5.3.1 复数的三角表示式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s·必修第二册 §3.复数的三角表示 3.1复数的三角表示式 课程标准 素养解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式 养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通 之间的关系 过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学 2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角 生的数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P149 [情境引入] 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的 通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复 充要条件吗？ 数之有两种表示：一是代数表示，即之=a十bi(a,b∈ 提示：是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯 R);二是几何表示，复数x既可用点Z(a,b)表示，也 一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们 可用向量OZ表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘 的模和辐角主值相等 方等问题中还是较为繁琐， [预习自测] 问题能否找到复数之的另一种表示，彻底解决复数 1.复数1+i的辐角主值为 的乘、除、乘方、开方等问题？ A. B餐 C. D 提示：复数的三角形式z=r(cos0+isin0)(r≥0)是 解析：C[因为复数1十i对应的点在第一象限，所 解决问题的桥梁. [知识梳理] 以arg1+i)=平.] [知识点一]复数的三角形式 2.复数x=3-i的三角形式为 一般地，非零复数之=a十bi(a,b∈R)在复平面内对 应点Z(a,b),且r=|z|=√a+b,0是以x轴正半 A.2(os弩+idn) 轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则a=rcos0, b=rsin0,从而之=a十bi=r(cos0+isin),上式的 右边称为非零复数之=a十bi(a,b∈R)的三角形式 (对应地，a十bi称为复数的代数形式)，其中0称为 isini 之的辐角。 D.2cos 6 6 复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦 解析：D[因为，=2，所以c0s0=5,又=5-i 2 前、加号连，否则不是三角形式. [知识点二]辐角与辐角主值 对应的点在第四象限，所以g-),所以 (1)任何一个非零复数之的辐角有无数个，而且任意 两个辐角之间相差都是2π的整数倍，即辐角 为0+2k元(k∈Z). 3.将复数化为三角形式：一2+2i= (2)在[0,2π)内的辐角称为之的辐角的主值，记作 解析：一2十2i=2√2，点（一2,2）在第二象限，又 arg之. tan0=-1,.arg(-2+2i)=3r 4 2思考1.复数三角形式x=r(cos0十isin)中9一 定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？ -2+2i-2(cos+im￥ 3π 提示：复数三角形式中的日不一定是辐角主值，三 答案：2(cos+isin π 4 角形式不唯 254· 第五章复数 课堂。互动学案 对应学生用书P150 题型一 复数的辐角主值 ◇[变式训练] 2.判断下列复数是不是三角形式. [例1]求下列复数的模和辐角主值. (1)-1+i;(2)W5-i, [思路点拨]x=a+bi=r(cos0+isin0),r是复 (2)2 +isin- 数的模，当0≤0<2π时，0的值为辐角主值，记作 arg之. (3)sin3 -icos3 [解](1)|-1+i=√2，又tan0=-1,点(-1,1) (4)cos- 3 在第二象限，所以arg(-1+i)=3四 2π） 4 (5)-3c0s3 isin 弯点、-1D在结 (6)5cos 7π) (2)lW5-i=2,又tan0=- 答案：(1)不是(2)不是 (3)不是(4)是 四象限，所以arg(√5-i)=11 6 (5)不是(6)是 题型”复数代数形式与三角形式的互化 规律方法… [例3]把复数名=i,之=一1十√3i分别表示为三角 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外 形式 每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数 [思路点拨]之=a+bi(a,b∈R)=r(cos0+isin0), 之对应的点Z(a,b)确定角所在的象限，由tan0= 注意0的范围， 确定在[0,2元)内的角0，即为argx. [解] a =1,ag之=argi=受， ◇[变式训练] 1=cos受+isin受. 1.说出下列复数的辐角主值. (1)2i(2)-5(3)-3i |=√-1)2+(3)=2，tan0==-5,又 解：1)arg(2i)=受.