5.3.1 复数的三角表示式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5】 必修第二册 空 数 课时 §3.复数的三角表示 间 3.1复数的三角表示式 纠错空间 学作业 基础过关 6.(多选)设3+4i的辐角主值为0，则(3+ JI CHU GUO GUAN 4i)·i的辐角可以是 1.复数1一√3i化成三角形式，正确的是 ( ) A.+0 B空-9 A.2co c9-号 D.受-0 +isi6】 B.2 cos6 5π 1 7.-1十8 的三角形式为 (要求 5+isin C.2 cos3 π 辐角为辐角主值). 8.argi·cos 2.复数之=一sin100°+icos100°的辐角主 9.复数x=3√3+3i化为三角形式为 值是 ( arg z- A.80 B.100° 10.写出下列复数的辐角的主值. 方法总结 C.1909 D.260 (1)-√3-i: 3.两个复数之1，之2的模与辐角分别相等是 (2)-ai(a≠0). 之1=之2成立的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分又不必要条件 4.若复数。=(a十iD°的辐角是，则实数 a的值是 ( A.1 B.-1 C.-2 D.一3 5.(多选)下列复数不是三角形式的是 ( A.5cos8+iin至》 B.2cos至-isin 4π C.3 cos3 +isin 4 3 D.2-cos isin 6 ·92· 第五章复数 课时作业乡 11.将以下复数表示为三角形式（辐角取 素养培优 SU YANG PEI YOU 主值)： 空 14.求复数之=1+cos0+isin0(π<0<2π) 间 (1)3-i;(2)1+i; 的模与辐角主值. 纠错空间 (3)2sim+icos若】 #44号年#44月144月年卡十4号年 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.将复数1+√i所表示的向量绕原点按逆 时针方向旋转0角(0<02π)所得的向 量对应的复数为一2，则0= 方法总结 13.已知复数之=2+3i,乏是之的共轭复 数，求复数u=之一i这的辐角主值与模， ++++++++++十+ ·93·世数学B5) 2.2复数的乘法与除法 2.3复数乘法几何意义初探 1.A2.B3.B4.B5.C A[-牛得9品宁0》-2 之=2+i.] 7.解析：，之1·之2=(cosa十isin a)(cosB十isin)=cosa cos B-icos asin B+isin acos B+isin asin B=(cos acos B -sin asin B)+i(cos asin B+sin acos B)=cos(a+B) +isin(a十3)， 1·2的实部为cos(a十B),虚部为sin(a十B). 答案：cos(a十B)sin(a十B) 8.解析： 13土i=13+i=⑩=√. i i 1 答案：√0 .解析：因为x=号1D-一，剥x=1,所以y 1+i 2 4 i=4i1 2x+=20 =4i·0-1×2=-2. 答案：1-2 10.解：(1)1+21)十31-D=-3+41+3-35- 2+i 2+i 2+i 2=+号 5 (2)原式=-1+2+1 (2i) 1+2 (+ i(2i+1)=i-i=0. 1+2i 11.解：设x0是方程x2-(4一2i)x十3-2i=0的实数根，则 x6-(4-2i)x。十3-2i=0, 即(x-4红，十3)十(2，-2)i=0,-4十3=0， 12x0-2=0. 解得x。=1.方程x2-(4-2i)x十3-2i=0有实 数根. 由根与系数的关系得方程的两根分别为1,3一2i. 12.解析：把x=1十2i代入x2-m.x十2n=0中，得(1十2i)2 -m(1十2i)十2n=0,即1-4十4i-m-2mi十2n=0,整 理得(2n-m一3)十(4一2m)i=0,根据复数相等的充要 条件，得2030解得m=21=号，m十= .9 4-2m=0, 答案：号 5a(2-i)(1+i)(1+i) 13.解：=22”十-9-号-2a+1-ai,若 复数之对应的点在复平面内位于第四象限， 则2a>0,解得a≥1. 1-a0, 14.解：设之=x十yi(x,y∈R),由题意知x0且y>0,由x ·z+2i这=3十ai(a∈R), 得x2十y2十2i(x-yi)=3十ai. :2+y+2y=3,0 (2x=a. ② 由®式得x=合，将其代入①式得y十2y十号 -3= 0.③ 由yER,知△=4-4(-3）≥0， -4≤a≤4.④ ·16 必修第二册 此时y=-1士Λ√/4 4 .y>0,y=-1/4- 0取4->1 ∴.-25<a<25.⑤ 再由x=号<0，得a<0.