第4章 三角恒等变换 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第四章三角恒等变换 章未归纳提升 对应学生用书P134 [网络构建] cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B. sin'a+cos'a=1. cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B, tana=sina 同角三角函数关系式 sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin B. cosa sin(a-B)=sina cos B-cosasin B, 两角和与差的余弦、 正弦及正切公式 a(a+月=ana+an asina+bcosa=a+bi sin(a+) 1-tan a tan B b 辅助角公式 +店如9 (a≠k开+是B+kx+三，a±B≠kπ+号，k∈Z) sin 2a =2sina cosa. 三角恒等变换 cosacosB=fcos(a+)+cos(a-)]; cos2a=cos'a-sin2 a =2cos2 a-1=1-2sin'a. m22 二倍角公式 sinacosB=[sin(a+B)+sin(a) oinsin(+in( 1-cosa 2 然复和m+ny2油之w号 差化积公式 2 1+cosa sinx-sin y=2cossin 2 2 半角公式 1-cosa sina 1-cosa 1+cos a sina w-wy=-2如告细号 2 工归纳提升] 题型一 三角函数式求值 [解析]C[由sina= 5,cos B=3/10 且a,3为 10 三角函数式求值主要有三种类型，即 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发 5,sin B=10 锐角，可知cosa=2 10 现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或 故cos(a+B)=cos acos月-sin asin日=25X 差为特殊角，必要时运用诱导公式. 5 (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求 3⑩-5×W四-2 10 51021 另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在 又0<a+K,故a十P=至.] 于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意 (2)已知a,P为锐角，cosa=号，tan(a-)= 1 角的范围 3 (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往 求cosB的值， 求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函 .4 [解]：a是锐角，cosa=, 数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 3 3 sin g=,tan a=. [例1](1)已知锐角a,3满足sina= 5,c0s3= ∴.tan3=tan[a-(a-3)] =tan a-tan(a-B)13 3W心，则a十B等于 1+tan atan(a-B)9 10 sin2B+cos2B=1, 元 A.4 Rx或经 ,B是锐角，由 sin B13 cos B 9 C. D.2kx十平（∈2） 得cosg=9V@ 50 ·233· 数学s·必修第二册 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 1.已知sim(年+asin(至-a）-合e∈（受x小求 2.化简：sin2asim3计6-2cos2ac0s28 的值 解：法一：原式=sin'asinB十cos2acos23 (2cosa-1)(2c0-1) 解sin(任+小n(任-小-日 sinsin2co n(年jm() -2cos2B+1) n(+2- =sin'asin'g-cos2acos2g+cos2a十cos'月-2 即c0s2a=3 -sin asincos(1cs 又ae(x2ae(x,2m. =in'ain8计in计cosg-号 =sinasina+ceosia+cosp-司 ∴sin2a=-√1-cos22a= =sim叶cosg-2-1-3-2 sin 4a2sin 2acos 2a 1+cos'a 1+1+cos 2a 法二：原式=sinasin3十(1-sina)cos23 2 2cos 2acos 28 2√2 3 4√2 15 -cos'B-sin'a(cosB-sin 2 cos 2acos 28 13 1+ cosincos c 题型二 三角函数式的化简与证明 =cos-cos2p(sima+cos2a） 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求 思路 csosin'in) 2 (1)观察三角函数式特点，已知和所求中包含什么三 -1+9s220s2g元· 1 2 角函数式，它们可以怎样联系 法三：原式=1-c0s20.1-c0s29+1十cos2e. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系 2 P 2 起来 1+cos281 2 2cos 2acos 2 (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达 到统一 =1+cas2ac0s2g-e0s2a-s29)+1（1+ [例2]求证：cos2(A+B)-sin(A-B) cos 2acos 28+cos 2a+cos 2-cos 2acos 2B- =cos 2Acos 2B. 证明：左边=1+c0s(2A十2B)_1-c0s(2A-2B) }+日-日 2 2 法四：原式=(sin asin B-cos acos3)2+ -cos(2A+2B)+cos(2A-2B) 2 2sin sin co2 (coin 2Asin 2c cossin asins 2cs +sin 2Asin 2B) =cosa+80-7cos(2a十2p =cos2Acos2B=右边. 所以原等式成立 =cos2(a+8D-2[2cs2(a+0-1]= ·234· 第四章三角恒等变换 题型 三角恒等变换的应用 g(-)=2cos- =2c0s2=g(x), 利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法， 可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求 又g(x)=2cos 的定义城为R,关于原点对称， 三角函数的有关性质.反过来，利用三角函数的性 .函数g(x)是偶函数. 质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值.因 ◇[变式训练] 而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命 题的热点.解决三角恒等变换与三角函数的综合问 3.已知函数f(x)=4 cos wxsin 】 (wr+i +a(w>0) 题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想 图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最 方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一 高点的距离为元， 个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关 (1)求a和w的值； 的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思 想（切化弦、常值代换、降幂与升幂；收缩代换、和差 (2)求函数f(x)在[0，x)上的单调递减区间. 与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数 解：)f)=4 cos sin+)十a 学思想方法（如换元法等）的运用. [例3]已知函数f(x)=2sin芹cos千-25sin￥ =4c0saω.2 sin wx+ 2 cos w.x +√3 =2 3sin wxcos wx+2cos wx+a (1)求函数f(x)的最小正周期及最值： -3sin 2wx+cos 2wx+1+a (2)冷8)=f+),判断函数g(x)的奇偶性， =2sin(2ar+)+1+a, 并说明理由， 解：(1)f(x）=sin+(1-2sin） 故当sn2+)1时，f)取得最大2+1 +a=3+a. =sin+5cos号 又f(x)图象上的最高，点的纵坐标为2， =2sn(受+)： ∴.3十a=2,即a=-1. 又f(x)图象上相邻两个最高，点的距离为元， “f(x)的最小正周期T=2=4 .f(x)的最小正周期T=元， 2 当in(经+苔)-1时f)取得爱小位-2 2w-年-2w=1 当m(台+)-1时，fu)取得最大位2。 (2)由1)得f)=2sin(2x+若)： (2)g(x)是偶函数，理由如下： 由登+2kr≤2x+音<经+26,6eZ。 由(1)知f)=2sin(登+)： 得若+x≤<晋+x,EZ 6 又g)-f(+): 令k=0,得晋<< g)=2sin2(e+)+] 函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间 =2sin(号+)=2cos受 为[] ·235·