6.3.1 空间图形基本位置&6.3.2 刻画空间点、线、面位置（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s·必修第二册 §3.空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1 空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实1、2、3） 课程标准 素养解读 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与 从直观认识的基础上论证点、线、面 推论 之间的位置关系，发展培养学生的 2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置 空间想象素养与逻辑推理素养 关系 课前。预习学案 ● [情境引入] 作：l∩a=A1;直线a与平面a无公共点，称 今有一正方体木料ABCD一A1B1C1D1,其 直线a与平面a平行，记作：a∥a.a∥a台→a∩ 中M,N分别是AB,CD的中，点，要过D1,M,N a=0. 三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎 在画直线和平面平行时，通常把表示直线的 样画线才能顺利完成？ 线段画在表示平面的平行四边形的外面，并 [知识梳理] 且使它与平行四边形内的一条线段平行或与 [知识点一]空间点、直线、平面之间的位置关 平行四边形的一边平行，如图： 系及符号表示 (1)点与直线、点与平面的位置关系 ①点与直线的位置关系有两种：点在直线上 a o (1) (2) 和点在直线外.如图： (3)平面与平面的位置关系 A 平面与平面的位置关系有两种：平面与平面 不相交和平面与平面相交.如图： 0 B 点B在直线b上，但在直线a外，记作：B∈b, BEa. 6 ②点与平面的位置关系有两种：点在平面内 和点在平面外.如上图： 平面a与平面B不相交， 点B在平面a内，点A1在平面a外，记作：B 如图： ∈a,A1ta. (2)直线与直线、直线与平面的位置关系 ①直线与直线的位置关系有两种：直线与直 B 线相交和直线与直线不相交.如图： 平面a与平面3相交， B 若两个平面α与3不相交，则称这两个平面 平行，记作α∥3. a∥3台a∩3=0 直线a和直线l相交，记作：a∩l=B1;直线b 在画两个平行的平面时，通常把表示这两个 和直线1不相交，记作：b∩l=. 平面的平行四边形的对应边画成互相平行 ②直线与平面的位置关系有三种：直线在平 的.如图： 面内、直线与平面相交和直线与平面平行.如 上图： 直线a在平面B内，即直线上的每个点都在 平面内，记作：aCB;直线l与平面a相交，记 (1 (2 ·168· 第六章立体几何初步 五维课堂 思考1.如何从集合的角度理解点、线、面之 蛔思考2.以下条件能确定一个平面吗？ 间的关系呢？直线l在平面a外，则l与α (1)一条直线及直线外一点； 定没有公共点吗？ (2)两条相交直线； (3)两条平行线. [知识点二]平面的基本性质 (1)基本事实1 ①文字语言：过 的三个点， 有且只有一个平面 ②符号语言：A、B、C三点不共线→存在唯一 的a使 ③图形语言： 3.由基本事实3知，两个不重合的平面的所 A· (2)基本事实2 有公共点都在哪里呢？利用基本事实3可 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一 证明什么问题呢？ 个平面内，那么这条直线在这个平面内 ②符号语言： ,且A∈a,B ∈a→ ③图形语言： a B (3)基本事实3 [预习自测] ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点 1.下列说法正确的是 的 A.三点确定一个平面 ②符号语言：Pa,且P∈B→a∩B=l,且 B.四边形一定是平面图形 L. C.梯形一定是平面图形 ③图形语言： D.平面a和平面3有不在同一条直线上的三 个交点 2.在下列命题中，不是基本事实的是（) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个 平面 (4)平面性质的三个基本事实的三个推论 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个 这条直线上所有的点都在此平面内 平面 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那 B a C 么它们有且只有一条过该点的公共直线 a 推论2：两条相交直线确定一个平面 3.如图所示，点A 平面 ABC；点A 平面 BCD;BD 平面ABD; D 推论3：两条平行直线确定一个平面. BD 平面ABC;平面 B ABC∩平面ACD= =BC. ·169· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 ● 课堂。