5.2.1 复数的加法与减法（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第五章复数 §2.复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 课程标准 素养解读 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复 通过复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养，通 数加、减法的几何意义 过运用复数加、减运算法则，培养数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P143 [情境引入] [知识点二]复数加法的几何意义 乘飞机从上海到香港约 设之1=a十bi,22=c+di(a,c,d∈R). 2.5小时，从香港到台北约4小 如图(1)，复数之1+2是以 y 时.因此从上海经香港转航到 OZ,,OZ2为邻边的平行四边形 台北约6.5小时.在两岸同胞 的共同努力下，现在实现两岸 的对角线OZ所对应的复数. 直航，上海到台北只需约1.5 如图(2)，复数名1一2是从向 0 小时.比直航前节省约5小时， 量OZ,的终点指向向量OZ,的 图(1) 有关航行节时的多少.体现了实数集内的代数运算. 终点的向量Z乙所对应的复数， 问题复数集内可进行复数的四则运算吗？ [预习自测] Z1 提示：能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以 按照向量的加减运算进行. 1.计算(3+i)一(2+i)的结果为 0 [知识梳理] 图(2) [知识点一]复数的加法与减法 A.5+2i B.-i 1.加法法则 C.1 D.1-i 设x1=a十bi,之2=c+di是任 解析：C[(3+i)-(2+i)=3+i-2-i=1.故 意两个复数，那么(a+bi)+(c 选C.] +di)=(a+c)+(b+d)i,两个 2.已知i是虚数单位，复数1=一3十2i,之2=1一4i. 复数的和仍然是一个确定的复 则复数之=名十2在复平面内对应的点位于 数.两个复数的和的实部是它 0 们的实部的和，两个复数的和 图(1) A.第一象限 B.第二象限 的虚部是它们的虚部的和. C.第三象限 D.第四象限 2.加法运算律 解析：C[由复数加法运算可知，之=之1十2=一3 对任意1，之2,23C,有之1十22=2十21，(21十之2) 十2i十1一4i=一2一2i,在复平面内对应的，点坐标 十3=1十（x2十x3). 3.减法法则 为（一2，一2），在第三象限.故选C.] 复数的减法是加法的逆运算； 3.已知z1=(3.x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),之2=(4y 设x1=a十bi,2=c十di是任意两个复数，则(a十 -2x)-(5.x+3y)i(x,y∈R).设z=x1一22，且之= bi)-(c+di)=(a一c)+(b-d)i,两个复数的差是 13-2i,则之1= y22一 一个确定的复数.两个复数的差的实部是它们的实 解析：之=名-之2=(3.x+y-4y+2x)+（y-42+ 部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差. 5x+3y)i=(5.x-3y)+(x+4y)i=13-2i. ?思考复数加法应注意什么？ /5x-3y=13, 提示：复数加法的几个注意，点 (x+4y=-2, (1)因复数具有数与形的多重性，因此复数加法也 应从数与形两方面领会，代数形式上，复数加法 类似于多项式的加法的合并同类项. .x1=5-9i, (2)两复数的和是一个确定的复数. 22=-8-7i. (3)实数的运算性质，在复数集中仍然成立， 答案：5-9i-8-7i ·245· 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P144 题型一 复数的加法、减法运算 [解]复平面内平行四边形OABC的三个顶，点O, [例1](1)计算：(2-3i)+(-4+2i)= A,C对应的复数分别0,2十4i,3-3i,.向量OA对 (2)已知名1=(3.x-4y)+(y-2x)i,之2=(-2x十 应的复数2+4i,向量OC对应的复数为3一3i. y)十(x-3y)i,x,y为实数，若x1-2=5-3i,则 (1),C0=一OC,∴.向量C0对应的复数为一(3 x1十x2= 3i)=-3+3i. [思路点拔j若1=a十bi,x2=c十di,(a,b,c,d (2):AC=OC-OA,.向量AC对应的复数为(3 ∈R).则x1十2=(a十c)十(b+d)i, 3i)-(2+4i)=1-7i. 之-x2=(a-c)十(b-d)i. (3):OB=OA+O心，.向量OB对应的复数为(2+ [解析](1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3 4i)+(3一3i)=5+i,.点B对应的复数为5十i. +2)i=-2-i. 