2.6.2.1 向量在几何证明中的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s·必修第二册 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时向量在几何证明中的应用 课程标准 素养解读 通过平行、垂直关系的向量方法证明，三点 通过对平面向量基本定理的把握证明三点共线问题； 通过对数量积的运算证明垂直问题；通过对向量坐标 共线以及等式和求值问题的向量方法.提 升学生直观想象，逻辑推理，数学运算等数 表达式的把握证明平行问题 学素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距 由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何 离，夹角等问题。 图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹 3.把运算结果“翻译”成几何关系 角等都可以用向量的线性运算及数量积表示，因 [预习自测] 此，用向量方法可以解决几何中的一些问题」 1.在△ABC中，已知顶点A(4,1),B(7,5), [知识梳理] C(一4,7)，D为BC的中点，则BC边的中线 AD的长是 ( [知识点一]向量可以解决几何问题 1.解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三 A.2√5 B59 C.35 n 线共点等几何问题. 2.在△ABC中，设AB=c,BC=a,CA=b,若 2.解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度 c·(c+a-b)<0,则△ABC是 ( 量问题. A.直角三角形 B.锐角三角形 [知识点二]用向量方法解决平面几何问题的 C.钝角三角形 D.无法确定其形状 “三步曲” 3.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 (A店+AC.则1P市1= ;PB· 量问题. PD- 课堂 。互动学案 题型一 证明位置关系 汇思路点拨] (1)证明EF=HG [例1](1)证明顺次连接四边形 (2)证明AC⊥DB: 各边中点所得四边形为平行 四边形 已知：如图，四边形ABCD中， E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)已知四边形ABCD中， AB=AD,|BC=|CD,试 用向量方法证明它的两条对 角线互相垂直. ·102· 第二章平面向量及其应用 五维课堂兰 规律方法 规律方法 向量共线的相关结论 1.三点共线的证明 (1)a与b共线台a=b(入∈R,b≠0) (1)平面上三点A,B,C共线HAB=BC (2)a=(x1y1),b=(x2,y2),则a∥b台 (向量共线且有公共点才能得出三点 x1y2-x2y1=0. 共线) 向量垂直的相关结论 (2)点P为线段AB的中点，O为平面内 (1)数量积：a⊥b→a·b=0(a≠0，b≠0). 任誉-点台0P=2(0+0店. (2)坐标表示：a=(x1,y1),b=（x2y2), B 则a⊥b台x1x2十y1y2=0, ⊙[变式训练] 1.求证：以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶 点的四边形是一个矩形 (3)平面上三点A,B,C共线，O为不同于 A,B,C的任意一点台OC=AOA十 kOB且入+4=1. 2.三线共点的证明 设两条直线交于一点，证明这个交点在 第三条直线上 ⊙[变式训练] 2.如图，点O是平行四边形 题型】 证明三点共线，三线共点 ABCD的中心，E,F分别在 [例2](1)如图，O,A,B三 D 点不共线，OC=2OA, 边DA8上，需-器 OD=3OB,设OA=a, OB=b. 求证：点E,O,F在同一直线上. ①试用a,b表示向 量OE; ②设线段AB,OE,CD的中 点分别为L,M,N,试证明 L,M,N三点共线， (2)已知D,E,F分别为 △ABC三边BC,AC,AB 的中点 求证：AD,CF,BE相交于一点 思路点技](1O成-言0十6：证明M示 =AML; (2)设直线AD,BE交于点G,证明点G在 直线CF上， 题型 证萌等式，求值 [例3](1)PQ过△OAB的重心G,且OP= m OA OQ=nOB. 求证十日= (2)已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4, 0),C(-6,2),点D,E分别为边BC,CA的 中点. ①求直线DE的方程； ②求AB边上的高线CH所在直线的方程. ·103· 世五维课堂 数学，·必修第二册 ◇[变式训练] 汇思路点拨] 1)0G=0A+2o. 3.如图，四边形ABCD是正方 D (2)利用向量的坐标运算求解 形，M是BC的中点，将正方 形折叠，使点A与M重合，设 折痕为EF,若正方形面积为 64,求△AEM的面积. 规律方法 1.向量法证明等式 向量法证明等式的关键是熟练掌握条 件的向量等价表达式，常常借助三角形 的性质（例如：中线，重心等）及向量基 本定理. 2.用向量方法解决平面解析几何问题的 步骤： 一是把解析几何问题中的相关量用向 量表示；二是转化为向量模型，通过向 量运算解决问题；三是将结果还原为解 析几何问题。 ● 随堂。步步夯实 1.已知点A(-2,-3),B(2,1),C(0,1),则下列 5.如图所示，在正方形ABCD中， 结论正确的是 E,F分别是AB,BC的中点， A.A,B,C三点共线 求证：AF⊥DE. B.AB⊥BC C.△ABC为等腰三角形 D.△ABC为钝角三角形 2.