4.3.2 半角公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第四章三角恒等变换 3.2零角公式 课程标准 素养解读 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变 换的基本思想 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明 学抽象、逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P131 [情境引入] [预习自测] 1.如何用cos2a表示sina,cos2a,tana? 提示：根轻倍角公式，6ma=1一c0s20 1.sn危 cos'o)n A.25 B√2+ 2 2.如何用cosa表示sin号，cog号tan受？ 2- 提示8m号-1-csa).os号-号1+cso, C 2 D.2⑤ 2 tang=1 cos a 2 1+cos a 解析：D [sin cos 6 2- 3 [知识梳理] [知识点]半角公式 1.半角公式及其变形公式： -2- (1)半角公式 2 = sin 2 1-cos a 1+cos a 2 ,c0s2 2 2.若-元<0<0，cos0=- 则n = tan 2 1-cos a sin a 1-cos a V1+cos a 1+cos a sin a A号 B.、2⑤ (2)变形 5 cos1+cos a,sinal-cos a 5 2 2 2 2 c. D.- tan a=1-cos a 21+cos a 2.降幂公式 解析：B[因为-<0<0，所以一受<号<0，又 in号=1g9se 2 c0s0=- ，所以n号= 1-cos 0_ cos2 a=1+cos a 2 2 tan?=1-cos a 21+cos a 2√5 2 2思考1.半角公式中的符号是如何确定的？ 元 提示：()当给出角a的具你范国时，先求号的范 3.tan 8 国，然后根据？的范国确定符号 1-c0S 解析：tan 4 2 (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号 =2-1. 前要保留正、负号 1十cos4 1② 2.半角公式对a∈R都成立吗？为什么？ 提示：公式Cg,Sg对a∈R都成立，但公式T号要 答案：√2-1 求a≠(2k十1)r(k∈Z). ·227· 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P132 题型一 应用平角公式求值 所以sin 0 2 <0,cos <0. [例1]已知sina= 4 所以sin /1-cos 0 2 2 品而， tan号的值。 1+cos 0 √10 汇思路点拨]直接利用半角公式求解 c052 2 10 [解] n<a< sin a=5' 4 sin 2 2 所以tan2 =3. ，且<3 3 .∴.c0sa= 2 24· 所以am号+os号-3 ..sin 1-cos a_ 25 10 2 2 5 (2)方法一：因为c0sa= 3 /1+cos a 5 ae(,. c052 6 则号∈（受，平），则由辛角公式，符 sin 2 tan 3 2 -2. a cos 2 tan /1-cos a N1++cos a 3 规律方法… 1+ 5 利用半角公式求值的思路 方法二：因为cosa= π (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函 5a， 2 数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式 所以sina= 4 求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号间题， sin 2sin号 因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角 所以tan2 1-cos a c052 2sin号cos号 sin a 的范围 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用an号 sina=1一，cosa,其优点是计算时可避 1+cos a sin a 5 免因开方带来的求角的范围间题；涉及半角公 答案：(1)B(2)-2 式的正、余弦值时，常先利用sim号 题型二 三角函数式的化简 [例2]化简： 1-g0s“,c0g号-1+90s计算。 十na十eos(sin号-cas受 a 2 2 (4)下结论：结合(2)求值. -(180°<a<360). √2+2cosa ⊙[变式训练] 1.1)已知sin9=是，要<0<3x,那么tan号 [思路点拨] 化倍角为单角，统一角，a=2X8 52 十cos2 的值为 ( 号+2n受m号 20s2 sin 2 006 2 A -3 B.30 解)原式 10 /22x号 C.-3-10 10 D.3+0 10 2cos a cos 2 (sin号-cos号 (2)已知cosa=一 a∈(x,经)，则1am 3 cos a(-cos a) 解析：(1)因为5<0<3元， 2 2 所以cos0=-√1-sin0=-4,5r<0<3x cos 2 5’42 2 又因为180°<a<360°， ·228· 第四章 三角恒等变换 所以90°<号<180°，所以c0s 2 2<0, 2sin 30. 