(2)arg(-5)=元 Z(-1)在第二象限，arg=经 (3)arg(-3i)= 2元. 2(cos经+isin） 规律方法 题型二复数的三角形式的判断 代数形式化为三角形式的步骤为： [例2]判断下列复数是否是三角形式. ①先求复数的模r=z;②确定Z(a,b)所在的象 (1)x1=-2(cos0+isin0); 限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式 (2)z2=cos 0-isin 0; 三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表 (3)z3=-sin 0+icos 0; 达式简单，常取辐角主值， (4)之4=cos60°+isin30. ◇[变式训练] 3.将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）. [思路点拨]之=a十bi可以表示成之=r(cos0十 isin),r≥0,0为辐角. (D2(cos-isin号 [解](1)由r≥0知，之1不是三角形式. (2)- (as+in (2)2中cos0与sin0之间为减号，不是三角形式. 3π (3)中正、余弦位置不对，不是三角形式： (3)2(sin平+icos (4)之中角不同不是三角形式. (4)2(-cos+isin 规律方法 答案：12(os+isin π 三角形式x=r(cos0+isin0),需要的条件：①r≥ 0.②0前后一致，可取任意值.③cos0在前，sin0 在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余 (22(eos+isin智〉 (3)2 cos 7+isin 弦前、加号连，此四个条件缺一不可. (④2(cos+isin) ·255· 数学s·必修第二册 随堂。步步夯实 对应学生用书P151 1.复数=(in+ics) 化为代数形式为 4.若复数之满足 -2ars()则 解析：令 1=0,则，=，arg。=六2， n- 2{os音士in）-.尚号2}+。 解析：D [z=5sin2+icos π 3sin 3 得=1+ icos 2=× 答案：1+ 5.把下列复数表示成代数形式 2.复数x=一a-ai(a>0)的辐角主值为 ( B字 4(os+isim 3 A (2)6cos 11 11） 6r+isin6元： D子 (3w(cosx+isnx)月 解析：C[a>0时，之对应的点（一a,一a)在第三 象限，an0=1,又0[0,2x0=子] (43(cos+in号r】 3 3.将复数=[o(-)十in(一)]化为代数 解：14(s+in)4x(+ =2+2i 形式为 解析：=(os-isn)-Xcos-i回 =3V3-3i. ×sin=1-i 8@(as子x+in-x(+号） =-1+i. 答案：1一i (4)3(cos2x+isinx)= 3i 课后。素养提升 对应学生课时P92 基础过关 3.两个复数1，之2的模与辐角分别相等是名=2成 JI CHU GUO GUAN 立的 1.复数1一√i化成三角形式，正确的是 A.充分不必要条件 A.2cos isin3) 2π 2π B.必要不充分条件 B.2 cosisin 5元 5π C.充要条件 D.即不充分又不必要条件 3 解析：A[若1=，则两复数的模相等，但辐角 不一定相等] D.2cos 6 6 4.若复数=(a+iP的辐角是，则实数a的值是 解析：C [1一√3i=2,又(1，一√3)在第四象限且 tan ,故arg(-1+)=所以化成三角 ( A.1 B.-1 形式为2cos要+isim） C.-√2 D.-√3 2.复数x=一sin100°+icos100的辐角主值是 ( 解析：B[复数x=(a十i)2=a2-1+2ai的辐角为 A.80° B.100 C.190 D.260 号则：对度的点公一1,2)在y轴负卡轴上， 解析：C[x=-sin100°+icos100°=cos(90°+ ÷g1=0a=-1 100)+isin(90°+100)，故argx=190°.] (2a<0, ·256· 第五章复数 5.(多选)下列复数不是三角形式的是 10.写出下列复数的辐角的主值. A.5(cos要+isin晋 (1)-5-i; (2)-ai(a≠0). &2(os-in) 解：(1)因为r=√/（一√3）2+(-1)2=2， c.s[eas+isin】 所以ca9=停n9=合 D.2(-os吾+isin吾 又因为∈[0,2π)，所以复数一√3一i的辐角的主 解析：ABD[由复数三角形式的结构特征判断，A 值0=2否 中角不同，B中是减号，D中c0s否前是负号，故A (2)当a>0时，r=a,cos0=0,sin0=-1,复数 B,D都不是三角形式.门 6.(多选)设3+4i的辐角主值为0，则(3十4i)·i的辐 aia≠0)的辐角的主值0-受： 角可以是 ) 当a<0时，r=-a,cos0=0,sin0=1,复数-ai A.5+0 B-0 (a≠0)的辐角的主值0=受. c0-要 n.经-0 11.将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： 解析：AC [(3+4i)i=-4+3i=5· 5-i(21+i:3)2(sn答+ios晋）月 (+)又3+4=5·（得+）s 解：(1)因为r=√（√3）2十(-1)2=2， =-sin 0,3-cos 0, c0s9=sm0=-,所以9=1 ..5(-sin 0+icos 0)= 所以5-i=2(os1+isin1g 5·[eos(受+小+isin(Ξ+0] (2)因为r=√+I=反os0=sin9=9 “(3十4ii的辐角主值为受十仅故选A,C.] 所arg1十iD=平，所以1+i=√2(cos于+isin平)。 一的三角形式为 (要求辐角为辐角 主值) 3)原式-2[eo(受晋)十in(受晋】 =-1-i-1- 3π 4 4 4 之到誓] 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.