规律方法 (2)名1-x2=[(3x-4y)+(y-2x)i门-[(-2.x+y) +(x-3y)门=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y 复数之与复平面内的向量OZ是一一对应的关系， 2x)-（x-3y)]i=(5.x-5y)+(-3x+4y)i 复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数 =5-3i, 的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形 所以 5x-5y=5, 法则. -3x+4y=-3, 解得1， (y=0, 类比实数减法的意义.复数的减法也是加法的逆 所以x1=3-2i,22=一2十i,则x1十之2=1一i, 运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数 所以名1十之2=√2. 若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则 [答案](1)-2-i(2)2 d=Z乙2=x1一x2,其中名，之是复平面内的 规律方法 两点乙，乙。对应的复数.这就是复平面内两点间 复数代数形式的加、减法运算技巧 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部 的距离公式： 与实部相加、减，虚部与虚部相加、减之后分别 ◇[变式训练] 作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复 2.(1)已知复平面内的平面向量OA,AB表示的复数 数的实部与虚部. 分别是-2+i,3+2i,则1OB|= 2.算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再 (2)若名=2十i,=3十ai,复数2一名所对应的点在第 确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚 四象限上，则实数a的取值范围是 部与虚部分别相加减. 解析：(1)OB=OA+AB, 3.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括 号优先：若无括号，可以从左到右依次进行计算. .OB表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1十3i, ⊙[变式训练] ∴.1OB=√+3=√10 1.(1)计算(2+4i)+(3-4i): (2)之2-1=1+(a-1)i,由题意知a-1<0, (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1一5i). 即a<1. 解：(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. 答案：(1)√10(2)(-∞，1) (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 题型三复数加、减法及几何意艾的综合应用 题型二 复数加、减法的几何意义 [例3](1)如果复数之满足|之+i+x-i=2,那 [例2]在复平面内，已知平行四边形OABC的三个 么x+i+1的最小值是 顶点O,A,C对应的复数分别为0,2十4i,3一 A.1 3i.求： R名 (1)向量CO对应的复数； C.2 D.5 (2)向量AC对应的复数； (2)若复数x满足|之十√3+i≤1，求|z的最大值 (3)点B对应的复数. 最小值. 汇思路点拨]明确向量运算与复数运算的关系， 汇思路点拨了“审清题意，正确画出图形，以形 先求向量再计算利用复数 助数. ·246· 第五章复数 [解析](1)设复数一i,i,一1一i在 规律方法 (1)设出复数z=x十yi(x,y∈R),利用复数相等 复平面内对应的点分别为Z,Z2, 或模的概念，可把条件转化为x,y满足的关 Z,因为z十i+1z-i=2, 系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题 实数化”思想的应用. Z1Z2=2, (2)在复平面内，1，之2对应的点为A,B,之1十2 所以点Z的集合为线段Z1乙2 对应的点为C,O为坐标原点，则四边形 OACB:①为平行四边形；②若|名1+z2= 问题转化为：动点Z在线段Z1乙2上移动，求ZZ |名1一2，则四边形OACB为矩形；③若|名 的最小值， =|2|,则四边形OACB为菱形，④若|之1| 因为Z1Z3|=1.所以|z十i+1mn=1. |x2且名1十x2|=|x1一x2|,则四边形OACB 为正方形. (2)解如图所示， ◇[变式训练] 3.设复数x=a十bi(a,b∈R),1≤|z≤2，则|之+1的 0M1-√(-3)2+(-1)=2. 取值范围是 所以之mx=2十1=3，zmn=2-1=1. 解析：由复数的模及复数加减运算 的几何意义可知，1≤|之≤2表示 如图所示的圆环，而之十1|表示复 数之的对应点A(a,b)与复数之1= 一1的对应点B(一1,0)之间的距 离，即圆环内的点到点B距离d.由 图易知当A与B重合时，dmin=0,当点A与点C (2,0)重合时，dmax=3,.0≤之十1≤3. [答案] (1)A(2)见解析 答案：[0,3] 随堂。步步夯实 对应学生用书P145 1.