30: -cos 2 sin 2 30 cos 2 ·(-cosa) 所以原式 2cos cos2 =cos a. sin 38 sin 2 39 规律方法 30 -tan 2 -tan =左边.所以等式 1.化简问题中的“三变” cos2 (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间 成立 的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异， 规律方法 合理选择联系它们的公式. 1.证明三角恒等式的原则 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函 (1)由繁到简：一般由式子较复杂的一边向较简 数的名称，如统一为弦或统一为切. 单的一边化简证明. (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当 (2)两边夹：对于式子两边都比较复杂的式子， 的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 则采取两边同时化简，找到一个共同的“第 2.化简的要求 三者”从而证明等式成立 ①能求出值的应求出值： (3)变角：观察角的关系是由“单”到“倍”，还是 ②尽量使三角函数种数最少； 由“倍”到“单”，或是需消去一个角，从而采 ③尽量使项数最少； 取不同的变换 ④尽量使分母不含三角函数； (4)变名：观察函数名称的关系，采用弦切互化， ⑤尽量使被开方数不含三角函数. 降幂等方法，实现三角函数名称的变换. 3.化简的方法 2.证明恒等式的一般步骤： 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升 (1)先观察，我出角、函数名称、式子结构等方面 幂等 的差异： ◇[变式训练 (2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子 结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达 2.设∈（受，2x小化简： 到证明的目的、 ◇[变式训练] /111 √+√+ 2 cos 2a. 3.证明：(1) cos a 4sin 2a. 解：a∈ tan号 tan 2 .cos a>0,cos a∠0 2sin xcos x (2)(sin x+cos z-1)(sin z-cos +1) 故原式 T2Vcos'a 1+cos z 2 cos a sin x 证明：(1)左边= cos a cosa cos- 1+cos a 1-cos a 2cos a 题型三 三角恒等式的证明 sin a sin a sin a [例3]证明：tan 3 2sin0 tan 2 sin acos a= sin2a=右边，故原等式成立. cos 0+cos 20 (2)左边= [思路点拔] 在要证明的题目中，既有8,9和 2sin xcos x 28,还有翌，有切还有宫，可从消除恒等式左、右两 （2sin号cos -2sin2 2 2sin 号+2sin 2 2sin xcos x 边的差异入手，将右边的角，29配类成翌，号的 4sin2号 形式，注意到： sin x 030 ,20 30,0 22 2sn号 [证明] 右边 2sin 0 os兰 2cos? cos 0+cos 20 1十c0s1=右边. sin x 2sin 00 2 -2 sin号 2sin号cos cos 0 30 所以原等式成立. 2 2 cos 2 ·229· 数学s·必修第二册 对应学生用书P134 ● 随堂。步步夯实 1.tan15°等于 -2π<a< A.2+√5 B.2-5 4 C.5+1 D.√5-1 cos号<0，os2 =-cos号.] 解析：B [tan15°=1-cos30° 1 2=2-5.] 4已知sina= 5,c0sa=3 则n 2 sin 30 2 1-25 5 2.已知5x<0<6x,cos号=a,那么sin号等于( 0 解析：tan a1-cos a =5-2. sin a 5 5 A. 2 B.v a 2 答案：w5-2 5.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为 C. 1+a -a 2 D.2 始边作两个锐角α，3，它们的终边分别与单位圆相 解析：D[调为5x<<6,所以要<号<受所以 4 4 交于AB两点，已知A,B的横坐标分别为行，号 求eos号十sn号+tn号的值 sin 4 2 2 解析：依题高，得6as。=日c0s导。 1 3.若-2π<a< 3,则化简 一cos(a一)的结果 2 因为a,3为锐角， 是 ( 所以cos2 +sin +tan 1+cos a 2 A.sin受 B.cos号 1+ 1 3 c.-sin号 D.-cos2 I-cos B 1-cos a 2 1+cos a 7 解析：D[ 1-cos(a-x) 1+cos a √2+ 1十3 21 课后。素养提升 对应学生课时P82 基础过关 2.(多选)下面说法正确的是 JI CHU GUO GUAN 1.函数f(x)= 1十cos2)sin'x(zEB)是( A.cos2 1+cos a 2 A.最小正周期为π的奇函数 g= B.存在a∈R,使cos 2cos a B最小正周期为受的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 C对于任意aCR,sim兰-子sine都不成立 D.