将复数1十√3i所表示的向量绕原点按逆时针方 答案：o誓+im】 向旋转0角(0<0<2π)所得的向量对应的复数为 -2,则0 8.arg·os晋）— 解析：arg(1十原i)=号，arg(-2)=元，1十5i= 解析：z=icos os晋>0，点(0，0s晋)在y轴 2.所以将1十所表示的逆时针旋转日=三，所 得向量对应的复数为一2. 答案：受 答案号 9.复数x=3√3+3i化为三角形式为 ,arg之= 13.已知复数之=2+3i,之是之的共轭复数，求复数 u=z一i这的辐角主值与模. 解析：x=6,之对应的点(3√5,3)在第一象限，tan0= 解：，之=2+3i,.z=2-3i,.u=2+3i-i·（2 停ag=君e=6o吾+m 3i)=2+3i-2i-3=-1+i,u对应的点为(-1， 6 1D在第二象限，又an0=-1.:argw-子，ul 答案：6eos+in)音 =|-1+il=√2. ·257· 数学s·必修第二册 素养培优 SU YANG PEI YOU 0式右=-20s号c0s号-in号】 14.求复数x=1+cos0+isin(π<0<2π)的模与辐 角主值、 =一 2cos- 解：x=1十c0s0+isin0=1+(（2cos2号-1+2i ∴.z=r=-2cos ag=x+号+2kxk∈ZD. ·sin号cos号-2cas(os号+isin号 ①. <号<2<+号<2 3 <0<2x<号<，∴os号<0 ag=号 3.2复数乘除运算的儿何意义 课程标准 素养解读 从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算 2.掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点 方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养， 提升数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P152 [情境引入] isin(01一02)]，即由两个复数之1，之2（x2≠0)的三角 复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算， 形式可得的三角形式；名的模除以2的模等于 问题三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数 形式的乘法法则得出？ 提示：三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进 兰的被，的辐角藏去的辐角是号的辐角。 简记为：模数相除，辐角相减 行计算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘 法法则可使运算简便 。思考1.三角形式下两个复数相乘，积的辐角等于 [知识梳理] 这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐 1.复数三角形式的乘法 角主值”吗，即arg(之之2)与arg名1，arg之2有怎样 设复数名=r(cos(+isin0,),22=r2(cos8+isin02), 的关系？ 则1之2=r(cos01+isin8)·r2(cos02十isin02) 提示：积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中 =rr2[cos(0,+0,)+isin(0,+0,)门，即由两个复数 各任取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为 1,之2的三角形式可得1之2的三角形式，之1的模乘 积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这 以的模等于之之2的模，之的辐角与之2的辐角之 两个复数的辐角主值和.arg(z122)=arg2十arg 和是12的辐角， 之2十2k元，其中整数k使arg1十arg之2十2kx∈ 简记为：模数相乘，辐角相加 [0,2x). 几何意义：设1，对应的向量分别为OZ,OZ2, 2.由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解 复数乘法的几何意义？ 将OZ绕原点旋转6，再将OZ1的模变为原来的r 提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩， 倍，如果所得向量为OZ,则OZ对应的复数即 旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中 为2122 取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复 2.复数的乘方 数的模的大小 Er(cos 0+isin 0)]"=r"[cos(ne)+isin(ne)],nE [预习自测] N,即复数n次幂的模等于模的n次方，辐角等于复 1.把复数a十bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原 数辐角的n倍。 点O点按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复 简记为：模数乘方，辐角n倍. 数为 () 3.复数三角形的除法 A.a-bi B.-a+bi 设复数名=r(cos0+isin0,),z2=r2(cos6+isin02), C.b-ai D.-b+ai 则2=(cosA士isin}=2[cos(9-9,)十 解析：C[按顺时针旋转90°，即将复数与一i相 z2 r2 (cos 0,+isin 02)r2 乘，所求复数为(a十bi)·(-i)=b-ai.] ·258·