4.3.2 半角公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第四章三角恒等变换 五维课堂 3.2半角公式 课程标准 素养解读 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变 在对公式的推导和应用过程中，发展 换的基本思想 学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明 素养 课前。预习学案 [情境引入] cos2g=1十cosa 1.如何用cos2a表示sin2a,cos2a,tan2a? 2 2 tan2 a 1-cos a 2 1+cos a 蛔思考1.半角公式中的符号是如何确定的？ 2.如何用cosa表示sin2g, 2.半角公式对a∈R都成立吗？为什么？ [知识梳理] [知识点]半角公式 1.半角公式及其变形公式： (1)半角公式 sing=士 1-cos a [预习自测] 2 2 1+cos a 1.sin12- cos 2 2 1 cos a= sin a A.2√3 B2+ 2 √1+cosa 1+cos a =1-cos a c D.23 sin a (2)变形 2.若-元<0<0，c0s0=- 则sin 3 =( cos2 a=1+cos a 1-cos a 2 sin2 a= 2 2 A.2⑤ B.25 5 5 1-cos a 2 1+cos a' C5 D.、5 2.降幂公式 5 5 sin2 a=1-cos a 2 2 ·131· 世五维课堂 数学s·必修第二册 ● 课堂。互动学案 题型一 应用平角公式求值 题型二 三角函数武的化简 [例1]已知sina=- 青x<a<,求sn， 4 [例2]化简： cos号，tan号的值， (1+sin a+cos a)(sin (180°<a √/2+2cosa [思路点拨]直接利用半角公式求解. <360): 汇思路点拨]化倍角为单角，统一角，α 2x号 规律方法 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求 三角函数式中角的两倍，则求解时常常 借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号 问题，因此求解时务必依据角的范围， 求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 规律方法 m含5。=12共金点是 1.化简问题中的“三变” 计算时可避免因开方带来的求角的范 (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各 围问题；涉及半角公式的正、余弦值时， 角之间的联系，通过拆、凑等手段消除 常先利用sin2=1-cosa 角之间的差异，合理选择联系它们的 2 2 2 公式. 1十cosa计算. (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量 2 统一函数的名称，如统一为弦或统一 （4)下结论：结合(2)求值： 为切. ◇[变式训练] (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选 择适当的变形途径.如升幂、降幂、配 1.(1)已知sin0= 3,5r<0<3π，那么tan 0 5’2 方、开方等 cos号的省为 2.化简的要求 ( ①能求出值的应求出值； A.3 B.3 ②尽量使三角函数种数最少； 10 ③尽量使项数最少； C-3- ④尽量使分母不含三角函数； 10 D.3+ 10 ⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)已知cosa=- 号∈(x,受)，则an号 3.化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降 幂或升幂等。 ·132· 第四章三角恒等变换 五维课堂兰 ◇[变式训练] 规律方法 2.设e2小化简十十s2a 1.证明三角恒等式的原则 (1)由繁到简：一般由式子较复杂的一边 向较简单的一边化简证明. (2)两边夹：对于式子两边都比较复杂的 式子，则采取两边同时化简，找到一个 共同的“第三者”从而证明等式成立. (3)变角：观察角的关系是由“单”到“倍”， 还是由“倍”到“单”，或是需消去一个 角，从而采取不同的变换 (4)变名：观察函数名称的关系，采用弦切 互化，降幂等方法，实现三角函数名称 的变换 2.