重难专题 复数的三角表示式 复数乘除运算的几何意义 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　复数的三角表示式　复数乘除运算的几何意义 一、必备知识基础 1.将复数1-i化成三角形式为(　　) A.2(cos+isin) B.2(cos+isin) C.2(cos+isin) D.2(cos+isin) 2.把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数为(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 3.如果向量对应复数4i,绕原点O逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍,得到向量,那么与对应的复数是　　　　　.  4.( 2025江苏南京高一期末)在复平面内,常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量进行一一对应.现把复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,所得的向量对应的复数虚部为　　　　　.  5.计算:(1)(i)10÷3i; (2)[2(cos 50°+isin 50°)]-4. 6.在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知点Z2对应的复数z2=1+i,求点Z1和Z3分别对应的复数z1,z3. 二、关键能力提升 7.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　) A. B. C. D. 8.(多选)设z1,z2是复数,arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些(　　) A.α+β B.α+β-2π C.2π-(α+β) D.π+α+β 9.(2025上海高一期末)欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ(i是虚数单位,e=2.718…,θ∈R),将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数z1=,复数z满足z·z=1,则|()2 025-z|的最大值为(　　) A.0 B. C.1 D.2 10.设z=(-3+3i)n,n∈N+.当z∈R时,n的最小值为　　　　　.  11.(2025甘肃酒泉高一期末)已知向量对应的复数为z=-1+i,向量按逆时针方向旋转　　　　　得到复数zi.(填最小正角)  12.若分别对应复数z1=1+2i,z2=7+i,求∠Z2OZ1,并判断△OZ1Z2的形状. 三、学科素养创新 13.如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明α+β+γ=. 参考答案 1.C　由题得,|1-i|=2.又(1,-)在第四象限且tan θ=-,故arg(1-i)=,所以化成三角形式为2(cos+isin). 2.B　由题得,3-i=2[cos(-)+isin(-)].将复数对应的向量顺时针方向旋转,得z=2[cos(-)+isin(-)]÷(cos+isin)=2[cos(-)+isin(-)]=-2i. 3.-4+4i　z1=4i·(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°+45°)+isin(90°+45°)]=-4+4i. 4.　复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转, 可得(i)[cos(-)+isin(-)]=(i)(i)=i,故所得向量对应的复数虚部为. 5.解(1)原式=[cos(-)+isin(-)]10÷[3(cos+isin)]=[cos(-)+isin(-)]÷[3(cos+isin)]=(cos+isin)÷[3(cos+isin)]=[cos()+isin()]=(cos+isin)=i. (2)原式=[]4 =()4[cos(-50°)+isin(-50°)]4 =[cos(-200°)+isin(-200°)] =(cos 160°+isin 160°). 6.解根据题意画出草图,如图所示. 由复数运算的几何意义知,z1=·z2·[cos(-)+isin(-)]=(1+i)(i)=i, z3=·z2·(cos+isin)=(1+i)(i)=i. 7.C　arg z1+arg z2+arg z3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z. ∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=.又<arg z1<2π,arg z2=<arg z3<π,∴arg z1+arg z2+arg z3∈(2π+,3π+),∴arg z1+arg z2+arg z3=. 8.AB　设z1=r1(cos α+isin α),z2=r2(cos β+isin β),则z1z2=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)], ∴arg(z1z2)=α+β+2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π). 9.D　由题知,z1=cos+isin=-i,则=-i=cos+isin, 所以()2 025=(cos+isin)2 025=cos 2 700π+isin 2 700π=1. 由z·z=1,则z=±1,故z=-1时,|()2 025-z|的最大值为2. 10.4　由题得,z=(-3+3i)n=[6(cos+isin)]n=6n(cos+isin). ∵z∈R,∴sin=0, ∴=kπ(k∈Z),∴n=k(k∈Z). 又n∈N+,∴n的最小值为4. 11.　因为z=-1+i,则zi=(-1+i)i=-1-i. 设向量按逆时针方向旋转θ角,可得到复数zi对应的向量,则由-1-i=(-1+i)(cos θ+isin θ),化简得-1-i=-cos θ-sin θ+(cos θ-sin θ)i, 故解得故θ=+2kπ,k∈Z,依题意求最小正角,则θ=. 12.解∵(cos+isin), ∴∠Z2OZ1=. 又Z1(1,2),Z2(7,), ∴=(6,-),∴=(1,2)·(6,-)=1×6+2×(-)=0, ∴,即∠OZ1Z2=, ∴△OZ1Z2是∠OZ1Z2=90°的直角三角形. 13.证明假设每个正方形的边长为1,建立如图所示平面直角坐标系,确定复平面. 由平行线的内错角相等可知,α,β,γ分别等于复数3+i,2+i,1+i的辐角主值, 因此α+β+γ应该是(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角. 又因为(3+i)(2+i)(1+i)=(5+5i)(1+i)=10i,而arg(10i)=, 所以存在整数k,使得α+β+γ=+2kπ. 注意到α,β,γ都是锐角,于是k=0,从而α+β+γ=. 学科网（北京）股份有限公司 $