互动学案 ● 题型一空间点、直线、平面位置关系的刻画 题型二 点、线共面问题 [例1] 用符号语言表示下列语句，并画出 [例2]如图，已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b 图形 =B,l∩c=C.求证：a,b,c,l共面. (1)三个平面a,3,y相交于一点P,且平面a与 平面B相交于PA,平面a与平面Y相交于 PB,平面3与平面Y相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面 汇思路点拨]本题中直线较多，分别呈现 ABC与平面ADC相交于AC. “平行、相交”的位置关系，由基本事实可知， [思路点拨]依据条件，适当确定其中的某 它们都能确定一个平面，所以证明不同平面 一个平面，然后根据点、线、面的位置关系， 重合即可. 将其附着于固定平面上，注意图形的立体 感，要将被遮挡部分用虚线表示. 规律方法 点、线共面问题是指证明一些点或直线在 规律方法 同一平面内的问题，主要依据是基本事实 点与直线（或平面）的关系为元素与集合的 1、基本事实2及其推论.解决该类问题通 关系，用“∈”或表示点与直线（或平面） 常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分 的关系；直线与平面的关系为集合间的关 元素确定一个平面，再证其他元素也在该 系，不能用“∈”，只能用“二”，或“寸”表示. 平面内；(2)辅助平面法（平面重合法），先 ◇[变式训练] 由有关的点、线确定平面α，再由其余元素 1.用符号表示下列语句，并画出相应的图形. 确定平面B,最后证明平面α，3重合；(3)反 (1)点A在平面a外，点B在平面a内，直线l经 证法. 过点A,B; ⊙[变式训练] (2)平面a和B的交线是直线a,直线b经过a内 2.已知四条直线两两相交，且不共点.求证：这四 不在直线a上的点P且经过3内不在直线a上 条直线在同一平面内. 的点Q. ·170· 第六章立体几何初步 五维课堂坐 题型】 点共线、线共点 题型四】 两平面的交线问题 [例3](1)如图所示，已知E,F,G,H分别是正 [例4]如图所示的正方体ABCD 方体ABCD-A1B1CD1的棱AB,BC,CC1, -AB1C1D1中，E,F分别为CC C1D1的中点.求证：FE,HG,DC三线共点. 和AA1的中点，画出平面BED1F F [思路点拨]可先证明两条直线相交于一 和平面ABCD的交线， 点，再证明该交点也在另外一条直线上. 汇思路点拨]找这两个平面的两个公共点 D 即可. 规律方法 规律方法 两点确定一条直线，由平面基本事实3知， 点共线与线共点的证明方法 要想画出两个平面的交线，只需找到两个 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事 平面的两个公共点即可： 实3，即两相交平面交线的惟一性，通过 ◇[变式训练] 证明点分别在两个平面内，证明点在相 4.如图正方体ABCD D 交平面的交线上，也可选择其中两点确 AB1C1D1中，M,N,P分别 M 定一条直线，然后证明其他点也在其上. 是AB,A1D1,BB1的中点. 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中 画出过M,N,P的平面与平 一条作为分别过其余两条直线的两个平 面A1B1C1D1的交线以及与 面的交线，然后再证两条直线的交点在 平面BB,C1C的交线. 此直线上，此外还可先将其中一条直线 看作某两个平面的交线，证明该交线与 另两条直线分别交于两点，再证点重合， 从而得三线共点。 ⊙[变式训练] 3.已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线 满足AB∩a=P,BC∩a=Q,AC∩a=R,如图 所示，求证：P,Q,R三点共线. ·171· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 随堂。步步夯实 -● 1.已知点A,直线a,平面a,以下表述正确的个 5.已知A∈1，B∈l,C∈1，D庄l(如图)，求证：直 数是 ( 线AD,BD,CD共面. ①A∈a,ata→At;②A∈a,a∈a→A∈a; ③Ata,aCa→Ata;④A∈a,aCa→ACa. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中正确的是 () A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若A,B,C,D既在平面a内，又在平面B内， 则平面a和平面3重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 3.若直线1与平面a相交于点O,A,B∈l,C,D ∈a,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系 是 4.