6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第二课时 向量在物理中的应用举例-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　第二课时　向量在物理中的应用举例 １．一个质点在力F１＝(－３,５),F２＝(２, －３)的共同作用下,由点A(１０,－５)移 动到点B(－４,０),则F１,F２ 的合力F 对该质点所做的功为 (　　) A．２４　B．－２４　C．１１０　D．－１１０ ２．两个大小相等的共点力F１,F２,当它们 夹角为９０°时,合力大小为２０N,则当它 们夹角为１２０°时,合力大小为 (　　) A．４０N B．１０ ２N C．２０ ２N D．１０ ３N ３．体育锻炼是青少年生活 学习中非常重要的组成 部分．某学生做引体向 上运动,处于如图所示 的平衡状态时,若两只 胳膊的夹角为６０°,每只 胳膊 的 拉 力 大 小 均 为 ４００N,则该学生的体重(单位:kg)约为 (　　) (参考数据:取重力加速度大小为g＝ １０m/s２,３≈１．７３２) A．６３ B．６９ C．７５ D．８１ ４．已知两个力F１,F２ 的夹角为９０°,它们 的合力大小为１０N,合力与F１ 的夹角 为６０°,那么F２ 的大小为 (　　) A．５ ３N B．５N C．１０N D．５ ２N ５．水平横梁的一端 A 插在墙壁内,另一端 装有一光滑的小滑 轮,一轻绳的一端C 固定于墙壁上,另一 端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝１０kg 的重物,∠CBA＝３０°,如图所示,则滑轮 受到绳子的作用力大小为(g＝１０N/kg) (　　) A．５０N B．５０ ３N C．２００N D．１０ ３N ６．(多选)在日常生活中, 我们会看到如图所示 的情景,两个人共提一 个行李包．假设行李包 所受重力为G,作用在行 李包上的两个拉力分别为F１,F２,且|F１| ＝|F２|,F１ 与F２ 的夹角为θ．下列结论 正确的是 (　　) A．θ越大越费力,θ越小越省力 B．θ的范围为[０,π] C．当θ＝π２ 时,|F１|＝|G| D．当θ＝２π３ 时,|F１|＝|G| ７．已知一个物体在大小为６N 的力F 的 作用下产生的位移s的大小为１００m, 且F与s的夹角为６０°,则力F 所做的 功W＝　　　　J． ８．已知F＝(２,３)作用一物体,使物体从A (２,０)移动到B(４,０),则力F 对物体做 的功为　　　　． ９．一物体在力 F１＝(３,－４),F２ ＝(２, －５),F３＝(３,１)的共同作用下从点A (１,１)移动到点B(０,５)．在这个过程中 三个力的合力所做的功等于　　　　． １０．某人在静水中游泳,速度为４ ３km/h, 水的流速为４km/h,他必须朝哪个方 向游才能沿与水流垂直的方向前进? 实际前进的速度大小为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 必修第二册 １１．一条渔船距对岸４km,以２km/h的 速度向垂直于对岸的方向划去,到达 对岸时,船的实际行程为８km,求河水 的流速． １２．一个物体受到同一平面内的三个力 F１,F２,F３ 的作用,沿北偏东４５°的方 向移动了８m,其中|F１|＝２N,方向 为北偏东３０°,|F２|＝４N,方向为北偏 东６０°,|F３|＝６N,方向为北偏西３０°, 求合力F所做的功． １３．有两根柱子相距２０m,分别位于电车 的两侧,在两柱之间连接一条水平的 绳子,电车的送电线就悬挂在绳子的 中点．如果送电线在这点垂直向下的 作用力是１７．８N,则这条呈水平的绳 子的中点下降０．２m,求此时绳子所受 张力的大小． １４．如 图．在 同 一 平 面 内,一 个 质点O 受三个 力 F１,F２,F３ 的作用保持平 衡,其中F３ 与F２ 的夹角为α,F３ 与 F１ 的夹角为β． (１)若α＝１２０°,β＝１５０°,|F３|＝１０,求 力F１,F２ 的大小; (２)若|F１|∶|F２|∶|F３|＝１∶ ２∶ ３,求α与β的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 第二章　平面向量及其应用 所以 AB→ |AB→| AC→ |AC→| cos∠BAC＝ １ ２ , 所以cos∠BAC＝１２ ,所以∠BAC＝ π３ ,所以△ABC 为 等边三角形． 答案:等边三角形 １０．解:已 知:如 图,MN 是 △ABC 的中位 线,求 证:MN＝ １２BC , 且 MN∥BC． 证明:因 为 M,N 分 别 是 AB, AC的中点, 所以AM→＝１２AB →,AN→＝１２AC →, 所以MN→＝AN→－AM→＝１２AC →－１２AB →＝１２(AC →－AB→) ＝１２BC →． 又 MN 与BC 不在同一条直线上, 因此,MN＝１２BC ,且 MN∥BC． １１．