证明恒等式的一般步骤： 题型 三角恒等式的证明 (1)先观察，找出角、函数名称、式子结构 --tan 2-cos 0cos 20 3 [例3]证明：tan 0 2sin0 等方面的差异； (2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变 换式子结构”“变量集中”等原则，设 [思路点拔]在要证明的想目中，既有号，0 法消除差异，达到证明的目的 和20，还有有切还有弦，可从消除恒等 30 ⊙[变式训练 1 3.证明：(1) cos-a 式左、右两边的差异入手，将右边的角0,20 4sin 2a. 重凑长职号的形式，注意到 Q tan 2 tan 2 9号29-婴+号 2sin xcos x 2十2 (2)(sin cos1)(sin z-cos) =1+cos x sin x ·133· 世五维课堂 数学s,·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 -● 1.tan15°等于 ( 5.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半 A.2+5 B.2-√3 轴为始边作两个锐角α，B,它们的终边分别与 C.√3+1 D.√5-1 单位圆相交于A,B两点，己知A,B的横坐标 0 2.已知5π<0<6r,cos a,那么sm等丁 分别为行号求cos号十sn号十m号的值， ( A.VIFa 2 B.VI-a 2 1+a C.2 D. 1-a 2 3.若-2π<a< 3π，则化简 1一cos(a一元的 2 结果是 ( ) A,sin号 Bcos号 c.-sin号 D.-cosa 4.己知sina= 5,cos a= 2√5 则tan 5 ©温馨提西 学习至此，请完成配套训练 章末归纳提升 [网络构建] cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B. sin'a+cos'a=1. cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B, tana=sina 同角三角函数关系式 sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin B, cosa sin(a-B)=sin a cos B-cosasin B, 两角和与差的余弦、 正弦及正切公式 a+=巴号 asina+bcosa=a+b sin(a+) b 辅助角公式 aa-=ana-an a I+tan atan B cosp+古n0 √a+b ak+受B+a±Bk+受keZ sin 2a=2sina cosa. 三角恒等变换 cosacocos()co cos2a=cos'a-sin'a =2cos'a -1=1-2sin'a 2。 二倍角公式 sin acos B=[sin(a+B)+sin(a-B) =sn(a+-sna- 靴藤复和m4ay=2油宁o 差化积公式 2 1+cosa sin x-sin y=2cossin 21 2 半角公式 1-cosa sina 1-cosa w4oay=2aos5生a cosx-cos y=-2sinsin 2 2 ·134·参考答案 tan(a-B)-tan a 1- 1-tan(aB)tan a =7 1+1×() 所以tan28- 2tan 8 1-tan'B 24 管案：员 (2)解析：0<x<0<-< 又：如（受-x是 a(隆-小号 :cos2x=sin(2-2x） =2sin(子-小o(经-z） =2cas[受-（受-）]o(牙-） =2o(罕+小o(-x） cos 2a co(+x） =2os(年-）装 答案： [例3][解](1)原式=1十tan9)-1-tan0=21a (1-tan8)(1+tan8) 1-t =tan 20. (2)原式 1+2sin 2acos 2a++2cos'2a-1 1+2sin 2acos 2a+2sin'2a-1 -2cos'2a+-2cos 2asin 2a 2sin'2a-2sin 2acos 2a 2cos 2a(cos 2a+sin 2a) 2sin 2a(sin 2acos 2a)tan 2a' 变式训练 3.解：原式 √/2(1+cos) 2·2os号 2as号(m号-w号 cos号(-cos0 2 cos 2 0<0<0<2<2，cos2 ∴.原式=-c0s0. 随堂步步夯实 1.C[原式=26 6√2 sin70° c0s(360°+70°) 2√6 6√2 2w6cos70°-6W2sin70 sin70°cos70 sin70°cos70° 4v61 (2c0s70°- sin 7o 1 2sin 140 8√6c0s(60°+70) sin 40 8√6cos130 sin40° -8√5sin40 sin 40 =-86.] 