11 6.2 柱、锥、台的体积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

6.2　柱、锥、台的体积 知识层面 1.借助生活中的实物进行演示，理解柱体、锥体、台体的体积计算公式，并会利用它们求有关几何体的体积．　2.掌握求几何体体积的基本技巧． 素养层面 通过对柱、锥、台的体积公式的理解，提升学生直观想象等素养；通过利用柱、锥、台的体积公式求几何体的体积，提升学生数学运算素养． 知识点一　柱体、锥体的体积 问题1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． 提示： 问题2.如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 提示：所得到的3个三棱锥的体积相等．V三棱锥＝Sh，棱锥和圆锥的体积可用这个公式来计算． 柱体、锥体的体积 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝Sh S—柱体的底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝Sh S—锥体的底面积，h—锥体的高 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材P252例4)(1)若某圆锥的母线与底面的夹角为45°，且其母线长为 4，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π (2)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与平面ABCD的夹角为60°，则该长方体的体积等于(　　) A． B． C． D．2 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)因为该圆锥的母线与底面的夹角为45°，且其母线长为 4，所以该圆锥的高与底面半径相等，且都等于＝2，所以该圆锥的体积V＝πr2h＝π×2×2＝π.故选A. (2)如图所示，由已知，△ACC1是直角三角形，且∠CAC1即为AC1与平面ABCD的夹角，即∠CAC1＝60°，又AC＝＝，则tan 60°＝＝＝，CC1＝.故长方体的体积V＝AB·BC·CC1＝.故选C. 求圆柱、圆锥的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解．　　 对点练1.(1)《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”，如图所示，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝3，AC＝BC＝2，则该四面体的体积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BB1，B1C1的中点，过A，D，E三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为V1，另一部分的体积为V2，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由题意可知，三棱锥P-ABC的高为PA＝3，所以该四面体的体积为×3××2×2＝2.故选B. (2)如图，延长DE与CC1相交于点P, DE反向延长线交CB于点G，连接AP交A1C1于点F，连接EF，得到截面FEDA，由题意得A1F＝2FC1，在各棱 长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1， 因为GB＝，DB＝，EC1＝，PC1＝， VABC-A1B1C1＝×1×1×sin 60°×1＝，所以V2＝VP-AGC－VP-FEC1－VD-AGB，即V2＝××1××sin 60°×－××××sin 60°×－××1××sin 120°×＝，所以V1＝V ABC-A1B1C1－V2＝－＝，所以＝.故选B. 学生用书第183页 知识点二　棱台和圆台的体积 问题3.圆台、棱台都可以由圆锥和棱锥截得，那么你能利用锥体的体积公式推导台体的体积公式吗？ 提示：台体的体积可以利用两个锥体的体积差来计算． 棱台和圆台的体积 几何体 体积公式 台体 圆台、棱台 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高 特别地，V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是圆台的上、下底面半径，h是圆台的高) [微思考]　将柱、锥、台体的体积公式进行类比，能发现它们的联系吗？ 提示： 例2　(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 答案： 解析：如图所示，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝＝，则A1M＝＝＝，所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝. 台体的体积的计算一是利用台体的体积公式，二是看作两个锥体的体积差来计算．　　 对点练2.如图所示，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，其中SA＝2，SB＝4，则该圆台的体积为(　　) A. B． C． D． 答案：C 解析：由已知得AB＝SB－SA＝2，由于扇环的圆心角为180°，则有×2π×SA＝2π×O1A，可得O1A＝1，同理可得OB＝2，圆台的轴 截面如图所示． 其中OB＝2，O1A＝1，AB＝2，过点A作AD⊥OB交OB于D，则BD＝OB－O1A＝2－1＝1，则AD＝＝，故OO1＝，即圆台的高为，又S上底＝π×12＝π，S下底＝π×22＝4π，所以V＝××＝.故选C. 利用割补法求体积 例3　(一题多解)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF到平面ABCD的距离为3，求该多面体的体积V. 解：法一：如图①所示，连接EB，EC，AC.则四棱锥E -ABCD的体积VE-ABCD＝×42×3＝16. 因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF-EBC＝VC-EFB＝VC-ABE＝VE-ABC＝×VE-ABCD＝4. 所以V＝VE-ABCD＋VF-EBC＝16＋4＝20. 即该多面体的体积为20. 法二：如图②所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，原多面体分割为四棱锥E -AGHD及三棱柱EGH-FBC.连接BH，BE，CE. 由题意得VE-AGHD＝S四边形AGHD×3＝×4××3＝8. VEGH-FBC＝3VB-EGH＝3VE-BGH＝3×VE-GBCH＝VE-AGHD＝×8＝12. 所以V＝VE-AGHD＋VEGH-FBC＝8＋12＝20. 即该多面体的体积为20. 对于给出的一个不规则的几何体求其体积时，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂几何体为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口．　　 对点练3.如图所示，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 答案：96 解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，如图所示，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96. 知识 1.柱体、锥体、台体的体积公式.2.等体积法、割补法求几何体体积 方法 公式法、转化与化归 易错误区 由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误 学生用书第184页 1．如果一个长方体长、宽、高分别是4，4，3，则它的体积为(　　) A．16 B．40 C．48 D．80 答案：C 解析：根据长方体体积公式可得V＝4×4×3＝48.故选C. 2．已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设三棱锥B1-ABC的高为h，则V三棱锥B1-ABC＝S△ABCh＝××3＝.故选D. 3．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 答案：D 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.故选D. 4．(新情境)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，如图所示，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案：3 解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为×(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为×9×π(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量等于＝3(寸). 学科网（北京）股份有限公司 $$