3.1 建筑物高度的测量（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s,·必修第二册 第三章 数学建模活动（二） §1.建筑物高度的测量 课程标准 素养解读 运用所学知识解决实际测量的高度问题，掌握数学建 通过数学建模活动，培养数学知识应用能 模活动的完整过程. 力和创新意识，提升数学建模核心素养 (一)数学建模活动示例 如图3所示，在可到达的地方再选定一点D, 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问 并且CD的长m能用米尺测量.用测量角度的 题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建 模.数学建模过程主要包括：在实际情境中从 仪器测出∠BCD=B,∠BDC=Y,∠ACD=0, 数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建 ∠ADC=9 立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进 然后，利用a,B,Y,0,p以及m即可求出AB的 模型，最终解决实际问题 长.首先，在△BCD中，因为∠CBD=π-B一 下面给出测量建筑物高度的建模过程 Y,所以由正弦定理可得in(元”9一7一sin7 m BC 1.发现问题、提升问题 在测量工作中，经常会遇到 不方便直接测量的情形.例 因此BC= sing+方：同理，从△ACD可得 msin y 如，如图1所示故宫角楼的 高度，因为顶端和底部都不 AC=msin9;最后，在△ABC中，根据AC, 便到达，所以不能直接测量. sin(0) 假设给你米尺和测量角度的 BC,a,利用余弦定理就可以得出AB的长， 工具，你能在故宫角楼对面 4.验证结果，改进模型 的岸边量出角楼的高度吗？ 以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测 如果能，写出你的方案，并给 图1 量小组的比较，分析产生误差的原因，改进测 出有关的计算方法；如果不 能，请说明理由. 量方法，使测量误差更小 2.分析问题、建立模型 (二)数学建模活动实践 图1中角楼的高度问题可以转化为用米尺与 测量学校内、外建筑物的高度 测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之 [活动目的]运用所学知识解决实际测量高 间的距离？即利用正、余弦定理解三角形 问题. 度的问题，体验数学建模活动的完整过程，组 3.确定参数、计算求解 织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开 如图2所示，设线段AB表示不便到达的两点 题、做题、结题四个环节 之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行 [问题情境]给出下列的测量任务： 测量.用测量角度的仪器可以测量出∠ACB 的大小a,但是因为点A,B都不便到达，所以 (1)测量本校的一座教学楼的高度； △ABC的3条边都无法用米尺测量！ (2)测量本校的旗杆的高度； (3)测量学校墙外的一座不可及，但在学校操场 上可以看得见的物体的高度 可以每3一4个学生组成一个测量小组，以小 组为单位完成；各人填写测量课题记录表，一 图2 图3 周后上交 ·110· 第三章数学建模活动（二） 五维课堂坐 测量工作报告表 续表 完成时间：年月 日 4.测量的数据和计算结果 1.本课题组的成员与分工 成员姓名 分工 主要工作与贡献 5.测量中的亮点和问题点（如独到的想法，减 少测量误差的想法和做法，团结协作克服的困 难，结果产生较大误差的原因分析等.如有说 明问题的照片或图片可以附在后边) 6.与本次测量相关的可继续研究的小课题或 2.本课题组选择的测量对象、所需工具 待探究的问题（课题的拓广） 3.测量的数学模型 7.用简单的语言，描述同学在完成此项工作中 的感受 §2.测量和自选建模作业的汇报交流 课程标准 素养解读 通过各组数学建模小课题成果的展示互 在数学建模的汇报交流中，学会欣赏他人的建模成果， 展现学生学数学、用数学，交流分享数学的过程，培养 评，使学生在总结、交流、反思建模过程中 实践能力和创新意识（重点、难点） 的收获问题中，积累建模活动的经验，提升 数学建模核心素养 (一)测量学校内、外建筑物高度项目的过程性 2.镜子面反射法 评价 (1)将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜 在每一组都完成“测量报告”后，安排汇报交流活 动，安排交流的报告应当有所侧重.例如：测量结 中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的 果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处 距离； 理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生没 有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等： 如某个小组的测量报告的展示片段： (2)楼高x的计算公式为x=ah a2-a1 测量不可及“理想大厦”的方法 其中a1,a2是人与镜子时距离，a是再次观测 1.两次测角法 (1)测量并记录测量工具距离地面hm; 的镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图2 (2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并 所示，根据光的反射原理，利用相似三角形的 记录仰角a; (3)后退am,重复(2)中的操作，计算并记录仰 性质联立方程组，可以得到这个公式 角B; (4)楼高x的计算公式为，x= atan atan2。十h,其 tana-tanβ 中a,3,a,b如图1所示 图2镜面反射法示意图 实际测量数据和计算结果，测量误差简要 图1 两次测角法示意图 分析： ·111·