若复数x满足之十i一3=3一i,则之等于 设D(x,y),则AD=(x一1，y-3).AD=BC, A.0 B.2i C.6 D.6-2i ÷-1y-3)=2,2解得=3 解析：D[z=3-i-(i-3)=6-2i.] y-3=2, (y=5. 2.复数1=3十i,之2=十i,则之1十x2在复平面内表 .点D表示的复数为3十5i. 示的点在 ( 答案：3+5i A.第一象限 B.第二象限 5.已知复数名1=1+2i,之2=-2十i,=-1一2i,它 C.第三象限 D.第四象限 们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三 解析：A[x1十x2=(3+i)+(i+i)=(3+i)+ 个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点D对 (一1+i)=2十2i,对应的点在第一象限.门 应的复数. 3.(a+bi)-(2a-3bi)-3i= (a,b∈R). 解：设第四个顶，点D对应的复数 解析：(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b 为x十yi(x,y∈R),如图.则AD B -3)i=-a十(4b-3)i. 答案：一a十(4b-3)i =OD-OA=(xy)-(1,2)= 4.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1十3， (2-1,y-2),BC=OC-OB 一i,2+i,若AD=BC,则点D表示的复数 (-1,-2)-(-2,1)=(1,-3)..AD=BC, 是 解析：，点A,B,C对应的复数分别为1十3i,-i, 1年每 y=-1. 故点D对应的复数 2+i,.A(1,3),B(0,-1),C(2,1),.BC=(2,2). 为2-i. 课后。素养提升 对应学生课时P88 基础过关 JI CHU GUO GUAN 2.在复平面内，O是原点，OA,OC,AB表示的复数分 1.若之一3十5i=8-2i,则之等于 ) 别为一2十i,3+2i,1+5i,则BC表示的复数为 A.8-7i B.5-3i C.11-7i D.8+7i A.2+8i B.4-4i 解析：C[x=8-2i-(-3+5i)=11-7i.] C.-6-6i D.-4+4i ·247· 数学s·必修第二册 解析：B[BC=OC-OB=OC-(OA+AB)= 9.已知复数z=1,则复数3十4i+之的模的最大值 (3,2)-(1,5)-(-2,1)=(4,-4).] 为 ,最小值为 3.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单 解析：令w=3+4i十z, 位)，则a,b的值分别等于 则x=w一(3十4i). A.3,-2 B.3,2 :|x=1,.1w-(3+4i)=1, C.3,-3 D.-1,4 复数w在复平面内对应的点的 0 解析：A[(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi, 轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的 所以a=3,b=-2.] 圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数wA 4.1(3-5i)+(2i+i2)|= 的模最大，为√3十4十1=6，圆上的点B所对应的 A.3√2 B.√1I 复数wB的模最小，为√32+4-1=4，.复数3十4i C.25 D.√13 十之的模的最大值和最小值分别为6和4. 解析：D[(3-5i)+(2i+)|=|(3-5i)+(-1 答案：64 +2i)|=|(3-1)+(-5+2)i=|2-3i|= 10.设m∈R,复数名=m士0+(m-15)i, √22+(-3)=√/13.] m+2 一2+m(m一3)i,若x1+z2是虚数，求m的取值 5.在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复 范围 数是6+8i,BD对应的复数是一4十6i,则DA对应 解：21十z= 的复数是 (m2士-2）+[(m-15)+m(m (m+2 A.2+14i B.1+7i 3)]=m二m,24+(m2-2m-15)i,因为名1+xg m+2 C.2-14i D.-1-7i 是虚数，所以m2一2m-15≠0且m≠一2，所以m 解析：D[依据向量的平行四边形法则可得DA十 ≠5且m≠一3且m≠一2，所以m的取值范围是 DC=DB,DC-DA=AC,由AC对应的复数是6十 (-∞，-3)U(-3,-2)U(-2,5)U(5,+∞). 8i,BD对应的复数是一4十6i,依据复数加减法的几 11.已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数 何意义可得DA对应的复数是一1一7i.] 分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交 6.A,B分别是复数之1,22在复平面内对应的点，O是 于P点. 原点，若1x1十22|=|z1一2，则△AOB一定是 (1)求AD对应的复数： (2)求DB对应的复数： A.等腰三角形 (3)求△APB的面积. B.直角三角形 C.