五维课堂兰 2.D[函数f(x)=sin cos=之sin2z, ∴f(x)mm= 3解折：原式=0ssi=c0s- 答案9 4.解析：sin0= 40,sin 0cos <0,..cos <0. 5 ∴.c0s0=- W/1-sin0=- 3 'sin 20-2sin Ocos-24 5 答案：别 5.解：)an(e+） tan a+tan 4 tan a+1 1-tan atan 4 1-tan a 2+1 =2-3. (2) sin 2a sin'a+sin acos a-cos 2a-1 2sin acos a sin'a+sin acos a-(2cos'a-1)-1 n0 2sin acos a sin'a+sin acos a-2cos'a 2tan a tan'a+tan a-2 2×2 22+2-2 =1. 3.2半角公式 课前预习学案情境引入 1.提示：根据倍角公式，sina= (1-cos 2). cos'a=- 1-cos 2a (1+cos 2a),tan'a-T-cos 2a 2.提示：sn号 1 2 c0xa 1+cos a 知识梳理[思考] 1.提示：1)当给出角a的具体范周时，先求号的范国，然后根 据受的范围确定特号， (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正、 负号， 2.提示：公式Cg,Sg对a∈R都成立，但公式Tg要求a≠(2k +1)π(k∈Z). 预习自测 1.D2.B3.W2-1 课堂互动学案 [例1][解] <sin a=- 2 .'.cos a=- '.sin a 1-cos a25 2 N 5 cos 2 1十cosa 2 tan 2 sin 2 =-2 253· 巴五维课堂 变式训练 1.解析：(1)因为5<03， 所以c0s8=一 √/1-sin'0=- 45π0<3π 5422 8 所以sin <0,cos2<0. 所以s号= /1-c0s0 /1十cos0_ /10 cos2=2 10 所以tan2 sin 、B =3. co +s号-g- 所以tan2 √10 10 (2)因为c0sa=一 3 则受∈（受，平），财由半角公式，得 3 tan 1-cos a 2 1+cos a 1+ 答案：(1)B(2)-2 [例2][解]原式= (（2cos合+2sin2cos号)(sin号-cos受） √22os号 2eos受(cos号十sim受)(sin号-co受)） 2os号 c0s号(-c0sa) cos号 又因为180°<a<360°， 所以90<号<180，所以c0s受<0， (-cos 所以原式= cos 2 cos a. 变式训练 2.解：a∈ (受2…受∈(x cos>0,c0s号<0， 1 2cos a a =-c0s2 a [例3】[证明]右边=cos0干c0s20 2sin 0 2sin（2-2J 388 38. 2(sin 2 cos 2-cos 8 2 sin 2 38B 2cos 2 cos 2 39 sin 2 sin 2 38 .30 =左边所以等式成立 c052 =tan之-tan 数学s,·必修第二册 变式训练 cosa 3.证明：(1)左边= cos'a 1 1+cos a 1-cos a 2cos a -2 sin acos a sin a sin a sin a =sm2a=右边，故原等式成立 (2)左边= 2sin xcos x (2sn音cos号 -2sin 艺)(2sincos+2sim号 2sin xcos x 4si营(os一sin 2 sin x 2eas首 1十c0s工=右边， 2sim乏 sin 2sin壹co x sin x 所以原等式成立 随堂步步夯实 1,B[tan15°=1-cos30° 1 sin 30 2=2-5.] 2D因为5π<9<6元，所以5A3灭所以sin 42 1一cos2 2 3.D[ /1-c0s(a-π) /1+cos a 2 cos 2 -2π<a< 3π c0s<0c0s=-c0s 1-25 4.解析：tan2 1-cos a=- 5=5-2. sin a 答案W5-2 5.解析：依题意，得c0sa= 1 2 ,c0sB= 因为a,B为锐角， 所以c0s2 十sin2 +tan /1十cosa 1-cos B 2 /1-cos a 2+√6 V1-cos a 1 2 1 章未归纳提升归纳提升 [例1](1)[解析]C由sina c0s月=3且a,8为 √5 10 锐角， 可知cosa=2 5 ,sin A=10 10 故cos(a+m=cos acos-sin asin=2y5×3厘_5X 5 10 5 √10_2 10 21 又0<a十B<π，故a十B=灭 4 (2)[解] 4 :a是锐角，c0sa=5: 3 3 sina=号，tana=子 ∴.tan3=tanLa-(a-)] 254·