如图，已知D,E是△ABC 的边AC,BC上的点，平面 a经过D,E两点，若直线 AB与平面a的交点是P, a 则点P与直线DE的位置 C温馨提 关系是 学习至此，请完成配套训练 3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实4、等角定理） 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 借助实物理解异面直线的概念，进行 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 两条直线平行的判断，培养学生的直 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 观想象素养与逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 1.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两 用特号表示为 →a∥c. 条直线平行吗？ [知识点二]异面直线 (1)异面直线的定义和理解 ①定义：不同在任何一个平面内（不共面）的 两条直线称为异面直线 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两 ②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同 条边分别平行，那么这两个角相等或互补.空 在任何一个平面内. 间中是否有类似规律？ (2)异面直线的表示 为了表示异面直线a,b不共面的特点，画图 时，通常用一个或两个平面衬托.如图： [知识梳理] [知识点一]基本事实4 a 同一条直线的两条直线互相平行. ·172·参考答案 §3.空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实1、2、3) 课前预习学案知识梳理 [思考] 1.提示：不一定.当1与a相交时，l在a外，但有一个公共点」 知识点二 (1)不在一条直线上A、B、C∈aA∈1B∈LlCa(3)公 共直线∈∈ 「思考 2.提示：根据基本事实2，易知以上三个条件都能确定一个平 面.此三个结论可作为“基本事实2”的三个推论，在推理证 明中可直接运用. 3.提示：都在交线上，可证明多点共线问题 预习自测 1.C2.A 3.∈CAC平面ABC平面BCD 课堂互动学案 [例1][解](1)符号语言表示a∩B∩y=P,a∩B=PA, a∩y=PB,3∩y=PC,图形表示如图(1). (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC ∩平面ADC=AC,图形表示如图(2). B 图(1) 图(2) 变式训练 1.解：(1)A庄a,B∈a,A∈l,B∈1.大致图形如图(1). (2)a∩B=a,P任a,Qta,P∈a,Q∈B,P∈b,Q∈b.大致图形 如图(2). (1) (2) [例2][证明]a∥b,∴.a,b确定一个平面a. .l∩a=A,l∩b=B,∴.A∈a,B∈a 又A∈l,B∈l,∴.lCa..b∥c, ∴.b,c确定一个平面B.同理可证lCB. 于是bCa,lCa,bCB,lCB,即a∩B=b,a∩B=l. 又b与l不重合∴a与B重合，∴a,b,c,l共面. 变式训练 2.证明：依题意，已知a,b,c,d四条直线两两相交，且不共点， 求证：a,b,c,d四线共面. ①若a,b,c三线共点于O, 如图所示： O庄d,.经过d与点O有且仅 有一个平面a(推论1). 6 .A,B,C分别是d与a,b,c的a 交点， ∴A,B,C三点在平面a内. 由基本事实2知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d共面 ②若a,b,c,d无三线共点，如图所示： CN F d a b c a∩b=A,∴.经过a,b有且仅有一个平面a(推论2)， .B,C∈a,由基本事实2知cCa. ·26 五维课堂到 同理，dCa,从而有a,b,c,d共面. 综上所述，四条直线两两相交，且不共，点，这四条直线在同一 平面内. [例3][证明]如图所示，连接CB,GF,HE,由题意知 HC1∥EB,且HC1=EB,∴.四边形HCBE是平行四边形， ∴.HE∥C,B 又C,G=GC,CF=BF, GF∥CB,且GF=CB. ∴.GF∥HE,且GF≠HE, ∴.HG与EF相交.设交点为K, ∴，K∈HG,HGC平面DCCD ∴K∈平面DCCD. .K∈EF,EFC平面ABCD,.K∈平面ABCD, ,平面DC1CD∩平面ABCD=DC,∴.K∈DC .EF,HG,DC三线共点. 变式训练 3.证明：AB∩a=P, ,.P∈AB,P∈平面a. 又ABC平面ABC,∴.P∈平面ABC. .