等边三角形 解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以AC=AB D.等腰直角三角形 +AD,于是AD=AC-AB,而(1+4i)-(3+2i) 解析：B[根据复数加（减）法的几何意义，知以 =-2十2i,即AD对应的复数是-2+2i. OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等， (2)由于DB=AB-AD,而(3+2i)-(-2+2i)= 则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三 5,即DB对应的复数是5. 角形.] 7.在复平面内，若OA、OB对应的复数分别为7+i、 8南于P=2cA=3C-（日-2小 3-2i,则|AB P店=D店=（告） 解析：|AB|=|OB-OA1=1一4-3i|= √(-4)+(-3)7=5. 于是PA.PB=- ，P1-空P-, 2 答案：5 8.若复数之满足之=x|一3一4i,则之= 所以受·号·os∠APB= 2 解析：设复数之=a十bi(a,b∈R),则a=√a十b ca∠APB=得故n∠APB=,故 7 且6一4，解得a三6h=一4，所以之 5号PiPm∠APB×9X号 2 2 答案：行-打 X-多，即△APB的教为受 17 ·248· 第五章复数 能力提升 (2)若A∩B=A,因为两圆半径相等，所以两圆重 NENG LI TI SHENG 12.设复数1，之2在复平面内的对应点关于虚轴对 合，但由圆心的坐标（一1,0）及(m一1,1)，可知它 称，之1=2十i,则名2= 们不可能重合，所以不存在实数m,使A∩B=A. A.-5 B.5 素养培优 SU YANG PEI YOU C.-4+i D.-4-i 解析：A[之=2十i在复平面内的对应点的坐 14.已知复数名1=1+(10-a2)i,之2=(2a-5)i,a>0, 标为(2,1)， 21十2∈R. 又名1与2在复平面内的对应点关于虚轴对称， (1)求实数a的值； 则2的对应点的坐标为（一2,1）， (2)若x∈C,|之-x2=2,求|zx的取值范围. 即之2=-2十i, 解：(1)因为x,=1+(10-a2)i,22=(2a-5)i,a>0, .xx2=(2+i)(-2+i)=i-4=-5.] 13.已知集合A={名1名+1|≤1，名∈C,B={22 所以1+22=1-(10-a2)i+(2a-5)i =21+i+m,名∈A,m∈R. =1+(a2+2a-15)i, (1)当A∩B=必时，求实数m的取值范围； 因为1十2∈R,所以a2十2a-15=0, (2)是否存在实数m,使得A∩B=A? 解得a=-5或a=3, 解：因为|名1十1≤1，所以1所对应的点构成的 因为a>0,所以a=3. 集合A是以（一1,0）为圆心，以1为半径的圆面 (2)由(1)知x2=i, (圆周及其内部)，又=1十i十，所以名=之2一 i-m.所以之2-i-m十1≤1，即|x2-[(m-1)+ 因为之一之2=2，所以之在复平面内对应点的轨 门≤1. 迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆. 所以之2所对应的点的集合B是以点(m一1,1)为 故x可看作是复数之在复平面内对应的，点到坐 圆心，1为半径的圆面（圆周及其内部） 标原点的距离， (1)若A∩B=必，说明上述两圆外离，其圆心距d 所以2-1≤|x≤2+1，即1≤|之≤3. =√(m-1+1)2+1>2,解得m的取值范围是 故|x的取值范围为[1,3]. {mm∈R,且m>√或m<-√3}. 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法儿何意义初探 课程标准 素养解读 通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及 乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P146 [情境引入] 2.复数乘法的运算律 两个实数的积、商是一个实数.那么两个复数 对于任意之1，之2，∈C,有 的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运 交换律 之1·2=22·之1 算.才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中 的有关规定相容？复数的加减运算把ⅰ看作一个 结合律 （21·22）·3=名1·（22·3) 字母.相当于多项式的合并同类项.那么复数乘法 乘法对加法 之1·(x2十之3)=之122十21·g 是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 的分配律 [知识梳理] 3.复数范围内正整数指数幂的运算性质 [知识点一]复数的乘法法则 对复数之，之1，之和正整数m,n,有之”·之”=之m+", 1.乘法法则 (")”=2m,(x1·x2)”=21”·22”. 已知之1=a十bi,22=c十di,a,b,c,d∈R,则之1·z2 4.i的乘方的运算性质 一般地，对任意自然数n,有"=1，+1=i,in+2= =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. -1,i+3=-i. ·249·