证明:设AD→＝x,AB→＝y, 则MN→＝１２y＋ １ ３BD →＝１２y＋ １ ３ (x－y)＝１６ (２x＋y), MC→＝MB→＋BC→＝１２y＋x＝ １ ２ (２x＋y), ∴MC→＝３MN→,又MC→与MN→有公共点M, ∴M,N,C三点共线． １２．证明:如图,设CA→＝a,CB→＝b,则a 与b的夹角为９０°,故a􀅰b＝０． ∵AB→＝b－a,CD→＝１２(a＋b), ∴|CD→|＝１２|a＋b| ＝１２ (a＋b)２ ＝１２ |a| ２＋２a􀅰b＋|b|２ ＝１２ |a| ２＋|b|２, |AB→|＝|b－a|＝ (b－a)２ ＝ |b|２－２a􀅰b＋|a|２＝ |a|２＋|b|２． ∴|CD→|＝１２|AB →|,即CD＝１２AB． １３．证明:CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋１２AB →, AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋ １３BC →＝AB→＋ １３ (AC →－AB→)＝ ２ ３AB →＋１３AC →． 由题意得AB→􀅰AC→＝０且|AB→|＝|AC→|, 所以CE→􀅰AF→＝ －AC→＋１２AB →( ) 􀅰 ２３AB →＋１３AC →( ) ＝ １ ３|AB →|２－１３|AC →|２－１２AB →􀅰AC→＝０,所以CE→⊥AF→, 即CE⊥AF． １４．解:因为ABCD 是平行四边形,所以设AR→＝λAC→ ＝λ(AB→＋AD→)＝２λAE→＋λAB→,因为B,R,E 三点共线, 所以２λ＋λ＝１,所以λ＝１３ ,所以AR→＝１３AC →． 同理可证:CT→＝１３CA →, 所以AR＝RT＝CT＝１３AC． 第二课时　向量在物理中的应用举例 １．A　２．B　３．B　４．A　５．C ６．AD　[对于 A,由题意知|G|＝|F１＋F２|为定值． 所以|G|２＝|F１|２＋|F２|２＋２|F１|×|F２|×cosθ ＝２|F１|２(１＋cosθ),所以|F１|２＝ |G|２ ２(１＋cosθ)． 由题意知θ∈[０,π),则y＝cosθ单调递减,所以|F１|２单 调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力,A正确．对于 B, 由题意知θ的取值范围是[０,π),B错误．对于 C,当θ＝ π ２ 时,|F１|２＝ |G|２ ２ ,所以|F１|＝ ２ ２|G| ,C错误．对于 D, 当θ＝２π３ 时,|F１|２＝|G|２,所以|F１|＝|G|,D正确．故选 AD．] ７．解析:W＝F􀅰s＝６×１００×cos６０°＝３００(J)． 答案:３００ ８．解析:根据题意,力F 对物体做的功为W＝F􀅰AB→＝(２, ３)􀅰(４－２,０－０)＝２×２＋３×０＝４． 答案:４ ９．解析:因为F１＝(３,－４),F２＝(２,－５),F３＝(３,１),所以 合力F＝F１＋F２＋F３＝(８,－８), AB→＝(－１,４), 则F􀅰AB→＝－１×８－８×４＝－４０, 即三个力的合力所做的功为－４０． 答案:－４０ １０．解:如图所示,设此人的实际速度为 OB→,水流速度为OA→． ∵实际速度＝游速＋水速, ∴游速为OB→－OA→＝AB→, 在Rt△AOB 中,|AB→|＝４ ３,|OA→| ＝４,|OB→|＝４ ２,cos∠BAO＝ |OA→| |AB→| ＝ ３３． 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为 ３ ３ ,逆着水流的方 向前进,实际前进速度的大小为４ ２km/h． １１．解:如 图,用v１ 表 示 河 水 的 流 速,v２ 表 示 船 的 速 度,则v＝v１ ＋v２ 为 船 的 实 际 航 行 速 度．由 图知,OA＝４,OB＝８, 则∠AOB＝６０°．又|v２|＝２, 所以|v１|＝|v２|􀅰tan６０°＝２ ３． 即河水的流速是２ ３km/h． １２．解:以O 为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直 角坐标系,如图所示, 则F１＝(１,３),F２＝(２ ３,２),F３ ＝(－３,３ ３), 所以F＝F１＋F２＋F３＝(２ ３－２,２ ＋４ ３)． 又因为位移s＝(４ ２,４ ２), 所以合力F 所做的功为 W＝F􀅰s＝(２ ３－２)×４ ２＋(２＋４ ３)×４ ２＝４ ２ ×６ ３＝２４ ６(J)． 即合力F 所做的功为２４ ６J． １３．解:如图,设垂直向下的作用力对 应向量AB→,绳子所受张力对应向 量分别为AC→,AD→, 则根据平面向量加法法则,得AF→ ＝AC→＋AD→,其中AF→是向量AB→的 相反向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５１􀅰 必修第二册 因为两根柱子相距２０m,绳子的中点下降０．２m, 所以等腰△ACD中,CE＝DE＝１０m,AE＝０．２m, 可得tan∠ACE＝１５０ ,可得sin∠ACE＝ １ ２５０１ 因为送电线在这点垂直向下的作用力是１７．