3.1 建筑物高度的测量（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第三章数学建模活动（二） 第三章 数学建模活动（二） §1.建筑物高度的测量 课程标准 素养解读 运用所学知识解决实际测量的高度问题，掌握数学建模活 通过数学建模活动，培养数学知识应用能力和 动的完整过程.（重点、难点） 创新意识，提升数学建模核心素养 (一)数学建模活动示例 如图3所示，在可到达的地方再选定一点D,并且 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、 CD的长m能用米尺测量.用测量角度的仪器测出 用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.数学 ∠BCD=B,∠BDC=Y,∠ACD=0,∠ADC=9. 建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发 现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、 然后，利用a,B,Y,,9以及m即可求出AB的长。 计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际 首先，在△BCD中，因为∠CBD=π一B-Y,所以由 问题. 172 下面给出测量建筑物高度的建模过程 正弦定理可得s元g)=n,因此BC 1.发现问题、提升问题 在测量工作中，经常会遇到不方 同理，从△ACD可得AC=号 sin() 便直接测量的情形.例如，如图 最后，在△ABC中，根据AC,BC,a,利用余弦定理 1所示故宫角楼的高度，因为顶 就可以得出AB的长， 端和底部都不便到达，所以不能 4.验证结果，改进模型 直接测量 假设给你米尺和测量角度的工 以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测量小 具，你能在故宫角楼对面的岸边 组的比较，分析产生误差的原因，改进测量方法，使 量出角楼的高度吗？如果能，写 测量误差更小 出你的方案，并给出有关的计算 图1 (二)数学建模活动实践 方法；如果不能，请说明理由· 2.分析问题、建立模型 测量学校内、外建筑物的高度。 图1中角楼的高度问题可以转化为用米尺与测量 [活动目的]运用所学知识解决实际测量高度的 角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距 问题，体验数学建模活动的完整过程，组织学生通 离？即利用正、余弦定理解三角形问题。 过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四 3.确定参数、计算求解 个环节 如图2所示，设线段AB表示不便到达的两点之间 的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量，用 [问题情境]给出下列的测量任务： 测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是 (1)测量本校的一座教学楼的高度； 因为点A,B都不便到达，所以△ABC的3条边都 (2)测量本校的旗杆的高度； 无法用米尺测量 (3)测量学校墙外的一座不可及，但在学校操场上可 以看得见的物体的高度. 可以每3~4个学生组成一个测量小组，以小组为 B 单位完成；各人填写测量课题记录表，一周后 图2 图3 上交 ·189· 数学s·必修第二册 测量工作报告表 续表 完成时间：年月 日 4.测量的数据和计算结果 1.本课题组的成员与分工 成员姓名 分工 主要工作与贡献 5.测量中的亮点和问题点（如独到的想法，减少测 量误差的想法和做法，团结协作克服的困难，结果 产生较大误差的原因分析等.如有说明问题的照片 或图片可以附在后边) 6.与本次测量相关的可继续研究的小课题或待探 2.本课题组选择的测量对象、所需工具 究的问题（课题的拓广） 7.用简单的语言，描述同学在完成此项工作中的 3.测量的数学模型 感受 §2.测量和自这建模作业的汇报交流 课程标准 素养解读 在数学建模的汇报交流中，学会欣赏他人的建模成：通过各组数学建模小课题成果的展示互评，使学生在 果，展现学生学数学、用数学，交流分享数学的过程， 总结、交流、反思建模过程中的收获问题中，积累建模 培养实践能力和创新意识（重点、难点） 活动的经验，提升数学建模核心素养 (一)测量学校内、外建筑物高度项目的过程性评价 2.镜子面反射法 在每一组都完成“测量报告”后，安排汇报交流活动， (1)将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能 安排交流的报告应当有所侧重.例如：测量结果准确， 够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离； 测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告 书写认真等：或误差明显而学生没有察觉，测量过程 (2)楼高x的计算公式为x=,h a2-a1 中构建的模型有待商榷等。 其中a1,a2是人与镜子时距离，a是再次观测的镜 如某个小组的测量报告的展示片段， 面之间的距离，h是人的“眼高”，如图2所示，根 测量不可及“理想大厦”的方法 据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方 1.两次测角法 程组，可以得到这个公式. (1)测量并记录测量工具距离地面hm; (2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录 仰角a; (3)后退am,重复(2)中的操作，计算并记录仰角3； （④)装高x的计算公式为一号，其中 图2镜面反射法示意图 a,3,a,b如图1所示 实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析： (1)两次测角法 实际测量数据： 第一次 第二次 图1两次测角法示意图 仰角 67 52 ·190.