6.3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学B5) 必修第二册 数 课 时 3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实4、等角定理） 学 纠错空间 作 业 基础过关 5.(多选)在空间四边形ABCD中，AB=CD, JI CHU GUO GUAN 且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、 1.下列命题中，真命题有 ( ) F分别是边BC和AD的中点，则异面直 ①如果一个角的两边与另一个角的两边 线EF和AB所成的角可能等于( 分别平行，那么这两个角相等； A.15° B.30° ②如果两条相交直线和另两条相交直线 C.75 D.60 分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或 6.（多选)一个正方体纸 直角)相等； 盒展开后如图所示， ③如果一个角的两边和另一个角的两边 在原正方体纸盒中有 分别垂直，那么这两个角相等或互补： 如下结论，其中正确 ④如果两条直线同时平行于第三条直线， 的是 ( 那么这两条直线互相平行 A.AB⊥EF A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.AB与CM所成的角为60 2.下列说法中正确的是 () 方法总结 C.EF与MN是异面直线 A.空间中没有交点的两条直线是平行 D.MN∥CD 直线 7.如图，在三棱锥A B.一条直线和两条平行直线中的一条相 BCD中，E,F,G,H分 交，则它和另一条也相交 别是棱AB,BC,CD,DA C.已知空间中四条直线a,b,c,d,如果a∥ 的中点，则当AC,BD b,c∥d,且a∥d,那么b∥c 满足条件 时， D.分别在两个平面内的直线是平行直线 四边形EFGH为菱形；当AC,BD满足条 3.在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD,E,F,G, 件 时，四边形EFGH是正方形 H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四 8.如图，P是平面ABC外 边形EFGH是 的一点，PA=4,BC= A.菱形 B.矩形 25,D,E分别为PC, C.梯形 D.正方形 AB的中点，且DE=3. 4.如图，在三棱锥D一ABC 则异面直线PA与BC所成的角的大小为 中，AC=BD,且AC⊥ BD,E,F分别是棱DC, A.45 B.60° AB的中点，则EF和AC C.90° D.120° 所成的角等于 9.在正方体ABCD-AB,C,D,中，直线AB A.30° B.45 与AD,所成的角为 ,直线AD C.60 D.90 与DC所成的角为 104· 第六章立体几何初步 课时作业乡 10.如图，已知在棱长为a 13.如图，在正方体AC中，E,F分别是 的正方体AB,CD1一 AB,,B,C的中点，求异面直线DB,与 ABCD中，M,N分别是 EF所成的角的大小 间 棱CD,AD的中点. D D 纠错空间 求证：(1)四边形 MNA,C,是梯形； (2)∠DNM=∠DAC. D C F 11.在空间四边形ABCD中，两条对边AB= CD=3,E,F分别是另外两条对边AD, C上的点，且品熙=F=5,求 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知三棱锥A一BCD 方法总结 AB和CD所成角的大小 中，AB=CD,且直线 AB与CD成60角，点 M,N分别是BC,AD M 的中点，求直线AB和 MN所成的角. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.(2022·全国乙卷)在长方体ABCD AB,C,D,中，已知BD与平面ABCD和 平面AABB所成的角均为30°，则 () A.AB-2AD B.AB与平面AB,C1D所成的角为30° C.AC=CB D.B,D与平面BB,CC所成的角为45 ·105·参考答案 (3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD=BC, 所以四边形AB1CD是平行四边形，所以A,B1,C1,D 共面 答案：(2)(3)(4) 13.证明：连接EF,QG,A1C1,EH, 因为E,F,Q,G分别是A,D1,DC1,A1A,CC的中点， 所以EF∥A,C1∥QG,同理可证FG∥EH. 设E,F,Q,G确定平面《，F,G,E,H确定平面3，由于a 与B都经过不共线的三，点E,F,G,所以α与B重合，即 E,F,G,H,Q五点共面，同理可证E,F,G,P,Q五点共 面，所以E,F,G,H,P,Q共面」 D E B G 0+ D B 14.解：(1)证明：由于CC1和BF在 0(01 同一个平面内且不平行，故必相 交.如图，设交点为O,则OC1= C,C.同理直线DE与CC1也相 D E 交，设交点为O,则OC,= C CC,故0与O重合.由此可证A 得DE∩BF=O,故D,B,F,E 四点共面. (2)设平面DBFE为a.由于 DX-- AA1∥CC1, 41 所以A1,A,C,C1四点共面（设为）. 因为P∈BD,BDCa,所以PE∈a. 又P∈AC,ACCB,所以P∈B, 所以P∈(a∩B). 同理可证得Q∈(a∩)，从而有a∩B=PQ. 连接A1C,交PQ于点R,因为A1CCB, 所以A1C与平面a的交点就是A1C与PQ的交点. 所以AC与PQ的交点R就是所求的交，点. 3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理) 1.B2.C3.B4.B5.AC 6.AC[把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可 知，AB⊥EF,EF与MN是异面直线，AB∥CM,MNL CD,只有AC正确.] 7.