⑥ 综合④⑤⑥三式得a的取值范围是一2√<a<0. §3.复数的三角表示 3.1复数的三角表示式 1.C 2.C 3.A 4.B 5.ABD 6.C[8+i=-4+i-5·(号+号剖)又3+组 =5·(停+制)s9=号m= 4 .-5 =-sin0,号 =cos 0, ∴.5(-sin9+icos8) =5·[os(受+0）+isin(经+0）)] ·(3+4iDi的辐角主值为交十Q故选A,C.] 7解析：1十 =-1--1- 4 (到[e导+m] 答案：m督+in] 8.解析：之=icos 0s吾>0，点(0，0s晋)在y轴正半 轴，故arg(cos5）-受 答案：受 9.解析：=6，对应的点(35,3)在第一象限，an9= 3 六arg=石，z=6(cos石+isin否)） 答案6(o吾十isin晋）晋 10.解：(1)因为r=√(-√5)”+（-1)2=2， 所以c0s= 又因为9∈[0,2π)，所以复数-√5-i的辐角的主值9 (2)当a>0时，r=a,cos9=0,sin8=-1,复数-ai(a ≠0)的辐角的主值日=警， 当a<0时，r=-a,cos0=0,sin0=1,复数一ai(a≠0) 的辐角的主值日=受 11.解：(1)因为r=√(W3)+（-1)=2, 所以wg-i=2(os1号5+isin号）】 (2)因为r=V中=2，c0s9=sin0=2 21 所arg(1+i)=不，所以1+i=√2(cosT+isin平). 60 参考答案 3)原式=2[o(受晋)+isin(受晋)] =2(eos骆+im)】 12.解折：arg1十)=号rg(-2)=x,1十i=2.所 以将1十所表示的逆时针袋转日-否，所得向量对 应的复数为一2. 答案号 13.解：x=2十3i,∴.=2-3i,.u=2十3i-i·(2-3i)= 2+3i-2i-3=-1十i,u对应的点为(-1,1)在第二象 限，又1an0=-1,”argu=子，u=-1+i=E. 14.解：=1十c0s9叶isn0=1+(2eos号-1）十2a ·sino号-2s号(os号+isim2） ①. x2x<号<c0s号<0 2 0式右落=-2s号（m号-in号） =-2a号[os(（e+号）-ism(a+号)月 .z=r=-2c0s2 ag=x+号十2krk∈Z, <9<元， 2 ππ十 2 2 .arg之=元十之 3.2复数乘除运算的几何意义 1.D 2.C 3.C 4.C 5.ACD 6.ABC[因为arg1=a,arg之2=B,所以a∈[0,2r),B∈ [0,2x),而arg(x1·2)∈[0,2π)，则当a十B∈[0,2π)时， arg(1·x2)=a十B;当a十B∈[2π，4π)时，a十B-2π∈[0， 2π)，则arg(≈1·之2)=a十B-2r;当a十B=π时，2π-(a 十B)=π=a十B,此时arg(之1·x2)=a十B=2m-(a十B), 故选ABC.] 7.解析：原式 =3[o(侣+号十isin(信x+号x)] =3E(os平+isin平)-3-3i 答案：-3-31 8,解折：=(-3万+3m-[6(m经+in)] (coisin)in =km(k∈Dn=专∈ZD,又nEN, 4 n的最小值为4. 答案：4 9.解析：1=4i·√2(cos45°+isin45)=42·[cos(90° 45)+isin(90°+45)]=-4+4i;x=√(-4)+4 =4√2. 答案：-4十4i4V2 ·16 课时作业 10.解：因为1=2(cos石+isin若) 设z2=2(cosa十isin a),a∈(0，π)， 所以x对=8[os(a+晋）十isin(2a+晋)门 由题设知2a十吾-2r十8经(k∈， 所以a=k元 2匹(k∈Z), 又aE(0,,所以a= 2π 所以=2(+in）=-1+i 山.解：)原式=[o(-晋）十ism(-)] [(o受+isn受)】门 -[【a(g）+m(g）】 ÷[3(os登+sm)川 -(os号+sm等）产[3(o受+isn受)月 号[o(肾-受)+isin(学-受)门 (2)原式= [2(cos50°+isin50)J (合）[os(-50)+iin(-50J 6[0s(-200)+isin(-200)]. :=√（②，-）+（合）=-4+6 √(r-23)2+4,.zm=2.] 13.解·=(s经+n)·2(s+sn) 2(os票+m）), w·-7-2=部 8π 14.解：由题设知之=1-i,因为AB=√2， 即名一=√2， 所以名一2=一之2=(1十i)之一2= i这2=z2=√2， 又arg-登所以(os径+in竞)】 名1=zx2=(1十i)z -E(eos年+idin)·E(eo登+iin) =2(os晋+isin晋）， 所以之1的立方根为 3 -+isin 3 k=01,2.中(eos语+in5爱） (eo+idn）)(o+ism)】