6.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5) 第六章立体几何初步 §1.基本立体图形 1.1构成空间几何体的基本元素 1.2简单多面体一棱柱、棱锥和棱台 1.C 2.A 3.A 4.D 5.ABD 6.ACD[由棱柱的定义知，棱柱各侧面 一定为平行四边形，故A正确.如图， 平面ABC∥平面AB,C1,但图中的几 何体每相邻两个四边形的公共边并不 互相平行，故不是棱柱，B不正确.棱 锥有一个面是多边形，其余各面都是 有一个公共顶，点的三角形，即必须是有一个公共顶点的 几何体，故C正确.棱台是用一个平行于底面的平面去 截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D 是正确的.故只有B不正确.] 7.解析：因为n棱柱有2n个顶，点，又此棱柱有10个顶点， 所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和 为60cm,可知每条侧棱长为12cm. 答案：12 8.解析：(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面 去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是 棱锥 答案：(2)(3)(4) 9.解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直 四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是 正四棱柱不一定是正方体. 答案：(1)不一定(2)不一定 10.解：截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的 定义。 它是三棱柱BEB'一CFC',其中△BEB'和△CFC是 底面. EF,B'C',BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱. 它是四棱柱ABEA'一DCFD. 其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面. A'D',EF,BC,AD为侧棱. 11.解：把长方体的部分面展开，如图所示. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC,的长分 别为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲 壳虫可以先在长方形ABBA1内由A到E,再在长方 形BCCB,内由E到C1,也可以先在长方形AADD 内由A到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最 短路程为√74. 13B4 ·16 必修第二册 12.解析：如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错 误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩 形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形 A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD:④正确，如 四面体A1C1BD;⑤正确，如四面体B1ABD:则正确的 说法是①③④⑤. 答案：①③④⑤ 13.解：本问题可以有如下各种答案： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般 三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方 形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至 少有一组对边平行： ④截面可以是五边形： ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形.特别 地，可以是正六边形 截面图形举例 锐角三角形等腰三角形等边三角形梯形平行四边形 A 菱形 矩形 一般五边形一般六边形正六边形 14.解：如图，根据题意可知 S△AB'C S△ABC 、1 2, 而S△C=A'B A S△ABC AB,..SA? SA A'B AB 41 SA 2 AA =2-1 即截面裁一条侧棱所得两条线段的长度之比 为1：(2-1). 1.3简单旋转体一球、圆柱、圆锥和圆台 1.C2.B3.B4.B5.AC 6.ACD[球心到弦AB,CD的距离分别3,2，又因为3> 2,所以AB,CD可交于AB的中点M,不可交于CD的 中，点VN;当AB,CD在球心的同侧时，MV的最小值为3 一2=1；当AB,CD在球心的两侧时，MN的最大值为3 +2=5.故选ACD.] 7.解析：设圆台的高为h,则h=√(3√10)2-(5-2)=9， 轴栽面面积S=之(4+10)X9=63. 答案：63 8.解析：当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长 为3cm,底面半径为4cm; 当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为 4cm,底面半径为3cm. 答案：3cm,4cm或4cm,3cm 2 参考答案 9.解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋 转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时，可得③，即正方体 的对角面，不可能得④。 答案：①②③ 10.解：图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥； 图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几 何体； 图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋 转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直 角三角形旋转得到的圆锥内， 30e 309 (2) 3) (4 11.解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所 示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中，正方 体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和√2x. 因为△VA,GoN,所以品-沿，中 2r h-x Av/O C MAOC N 所以√2hx=2h-2rx,即x 2rh 2r+√2h 故这个正方体的棱长为 2rh 2r+√2h 12.解：设球心为O,两截面圆的圆 02 心分别为O1,O2,圆O1和圆O 的半径分别为AO1和BO2,如图 为球的轴截面 由球的裁面性质可知AO ∥BO,, 且OO1⊥AO1,OO2⊥BO2. 设球的半径为Rcm,:π·BO=49π， .'BO,=7 cm. 又π·AO=400π，.AO1=20cm. 