解析：由图易证，EFAC4HG,四边形EFGH为 平行四边形，故当EF=FG,即AC=BD时，四边形 EFGH为菱形；EF⊥FG且EF=FG,即AC⊥BD且AC =BD时，四边形EFGH为正方形. 答案：AC=BDAC=BD且AC⊥BD ·16 课时作业兰 8.C[取AC的中点F,连接DF,EF,在 △PAC中，D是PC的中点，F是 AC的中点，DF∥PA. 同理可得EF∥BC ∠DFE为异面直线PA与BC所成 的角（或其补角）. 在△DBF中.DE=3,又DF=PA=2,ER =20=6, ..DE2 =DF2+EF2, ∴.∠DFE=90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°， 故选C.] 9.解析：因为A1B1∥AB,所以∠D1A1B1就是异面直线 AB与A1D1所成的角. 因为∠D1A1B1=90°， 所以直线AB与A,D1所成的角为90° 连接AB1,BD D 因为AB1∥DC1, 所以AB,与AD1所成的角即直线DC与AD1所成 的角， 又AD1=AB:=BD1, 所以△AB1D1为正三角形， 所以直线AD1与AB1所成的角为60°， 即直线AD1与DC所成的角为60°. 答案：90°60 10.证明(1)如图，连接AC,在△ACD中， :M,N分别是CD,AD的中点， MN是△ACD的中位线. ∴MN∥AC,MN=号AC 由正方体的性质得AC∥AC1,AC=A1C, ∴MN∥AC,且MN=号AC,MN≠AC,易知 NA1与MC不平行， 四边形MNA,C1是梯形. D M Dx (2)由(1)可知MN∥A1C.又ND∥AD1, .∠DNM与∠DA1C相等或互补. 而∠DNM与∠DAC1均为锐角， .∠DNM=∠DAC· 11.解：如图，连接BD,过，点E作AB的平行线交BD于点 O,连接OF. B 5 世数学B5) :0/AB器部子器贯子 AB=3,.E0=2. 照=品凭 ∴.OF∥DC,∴.OE与OF所成的角即为AB和CD所成 的角咒既 DC=3,.OF=1. 在△OEF中，OE2+OF2=5,EF2=(√5)2=5， ∴.OE2+OF2=EF2,∴.∠EOF=90°， 所以AB和CD所成的角为90°. 12.D「如图由题意可知 D C ∠B1DB和∠DB1A分别 是B,D与平面ABCD和 平面AA,B,B所成的角， A B 所以∠B1DB=∠DB1A= 30°，设AB=a,AD=b, D AA1=c根据题意有 Va+元=tan30,即d2+ b c2=36①，同理有a2十b= B 3c②，由①和②可得a=√2b,b=c,所以AB=√2AD,A 错误；所以AC=√3b,CB1=√2b,C错误；过B做BM⊥ AB1于M,则BM⊥面AB1CD,∠BAB1是AB与平 面ABCD所成的角，sin∠BAB台，所 以B错误；∠DB,C是B,D与平面BB,C,C所成的角， Sn∠DHC品-爱9∠DBC-子，选 13.解：如图，连接A1C1,B1D1,并设 它们相交于点O, A 取DD1的中点G,连接OG, G AG,C G. 则OG∥BD,EF∥A1C· ∴∠GOA1为异面直线DB1与 02 EF所成的角或其补角. E B :GA1=GC,O为A1C1的中点， ∴.GOAC1..∠GOA1=90°， .异面直线DB1与EF所成的角为90°. 14.解：如图，取AC的中，点P,连接PM,PV,因为点M,N 分别是BC,AD的中点，所以PM∥AB,且PM= 合AB: C PpN/cD,且PN=CD. 所以∠MPV(或其补角)为AB与CD所成的角， 所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角. 因为直线AB与CD成60°角， 所以∠MPN=60°或∠MPN=120° 又因为AB=CD,所以PM=PN, ①若∠MPN=60°，则△PMN是等边三角形， 所以∠PMN=60°，即AB与MN所成的角为60°， ②若∠MPN=120°，则易知△PMN是等腰三角形. 所以∠PMN=30°，即AB与MN所成的角为30°. 综上可知：AB与MN所成角为60°或30. ·1( 必修第二册 §4.平行关系 4.1直线与平面平行 1.C2.A3.B4.B5.AB 6.AB[矩形ABCD的对角线AC与BD交于，点O,所以 O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以 OM是中位线，故OM∥PD,所以OM∥平面PCD,且 OM∥平面PDA.因为点M在PB上，所以OM与平面 PBA、平面PBC相交.] 7.解析：由于在正方体ABCD-AB,C1D1中，AB=2, 所以AC=2√2.又E为AD的中点，EF∥平面ABC, EFC平面ADC,平面ADC∩平面AB,C=AC,所以EF ∥AC,所以F为DC的中点，所以EF=子AC=E 答案：√2 8.解析：取CD的中点E,连接 AE,BE,则EM:MA=1: 2,EN:BN=1:2,所以MN ∥AB,所以MN∥平面 ABD,MN/∥平面ABC. B二- 答案：平面ABD与平面ABC 9.解析：如图， D 5 A-0 将其补成正方体ABCD-AB1CD,设B,D和AC 交于点O1,连接OB,依题意可知，DO1∥OB,且DO =OB,即四边形D1OBO,为平行四边形，则DO∥O1B, 因为BO,C平面ABC1,D1O寸平面A1BC1,所以直线 D1O∥平面A1BC1. 答案：平行 10.证明：如图，连接SB. D B G 因为E,G分别是BC,SC的中，点， 所以EG∥SB.又SBC平面BDDB1,EG丈平面 BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1. 11.证明：如图所示，连接AC交BD于O,连接MO, p D H B 因为ABCD是平行四边形， 所以O是AC中点，又M是PC的中点，所以AP ∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平 面BMD. 因为平面PAHG∩平面BMD=GH,根据直线和平面 平行的性质定理，则有AP∥GH. 6