第4章 三角恒等变换 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s,·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 -● 1.tan15°等于 ( 5.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半 A.2+5 B.2-√3 轴为始边作两个锐角α，B,它们的终边分别与 C.√3+1 D.√5-1 单位圆相交于A,B两点，己知A,B的横坐标 0 2.已知5π<0<6r,cos a,那么sm等丁 分别为行号求cos号十sn号十m号的值， ( A.VIFa 2 B.VI-a 2 1+a C.2 D. 1-a 2 3.若-2π<a< 3π，则化简 1一cos(a一元的 2 结果是 ( ) A,sin号 Bcos号 c.-sin号 D.-cosa 4.己知sina= 5,cos a= 2√5 则tan 5 ©温馨提西 学习至此，请完成配套训练 章末归纳提升 [网络构建] cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B. sin'a+cos'a=1. cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B, tana=sina 同角三角函数关系式 sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin B, cosa sin(a-B)=sin a cos B-cosasin B, 两角和与差的余弦、 正弦及正切公式 a+=巴号 asina+bcosa=a+b sin(a+) b 辅助角公式 aa-=ana-an a I+tan atan B cosp+古n0 √a+b ak+受B+a±Bk+受keZ sin 2a=2sina cosa. 三角恒等变换 cosacocos()co cos2a=cos'a-sin'a =2cos'a -1=1-2sin'a 2。 二倍角公式 sin acos B=[sin(a+B)+sin(a-B) =sn(a+-sna- 靴藤复和m4ay=2油宁o 差化积公式 2 1+cosa sin x-sin y=2cossin 21 2 半角公式 1-cosa sina 1-cosa w4oay=2aos5生a cosx-cos y=-2sinsin 2 2 ·134· 第四章三角恒等变换 五维课堂兰 [归纳提升] 题型一】 三角函数式求值 ◇[变式训练] 三角函数式求值主要有三种类型，即 1.已知sim(+a]sin(任--6a(臣月 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观 察发现题中的角与特殊角都有着一定的关 求 sin4a的值. 1+cos2a 系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导 公式. (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的 值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问 题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、 配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过 往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还 需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨 论角的范围. [例1)(1)已知锐角a3满足sina=5 5,cos B= 0,则a十8等于 3√1 A. B.π或3 题型二 三角函数式的化简与证明 c 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻 D.2kx+(k∈Z) 求思路 5,tan(a-B)= (1)观察三角函数式特点，已知和所求中包含什 (2)已知a,3为锐角，cosa= 么三角函数式，它们可以怎样联系。 一分求cos月的值 (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联 系起来 (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可 以达到统一 [例2]求证：cos2(A+B)-sin2(A-B) =cos 2Acos 2B. ·135· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2化.简win证A计月2oms2ams24 3.已知函数f(x)=4 cos wxsin a(w>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象 上相邻两个最高点的距离为元. (1)求a和w的值； (2)求函数f(x)在[0，π)上的单调递减区间. 题型 三角恒等变换的应用 利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想 方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能 顺利地探求三角函数的有关性质.反过来，利 用三角函数的性质，可确定解析式，进而可求 出有关三角函数值.因而三角恒等变换与三角 函数的综合问题是高考命题的热点.解决三角 恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟 练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其 解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角 为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关 的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒 等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂；收缩 代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还 要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的 运用. [例3]已知函数f()=2 sin毫-23sir平 4 +5. (1)求函数(x)的最小正周期及最值； (2)令gx)=f2+)判断函数g(x)的奇 偶性，并说明理由. ·136·巴五维课堂 变式训练 1.