.直棱柱的侧面 展开图是一些矩形.如图： [预习自测] 1.一个长方体的表面积为11，所有棱的长度之 和为24，则长方体的一条对角线长为（) 直棱柱的侧面积和表面积公式：S直棱柱侧三 A.5 B.√14 ,S表面积=S直棱柱侧十2S底面积， C.3√5 D.4 2.正棱锥的底面周长为c,斜高为h'.正棱锥的侧 2.一个正三棱锥的底面边长为3，高为√6，则它 面展开图是一些全等的三角表.如图： 的侧棱长为 () A.2 B.25 C.3 D.4 3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋 转轴旋转一周，所得几何体的侧面积 是 ·198· 第六章立体几何初步 五维课堂兰 ● 课堂。互动学案 题型一圆柱、圆锥、圆合的表面积 题型二棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1]如图所示，已知直角梯 D [例2]如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积 形ABCD,BC∥AD, 是底面积的2倍，高SO=3,求此正三棱锥的 ∠ABC=90°，AB=5cm, 表面积。 BC=16cm,AD=4cm.求： 汇思路点拨]转化为求多个三角形的面积。 (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积； (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积 [思路点拔了S圆台表=S圆台侧十S上底面积十 S下底面积=π(r1十r2)l十元r12十元r22. S圆柱表=S圆柱侧十2S底面积=2πrl十2πr2 S国锥表二S圆维侧十S底面积=元rl十πr2, 规律方法 1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本 步骤 (1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的 面积. (2)求出其底面的面积 (3)求和得到表面积. 2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图 直棱柱的侧面展开图是矩形，求其侧面 积时，只需求出相应底面周长及高.正 棱锥的侧面展开图是由若干个全等的 规律方法 等腰三角形组成的，求正棱锥的侧面积 1.求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本 的关键是求其底面周长和斜高.正棱台 步骤 的侧面展开图是若干个全等的等腰梯 (1)得到空间几何体的平面展开图. 形组成，求其侧面积的关键是求出其上 (2)依次求出各个平面图形的面积. 下底面的周长和斜高， (3)将各平面图形的面积相加 ⊙[变式训练] 2.求旋转体表面积的要点 2.如图所示，正四棱台AC的 D (1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高 高是17cm,两底面的边长 等元素，因此处理好轴截面中边角关 分别是4cm和16cm. 系是解题的关键； (1)求这个棱台的侧棱长和 D (2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的 斜高 思想方法； (2)求该棱台的侧面积与表 (3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表 面积. 面积时，应根据已知条件先计算出它 们的母线和底面圆半径的长，而求解 这些求知量常常需要列方程， ◇[变式训练] 1.(1)已知圆锥的底面半径为2cm,高为1cm, 则圆锥的侧面面积是 cm2. (2)圆台OO的母线长为6，两底面半径分别为 2,7,则圆台的侧面面积是 ·199· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 题型三柱、锥、合的侧面展并与表面积的实际应用] 规律方法 [例3]有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形 求空间几何体表面上两点间的最短距离 铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁 问题的常用方法 丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求 求空间几何体表面上两点间的最短距离 铁丝的最短长度， 问题，常常要归结为求平面上两点间的距 思路点拨了利用侧面展开图，转化为平面 离问题，因此解决这类问题的方法就是先 上两点间的距离问题求解， 把空间几何体的侧面展开成平面图形，再 用平面几何的知识来求解. ⊙[变式训练] 3.如图所示，圆柱的底面周长为12，高为2，矩形 ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱的侧面 上，从A到C的路径中，最短路径的长度为 A.210 B.2√5 C.3 D.2 随堂。步步夯实 1.若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面 5.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆 S-ABC,如图所示，求它的表面积. 台的侧面积是 A.27π B.27√2π C.9√2π D.36√2π 2.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则该长方体的表面积为 ( ) A.22 B.20 C.10 D.11 3.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 √2，体对角线长为√，则这个棱柱的侧面积是 A.2 B.4 C.6 D.8 4.若一个圆锥的轴截面是面积为√3的正三角形， ⊙温馨提 则这个圆锥的表面积为 学习至此，请完成配套训练 6.2柱、锥、台的体积 课程标准 素养解读 掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何 通过求柱体、锥体的体积，培养学生的 直观想象素养，提升学生的数学运算 体的体积及解决简单的实际问题 素养 ·200·