８N, 所以 绳 子 所 受 张 力 大 小 分 别 为|AC→|＝|AD→|＝ １ ２|AB →| sin∠ACE＝８．９× ２５０１≈４４５．０N． 则此时绳子所受的张力大小约为４４５．０N． １４．解:(１)因为质点在F１,F２,F３ 的作用下保持平衡, 所以F１＋F２＋F３＝０,所以F３＝－(F１＋F２), 又α＝１２０°,β＝１５０°, 所以F１ 与F２ 的夹角为９０°, 所以F１􀅰F２＝０, |F３|２ ＝[－(F１ ＋F２)]２ ＝F２１ ＋２F１ 􀅰F２ ＋F２２ ＝F２１ ＋F２２, 将|F３|＝１０代入可得F２１＋F２２＝１００． 如图．易得∠１＝３０°, 所以|F１|＝|F３|×cos３０° ＝１０× ３２＝５ ３ , |F２|＝|F３|×sin３０°＝１０× １ ２＝５． (２)因为|F１|∶|F２|∶|F３|＝１∶ ２∶ ３,且质点处于 平衡状态, 所以以|F１|,|F２|,|F３|为边长 的三角 形 为 直 角 三 角 形,如 图 所示, 则cos∠１＝ １ ３ ＝ ３３ ,cos∠２＝ ２ ３ ＝ ６３ , 所以cosβ＝cos(π－∠１)＝－cos∠１＝－ ３ ３ , cosα＝cos(π－∠２)＝－cos∠２＝－ ６３． 第四章　三角恒等变换 §１．同角三角函数的基本关系 １．D　２．C　３．A　４．B　５．ABD ６．BD　[∵tanα＝－１２ ,∴α为二、四象限角, ∵sinα＝－１２cosα ,sin２α＋cos２α＝１,当α为第二象限 角时,sinα＝ ５５ ,当α为第四象限角时,sinα＝－ ５５． ] ７．解析:原 式 ＝ １－sin２(３６０°＋８０°)＝ １－sin２８０°＝ cos２８０°＝cos８０°． 答案:cos８０° ８．解 析:１ ＋ sinθcosθ＝ sin ２θ＋cos２θ＋sinθcosθ sin２θ＋cos２θ ＝ tan２θ＋１＋tanθ tan２θ＋１ ＝２ ２＋１＋２ ２２＋１ ＝７５． 答案:７ ５ ９．解析:依题意有sinθ＋cosθ＝k,① sinθcosθ＝k＋１．② 又∵(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴k２－２k－３＝０． 解得k＝３或k＝－１． ∵|sinθcosθ|＝|k＋１|≤１,∴k＝－１． 代入①②,得 sinθ＋cosθ＝－１．sinθcosθ＝０．{ 解得 sinθ＝０, cosθ＝－１{ 或 sinθ＝－１, cosθ＝０．{ 又θ∈(０,２π),∴θ＝π或３π２． 答案:－１　π或３π２ １０．解:(１)原式＝ cos３６°－ sin ２３６° sin２３６°＋cos２３６°－２sin３６°cos３６° ＝ cos３６°－sin３６° (cos３６°－sin３６°)２ ＝ cos３６°－sin３６°|cos３６°－sin３６°| ＝cos３６°－sin３６°cos３６°－sin３６°＝１． (２)原式＝sinθ－cosθsinθ cosθ－１ ＝cosθ (sinθ－cosθ) sinθ－cosθ ＝cosθ． (３)原式＝ sinθcosθ＋ cosθ sinθ( )cos ２θsinθ ＝sin ２θ＋cos２θ sinθ􀅰cosθ 􀅰cos２θsinθ＝cosθsinθ 􀅰sinθ＝cosθ． １１．解:原式＝sin [(α＋β)＋α]－２cos(α＋β)sinα sinα ＝sin (α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα sinα ＝sin [(α＋β)－α] sinα ＝ sinβ sinα＝ 右边． 所以原等式成立． １２．解:(１)因为f(α)＝ (－cosα)cosα(－tanα) (－tanα)cosα ＝－cosα , 所以f π３( )＝－cos π ３＝－ １ ２． (２)因为f(α)＋f π２－α( )＝－ １ ５ , 所以－cosα－cos π２－α( )＝－ １ ５ , 所以cosα＋sinα＝１５ , 两边平方,得１＋２sinαcosα＝１２５ , 所以２sinαcosα＝－２４２５ , １－２sinαcosα＝４９２５ , 即(sinα－cosα)２＝４９２５ , 因为２sinαcosα＝－２４２５＜０ ,α∈(０,π), 所以α∈ π２ ,π( ) ,所以sinα－cosα＞０, 所以sinα－cosα＝７５ ,结合cosα＋sinα＝１５ , 解得sinα＝４５ ,cosα＝－３５． 所以sin２α－cosα＝ ４５( ) ２ －３５＝ １ ２５． １３．解:(１)由一元二次方程根与系数的关系可知, sinθ＋cosθ＝ ３＋１２ ,①　sinθcosθ＝m．② 将①式平方,得１＋２sinθcosθ＝２＋ ３２ , 所以sinθcosθ＝ ３４ ,代入②得m＝ ３４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５１􀅰 参考答案