由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面a的交线上， 同理可证Q,R也在平面ABC与平面a的交线上. P,Q,R三点共线 例4][解]在平面AA1DD内，连接D1F并延长. D1F与AD不平行，.DF与DA必相交于一点，设为P, 则P∈FD1,P∈DA. 又FD,C平面BEDF, ∴.P∈平面BED1F, 又DAC平面ABCD, .P∈平面ABCD. ,P为平面BEDF与平面ABCD的公共点 又B为平面ABCD与平面BEDF的公共点， 连接PB,则PB即为平面BED,F与平面ABCD的交线. 变式训练 4.解：设M,V,P三，点确定的平面为《，则a与平面AA1B1B交 于MP. 连接MP并延长交A,B1的延长线于一点，设为R,连接 NR,则VR为平面a与平面A1B,CD1的交线.设RN∩ B1C=Q,则PQ是Q与平面BB1CC的交线，如图所示. D 随堂步步夯实 1.A[①不正确，如a∩a=A:②不正确， “a∈a”表述错误；③不正确，如图所 示，A庄a,aCa,但A∈a:④不正确，“A Cα”表述错误.门 2.B[共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公 共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四 边形可以是空间四边形.] 5 世五维课堂 3.解析：AC∥BD,∴.AC,BD确定一个平面B(推论3)，.a ∩B=CD,ABCB,又OEAB,∴.O∈B,又O∈a,∴.O∈CD,即 O,C,D三点共线. 答案：共线 4.解析：因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面ABC,又 P∈a,平面ABC∩平面a=DE,所以P∈直线DE 答案：P∈直线DE 5.证明：因为D庄l,所以D和l可确定一平面，设为α. 因为A∈l,所以A∈a.又D∈a,所以ADCa. 同理BDCa,CDCa,所以AD,BD,CD都在平面a内，即它 们共面. 3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理) 课前预习学案情境引入 1.提示：不一定.这两条直线可能相交、平行或异面. 2.提示：有.观察图形有∠AOB=∠A'O'B'. 知识梳理知识点 平行 [思考] 1.提示：不一定.没有公共点的两条直线也可能是异面直线。 2.提示：不能把异面直线误认为是分别在 不同平面内的两条直线，如图，虽然有 aCa,bCB,即a,b分别在两个不同的平 面内，但是因为a∩b=O,所以a与b不 是异面直线.所以，这种说法是不正确的 知识点三 对应平行 [思考] 3.提示：如图： C B A B (1) B (2) BB' (3) (1)两个角的两条边分别平行，并且方向相同（如图(1）)时， 两个角相等； (2)两个角的两条边分别平行，并且方向相反（如图(2）)时， 两个角相等； (3)两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一 组对应边方向相反时，两个角互补 知识点四 不大于90°互相垂直 [思考] 4.提示：如图： D ·2 数学(s·必修第二册 位置关系 符号表示 点A在直线 AA,上 A∈AA 点A不在直线 A￠BC BC上 ,点A在平面AB CD内 A∈平面ABCD 点A不在平面 A1BCD1内 AE平面A1B,CD1 直线AB与直线 AA1相交于点A AB∩AA1=A 直线AB与直线 A,B1平行 AB∥A1B1 直线AB与直线 CC1异面 直线AB在平面 ABC平面ABCD ABCD内 直线D,B和平面 ABCD相交于 D,B∩平面ABCD=B 点B 直线A1B,和平面 AB1∥平面ABCD ABCD平行 平面ABCD与平 面BB1CC相交 平面ABCD∩平面 BB CC=BC 于直线BC 平面ABCD与平 平面ABCD∥平面 面A1B1C1D AB C D 预习自测 1.D2.B3.平行 课堂互动学案 [例1][证明](1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点， 所以EF∥AC.HG/AC.EF=HG=AC. 所以EF∥HG,EF=HG, 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC, CD,DA的中点， 所以EH/BD,EH=BD. 因为EF=号AC,AC=BD,所以EH=EE. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形」 变式训练 1.证明：如图.取BB1的中点G,连接 GC,GE. F为CC1的中点，，BGZC F, .四边形BGCF为平行四边形， ∴.BF ZGC. 又EGA1B1,AB1LD1C1, ∴.EGLD1C, .四边形EGC1D1为平行四边形，.ED1业GC1. ..BF ZED. 「例2][证明]如图，在正方体ABCD一 ABCD1中，取A1B:的中点M,则BF =AM=AB.连接ME,MB,FC. BF∥A,M, ∴.四边形AFBM为平行四边形， 66