最小正周期为的偶函数 D.若a是第一象限角，则tan 1-cos a 2 1+cos a 解析：D[由题意，得f(x)= 1+c0s2a)·d 解析：BD[A中，cos受=士 +cosg,C中，当a 2 -cs2）=子1-es2x）=子sin2z=日1 =0时，sin 受=2sina,故A,C不正确：B.D 1 c0s4x),故f(-x)=f(x),又x∈R,所以函数 f()是最小正周期为受的偶函数，故选D.] 正确.门 ·230· 第四章三角恒等变换 解析：C [f(x)=cos2x-sinx=cos2x,选项A 3.若c0sa= 5a是第三象限角，则 十tan2等于 中：2x∈ 1- ,一晋)，北时f)单洞递增，选项B 中：2x∈ 受·看）此时f)先递增后递减，选项 A.-2 B.2 C.2 D.-2 C中：2z(0,)此时f)单调递减，选项D中： 解析：A[:a是第三象限角，cosa= 4 5 2x(医得)此时f()先延减后造增.所以 ∴.sina= 5 选C.] 3 7.在△ABC中，若cosA=号，则simB士C+c0s2A 2 'tan 2 sin a 5 1+cos a -3, 1 4 5 解析：原式=1一0s,B+C十2oSA一1= 1+tan 2 1-3 1+3 1+9A+2c0sA-1=-号 1-tan 2 8.已知cos91-号且受<0<3x,则tam号的值 4.已知tan2 5 =3,则cos0等于 ( 为 A.3 B一青 D.一5 解析：由受<3x且l@s0-是，可知ms=一号 cos2 2 sin 1-tan 解析：B [cos 0= 2 n0=号中1a号-1产88。=2 cos 1+tan 2 答案：2 1-3 9.函数f(x)=sinx十sin xcos x+1的最小正周期 1+32 ,对称轴为 5.(多选)若tana= 3,且a为第一象限角，则sin受 解析：f)1922+2sin2x+1 ) A号 B- c. D. 5 T-2要=元 2 解析，CD[因为。为第一象限角，且ana=专，所 令21-至=kx+受∈z, 以cosa= 1号是第一或第三象限扇，当号是第 .x=+8(k∈Z). 一象限角时，sin a -cos a 2 源号为路 2T8 _k元+3x(k∈Z). :对称轴为x=2十8 象限角时，sin之 1-cos a_ 2 答案：2经+(Z) 2F8 10.已知a为钝角，8为锐角，且sina=青，sm月= 12 13 6.(2022·北京卷)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 求cs“与an“的值， 2 .f)在（受一）上单调递减 解：因为α为钝角，3为锐角， sin a= 4 2 5,sin 8=13 B.f(x)在 工，灭上单调递增 412 所以cosa=一 3 C.f(x)在 0,)上单调递减 eos月是 3 所以cos(a-3)=cos acos B+sin asin B= D.f(x)在 上单调递增 〔〕×+×-器 ·231· 数学s·必修第二册 因为登<a<x,且0<BK受， 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 所以0<aK,即02<受， 知osA-R青求证 tan:B a 33 所以cos 一= /1+cos(a-2 65 2 2 2 证明：因为cosA=acos B-b a-bcos B' =7√65 65 所以1-cosA=a十b)(1-cosB) a-bcos B 33 tan aB 1-cos(a-3) 5 4 1+cos A=(a-b)(1+cos B) a-bcos B 2V1十cos(a-) √143 7· 5 所以+A名+漂器 11.化简： tan号1+cosa (0<a<xπ). 而-cosA 2sin2 2 √1-cosa 1+cos A tan?A 2 解：tan受-w5a sin a 2cos?A ∴tan号(1+cosa)=sina. 1-cos B_ 2sinB 2 B 1+cos B 2’ 2 且1-cosa=2sim2号 所以tan2 A=a+b 2 a-b tan2 B 2 .原式= -sin a-sin a -2sin a am sn受 即 a十b √2sin tan B a 2 25sin号o0s号 素养培优 SU YANG PEI YOU sn引 14.已知向量m=(cos0,sin0),n=(√2-sin0,cos0), .0<a<π 0<号<受 0C(r,2x),若|m+n|= 8,求em(+ 的值. ∴sin号>0， 解折：因为1ma一8g2所以mP=23,即 25 原式=-2Ec0s受 能力提升 mP+a+2mn=袋器所以m0-sn0+ NENG LI TI SHENG (√2-sin0)2+cos20+2[cos0(√2-sin0)+ 12.证明：cos8x-sin3x-c0s22= 4sin 2xsin 4x. 证明：左边=(cosx十sinx)(cosx-sinx)一 sin os0]-器叁现得区os0一sn》-若 cos 2x [cos2x sin2)2-2cos2xsin']cosx- sin2x)-cos 2x =(1-2cos2 zsin')cos 2x-cos 2x 又为9(x,2),所以号+晋∈（管）所以 =(1-2cos'zsin'x-1)cos 2z (2cos sin )'cos2 o(2+5o, —)sin2zcos22 1+os0 2 sin 2 sin 2 cos 2 7 1十2 4sin2.xsin4x=右边. 2 ·232·