在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC·BD =0,则四边形为 () A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.过点M(2,3),且垂直于向量u=(2,1)的直线 方程为 ( A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 4.在△ABC所在的平面内有一点P,如果2PA 十P元=AB-PB,那么△PBC的面积与 @温馨提今 △ABC的面积之比是 学习至此，请完成配套训练 ·104·参考答案 又∠BAD=45°-30°=15°， 故∠ABD=15°，由正弦定理得 AB=ADsin∠ADB sin∠ABD =1000sin150°=500，W6+2)(m). sin 15 所以在Rt△ABC中，BC=ABsin45°=500（√3+1）(m). 答案：500（√3十1） 5,解：画出示意图如图.设汽车前进20千 北 米后到达B处.在△ABC中，AC=31千 米，BC=20千米，AB=21千米，由余弦 定理，得c0sC=AC+BCAB =23 2AC·BC 311 对mC1-mC-器血C- 31 (负值舍去). ,.sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°· sin C=35/3 621 在△MAC中，由正孩定理，得MC=ACsin∠MAC=3头× sin∠AMC 35B=35(千米)， 62 从而有MB=MC-BC=15(千米). 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站. 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时向量在几何证明中的应用 课前预习学案预习自测 1.B2.C3.√5-1 课堂互动学案 [例1][证明](1)连接AC.因为E,F分别是AB,BC的中 点，所以E求-E成+B酝=号A店+式 =i+心)=号A花，同理成-号A亡， 所以EF=HG,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形 EFGH是平行四边形. (2)由题意，知△ADC≌△ABC,所以AC平分∠DAB,所以 AC=k(AB+AD),因为DB=AB-AD,所以AC·DB= k(AB十AD)·(AB-AD)=k(AB-AD)=0,所以AC⊥ DB.所以四边形ABCD的两条对角线互相垂直. 变式训练 1.证明：因为AB=(4,一2)，BC=(3,6),DC=(4,一2)， AB=DC,BC=(3,6)不为零向量，且不与AB平行，所以以 A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.因为AB·BC= 0,AB⊥BC,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形. [例2][解](1)①因为B,E,C三，点共线， 所以OE=xOC+(1-x)OB =2xa十(1-x)b,① 同理，因为A,E,D三点共线， 可得OE=a十3(1-y)b,② 比线0.②，得行产a1-郎得： 2 4 5y 5 ,所以 ②周为0i-空，0成i=成=如驰， 10 o=0元+0市)=2a,b, 所以M=O成-O成=6a+12b,M元=O元-OM=a+2地，所 10 10 以M=6Mi,所以L,M,N三点共线. ·24 五维课堂乡 (2)设CA=a,CB=b,直线AD,BE 交于点G.设AG=入AD,BG=uBE, 则AG=AB+BG=(b-a)十uBE (b-a)+r(成+2C) =b-a+r(合a-o）=(合-l加 +(1-)b, 又AG=AAD=A(AC+Ci) 1 fa- 2 3 所以 解得 2A=1-, 2 μ=31 则云-Ci+AG=a+号AD a-号(a+2）-3a+3 又国为C京=a+2b,所以=号C京，所以G在中线CF 上，所以AD,CF,BE相交于一点 变式训练 2解：设疗=m,心=，由器-蒂=名，加F分到是 CD,AB的三等分点，所以F而=F+A0=号BA+2AC m+2m+n)=名m+2,0成-0元+Ci=2AC 1 }市=名ma》号m=gmn片以而-0成，故Fò 1 ∥OE,又O为FO和OE的公共，点，所以点E,O,F在同一条 直线上 [例3][解](1)如图所示，设OA= a,OB=b. 因为三点P,G,Q共线， 所以OG=λOP十(1-A)OQ =λna十(1-λ)nb, 由重心性质定理可得d-号O心-号Oi+O丽 =号a-》,所以品+日=议+31-0=3 (2)①设M(x,y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE,因为 点D,E分别为边BC,CA的中点，所以点D,E的坐标分别 为D(-1,1),E(-3,-1),DM=(x+1,y-1),DE=(-2, -2), 所以(-2)(.x十1)-(-2)(y-1)=0, 即x-y十2=0为直线DE的方程. ②设点V(x,y)是CH所在直线上任意一点，则C⊥AB,所 以CN·AB=0,又CV=(x+6,y-2),AB=(4,4), 所以4(x十6)十4(y-2)=0, 即x十y十4=0为所求直线CH的方程. 变式训练 3.解：如图，建立坐标系，设E(e,0),y1 AM交EF于点N,由正方形面积为 F D C 64,可得边长为8，由题意可得M(8, 4),N是AM的中点，故V(4,2). M 所以AM=(8,4),EV=AV-AE= (4,2)-(e,0)=(4-e,2),因为AM ⊥EV,所以8(4-e)十4X2=0,解得④0 E B e=5,即AE=5, 所以5a=子AE·BM=10 3 世五维课堂 随堂步步夯实 1.D[由题意，点A(-2,-3),B(2,1),C(0,1),可得CB (2,0),CA=(-2,一4)，则CB.CA=-4<0,所以C是 钝角.] 2.D[AB+CD=0,AC·BD=0.AB=DC,AC⊥BD, 四边形ABCD是菱形.] 