解析：(1)因为5<03， 所以c0s8=一 √/1-sin'0=- 45π0<3π 5422 8 所以sin <0,cos2<0. 所以s号= /1-c0s0 /1十cos0_ /10 cos2=2 10 所以tan2 sin 、B =3. co +s号-g- 所以tan2 √10 10 (2)因为c0sa=一 3 则受∈（受，平），财由半角公式，得 3 tan 1-cos a 2 1+cos a 1+ 答案：(1)B(2)-2 [例2][解]原式= (（2cos合+2sin2cos号)(sin号-cos受） √22os号 2eos受(cos号十sim受)(sin号-co受)） 2os号 c0s号(-c0sa) cos号 又因为180°<a<360°， 所以90<号<180，所以c0s受<0， (-cos 所以原式= cos 2 cos a. 变式训练 2.解：a∈ (受2…受∈(x cos>0,c0s号<0， 1 2cos a a =-c0s2 a [例3】[证明]右边=cos0干c0s20 2sin 0 2sin（2-2J 388 38. 2(sin 2 cos 2-cos 8 2 sin 2 38B 2cos 2 cos 2 39 sin 2 sin 2 38 .30 =左边所以等式成立 c052 =tan之-tan 数学s,·必修第二册 变式训练 cosa 3.证明：(1)左边= cos'a 1 1+cos a 1-cos a 2cos a -2 sin acos a sin a sin a sin a =sm2a=右边，故原等式成立 (2)左边= 2sin xcos x (2sn音cos号 -2sin 艺)(2sincos+2sim号 2sin xcos x 4si营(os一sin 2 sin x 2eas首 1十c0s工=右边， 2sim乏 sin 2sin壹co x sin x 所以原等式成立 随堂步步夯实 1,B[tan15°=1-cos30° 1 sin 30 2=2-5.] 2D因为5π<9<6元，所以5A3灭所以sin 42 1一cos2 2 3.D[ /1-c0s(a-π) /1+cos a 2 cos 2 -2π<a< 3π c0s<0c0s=-c0s 1-25 4.解析：tan2 1-cos a=- 5=5-2. sin a 答案W5-2 5.解析：依题意，得c0sa= 1 2 ,c0sB= 因为a,B为锐角， 所以c0s2 十sin2 +tan /1十cosa 1-cos B 2 /1-cos a 2+√6 V1-cos a 1 2 1 章未归纳提升归纳提升 [例1](1)[解析]C由sina c0s月=3且a,8为 √5 10 锐角， 可知cosa=2 5 ,sin A=10 10 故cos(a+m=cos acos-sin asin=2y5×3厘_5X 5 10 5 √10_2 10 21 又0<a十B<π，故a十B=灭 4 (2)[解] 4 :a是锐角，c0sa=5: 3 3 sina=号，tana=子 ∴.tan3=tanLa-(a-)] 254· 参考答案 tan a-tan(a-B)13 1+tan atan(a-B)9 (sin'B+cosB=1, :8是锐角，∴.由{sin2_13 cos B 9. 得c0s日=9⑩ 50 变式训练 1解：sin(受+a)sim(至-）= sm(骨+小o(斧+） s如（受+2） 即cos2a=3 又a∈（受x…2ae(,2x, .'sin 2a=- √/1-cos'2a= -()=-2 3 .sin 4a 2sin 2acos 2a 1十c0sa 1+1cos2 2 3 _42 1十3 15 1十2 [例2】证明：左边=1十C0s(2A十2B)--c0s(2A-2B) 2 2 -cos(2A+2B)+cos(2A-2B) cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B) =c0s2Ac0s2B=右边. 所以原等式成立 变式训练 2.解：原式=nn9计2（2o&-1D2cos-分1D =月-号(4-2coa-2os +1) =sinin-9时cosa+cos月号 =sinin时cosa1-cosB0十eosp号 =inain9时计osg-合 =sin'g(sina十cosa)+十cos'B2 1 [例3]解：)：f)=sin受+-2sin) =sn受+5cos音 =2sin(受+号)） ()的最小正周期T=2匹=4元 2 当sim(受+晋)-1时fx)取得最小值-2： 当si(受+晋)=1时，fx)取得最大值2. (2)g(x)是偶函数，理由如下： 由1)知f)=2si如（位+号） 五维课堂兰 又g(x)= (+) g(x)= sin[2(e+音)十晋] =2sin(+）=2cos号 “g-20=20(-）2os=g), 又g(x)=2c0s号的定义城为R,关于原点对称， 函数g(x)是偶函数 变式训练 3.解：I)f代x)=4 cos sin(or+若）十a =4cos wx 1 2 2 sin+c0s十a =2√5 sin wxcos wx-+2 coswz十a =√3sin2wx十cos2awx十1十a =2sin(2ar+晋）十1+a, 故当加(ar+晋)=1时，)取得最大值2+1十a=3 十a. 又f(x)图象上的最高点的纵坐标为2， .3十a=2,即a=-1. 又f(x)图象上相邻两个最高，点的距离为π， f(x)的最小正周期T=π， :2w-年=2，w=1 (2)由1)得f)=2sm(2z+看） 由受+2r≤2x+吾<经+2x,6e7, 得君十km≤x<ξ+，∈Z 令=0，得吾≤<答 6 画教x)在[0，上的单润递减区同为[告号] 第五章复数 §1.复数的概念及其几何意义 1.1复数的概念 课前预习学案情境引入 提示：若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数则无法比 较大小」 知识梳理知识点一 虚部实部-1{a十bia∈R,b∈R [思考] 1.提示：不一定，对于复数之=a十bi(a,b∈R),实部才是a,虚 部才是b. 2.提示两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等的关 系，而不能比较它们的大小 预习自测 1.C2.D3.3-1 课堂互动学案 [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为 -3,虚部为号，是虚教：③的实部为瓦，虚部为1，是虚数： ④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为 一√3，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 变式训练 1.解：在有理数集中：x1-25=(x2十5)(x2-5). 在实数集中：x1-25=(x2十5)(x2-5)=(x2十5)(x十√5) (x-5). 在复数集中：x1-25=(x2十5)(x2-5)=(x2+5)(x十V5)(x -5)=(x十5i)(x一W5)(x十5)(x-√5). 255