设OO1=xcm,则OO2=(x十9)cm 在Rt△OO,A中，R2=x2+20, 在Rt△OO,B中，R2=(x十9)2+7， .x2+202=（x十9)2+72，解得x=15, ,.R2=x2十202=252， 解得R=25,即球的半径为25cm. 13.解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其 轴裁面，设圆台的高为hcm,由条件 可得圆台上底面半径'=2cm,下 底面半径r=5cm. (1)由勾股定理得h= √12-(5-2)=3√5(cm). (2)设圆锥的母线长为xcm,由三 角彩相仅得2=号，解得=20，中我得光博台的 圆锥的母线长为20cm. 16 课时作业乡 14.解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该 图为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长， S 、M A .L=2πr=2π ∠AsW-点×860=2g×360=90 (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM, 其值为AM=√x十16(0≤x≤4).f(x)=AM=x 十16(0x4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,则 SR的长度为顶，点S到绳子的最短距离，在△SAM中， :Sasw=2sA·SM=2AM·SR. .SR=SA SM_Ax AM (0x4), √x2+16 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为 4x-(0 W/x2+16 x4). (3).f(x)=x2十16(0x4)是增函数， .f(x)的最大值为f(4)=32. §2.直观图 1.C2.C3.C4.C5.AB 6.CD[在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角 的大小都可能改变，但线段上，点的相对位置不变，] 7.解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC= A'C'=3,BC=2BC'=4,计算得AB=5,所求中线长为 2.5. 答案：2.5 8.解析：由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB =90,0B=3,0A=4,.S△0B=20A·0B=6. 答案：6 9.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩 形，其中OA=2cm,OC=4cm,.四边形OABC的面积 S=2×4=8(cm2). 答案：矩形8 10.解：(1)在已知图形中画坐标系xO'y',使∠x'Oy=45°， CA'在x'轴上，C与O'重合，如图(1)； (2)画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA',即CA =CA',如图(2)所示； (3)在图(1)中过B作B'D'∥y轴，交x'轴于D'.在图 (2)中，在x轴上取OD=OD', 过D作DB∥y轴，并使DB=2DB': (4)连接AB,BC,则△ABC即为原图形，如图(2)所示， y B (C) (C) 0'D' A' (1) (2) 11.解：答案不唯一.示例：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴 之轴相交于点O,使∠xOy=45°，∠xOx=90°.(2)画下 底面.以O为线段中点，在x轴上取线段AB,使AB 2,在y轴上取线段OC,使0C-号连接BC,CA,则 △ABC为三棱台的下底面的直观图.(3)画上底面在： 3世数学B5) 空 数 课时 间 1.3简单旋转体 学 纠错空间 作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.下列说法正确的是 A.用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B.在圆台的上、下底面圆周上各取一 点，则两点的连线就是圆台的母线 C.圆台的任意两条母线延长后相交于 同一点 D.圆锥的母线可能平行 2.下列说法正确的是有 ( ①空间中到定点的距离等于定长r的 点的集合，构成半径为r的球； ②空间中到定点的距离等于定长r的 点的集合，构成半径为r的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有 方法总结 无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截 面可能不是圆面. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图，在日常生活中，常用到的螺母可 以看成一个组合体，其结构特征是 A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 4.用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一 个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为 A.32 B 32 c. D 8元 ·9 必修第二册 一球、圆柱、圆锥和圆台 5.(多选)如图，各棱长都相等的三棱锥内 接于一个球，则经过球心的一个截面图 形可能是 6.（多选)连接球面上两点的线段称为球 的弦，半径为4的球的两条弦AB,CD 的长度分别等于2√7,4√3，M,N分别 为AB,CD的中点，每条弦的两端都在 球面上运动，则 () A.弦AB,CD可能相交于点M B.弦AB,CD可能相交于点N C.MN的最大值为5 D.MN的最小值为1 7.圆台的两底面半径分别为2,5，母线长 是3√10，则其轴截面面积是 8.两相邻边长分别为3cm和4cm的矩 形，以一边所在的直线为轴旋转所成的 圆柱中，母线长和底面半径分别 为 9.一正方体内接于一个球，经过球心作一 个截面，则截面的可能图形为 (只填写序号) ① ① ④ 第六章立体几何初步 课时作业乡 10.一个有30°角的直角三角板绕其各条 13.一个圆台的母线长为12cm,两底面面 边所在直线旋转所得几何体是圆锥 积分别为4元cm2和25πcm.求： 空 吗？如果以斜边上的高所在的直线为 (1)圆台的高； 间 轴旋转180°得到什么图形？旋转360 (2)截得此圆台的圆锥的母线长 纠错空间 又得到什么图形？ 11.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正 方体ABCD一A,B,C1D1内接于圆锥， 素养培优 SU YANG PEI YOU 求这个正方体的棱长 14.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径 V r=1,母线长l=4,M为母线SA上的 一个点，且SM=x,从点M拉一根绳 子，围绕圆锥侧面转到点A.求： 方法总结 0 M 0 (1)绳子的最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短 距离； (3)f(x)的最大值. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在球心同侧有相距9cm的两个平行平 面，它们截球所形成的截面圆的面积分 别为49πcm和400πcm,求球的半径. ·99·