3.A[设P(x,y)是所求直线上任一点，则MP⊥M,又MP=(x -2,y-3),所以2(x-2)十(y-3)=0,即2x十y-7=0.] 4.解析：根据题意，作出图形. B .2 PA+PC=AB-PB, :.2 PA+PC=AP, 即PC=-3PA, 可知向量PC、PA方向相反，且PC=3 PA,即P是AC的四等分点. 设点B到直线AC的距离为h, 故△PBC的面积与△ABC的面积之比 XPCXh 1XACXh 4 答案： 5.证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方 形的边长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1, 0),F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2). 因为AF·DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. (0 第二课时向量在物理中的应用举例 课前预习学案预习自测 1.A2.C3.5 课堂互动学案 [例1][解]建立如图所示的直 y 角坐标系，风的方向为北偏 东30°， 速度为，=20(km/h),水流的 方向为正东，速度为”，= 20(km/h),设帆船行驶的速度 a 0 为p, 则v=片十2， 由题意，可得向量 片=(20c0s60°，20sin60°) =(10,10√3)，向量y,=(20,0), 则帆船的行驶速度 v=1+2=(10,10V3)+(20,0)=(30,10√5) 所以v=√302+(10√3)2=20V5(km/h). 因为tana= 05=(a为v和，的夹角a为锐角)，所以 30 3 =30°. 所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20√3km/h 变式训练 1,解：如图所示，设AC为水流速度，AD B D 为航行速度，以AC和AD为邻边作 E □ACED,当AE与AB重合时能最 快到达彼岸.根据题意知AC⊥AE, 在Rt△ADE和□ACED中， DE=ACI=2.AD=4,ZAED =90°， 所以AE1=/AD2-DE2=25,N5÷2V3=0.5(h), sin∠EAD=号，所以∠EAD=30. 所以船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能 最快到达B码头，用时0.5小时 ·2 数学s·必修第二册 [例2][解](1)木块共受三个力的作用，重力G,拉力F和 支持力F,,如题图所示，拉力F与位移5方向相同.所以拉 力对木块所做的功为： W:=F.s=Fs cos a=20(J). 支持力F与位移方向垂直，不做功，即W=F·S=0. 重力G对物体所做的功为： We=G·s=Gs cos(90°十0)=-19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为： W=Ws十Wx十W。=20十0-19.6=0.4(J). (3)物体所受合外力的大小为： F6=F1-Gsin30°=0.2(N). 所以合外力对物体所做的功为： W=F令·5=0.2×2=0.4(J). 所以物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物 体做功的代数和相等】 变式训练 2.解：设物体在力F作用下的位移为s.则所做的功为W=F·S AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W1=E·AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)十4× (-15)=-99(J),W2=F2·AB=(6,-5)·(-13·,-15)= 6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J). (2)W=F·AB=(F十F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13, -15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)× (-15)=-117+15=-102(J). 随堂步步夯实 1.C[如图，AC1=y=40,且∠CABA30° =30,则1AB1=w,=805故 3 B 选C.] 2.B[由题意知，8根绳子的合力的大小与礼物的重力的大小 相等，设每根绳子的拉力的大小为T,则8Tc0s60°=1X 9.8,解得T=2.45(N).] 3.D[F十F2=(1,2lg2)..w=(F十f2)·s=(1,2lg2)· (2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.] 4.解析：由F1十F2十F3=0,则F3=一(F1十F2), 因为F1=(3,4),F2=(2,-5),所以F1十F2=(5,-1),即 F3=(-5,1). 答案：(-5,1) 5.解：如图.用OA表示无风时雨滴下落的速 度，OB表示风使雨滴水平向东的速度，以 OA,OB为邻边作矩形OACB,OC就是雨 滴下落的实际速度.在Rt△ABC中，OA =4,AC1=43 3 所以O元OA2+AC2 4w3 3 即雨滴着地时的速度大小为8 3m/s. 章末归纳提升归纳提升 [例1][解析]C[因为CD=4DB=rAB+sAC, 所以CD=4CB=4(AB-AC)=rAB+sAC, 所以r==，所以3r中=号-号 变式训练 1.B[因为AC=AAM+HBD =A(AB+BMD十(BA十AD) =A(AB+子AD)+(-A店+AD) =(a-AB+(含+r)AD,