第1章 三角函数 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 章末归纳提升 [网络构建] 锐角三角函数 三角函数准备：角的拓展，弧度制 任意角三角函数 三角函数的概念 三角函数 三角函数的图象 单位圆 y-sinx 三角函数的性质 yein2,in 函数解析式 诱导公式 ysm(-号) 类三角函数：y=Asin(@x+p)的图象和性质 m2+】 r2xn(2r+g） 数学中的应用 三角函数的应用 =Asin(ax+p） 实际应用☐ [归纳提升] 题型一 任意角的三角函数的定艾 题型三 诱亭公式 1.利用三角函数的定义，求三角函数值，以及利 用三角函数定义判断三角函数值的符号是常 诱导公式可概括为及·受士a(康∈ZD的各三角 见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根 函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变， 或分类讨论 符号看象限.其中的奇、偶是指罗的奇数倍或 2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数 学运算素养， 偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是 奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数（即 [例1](1)已知角0的终边经过点P(一√5，m)(m 正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符 0)且sm0=,试判断角0所在的象限，并求 号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符 号作为结果的符号. cos0和tan0的值， [例2]已知a为锐角，且2tan(r-a) (2)求函数y=√sinx+ 的定义域： 3aos(受+月+5=0，tan(x+a)+6sin(x+p) -1=0,其中sin2a+cos2a=1,则sina的值是 ( ) A.3⑤ B.3 C.30 5 7 10 规律方法 1.利用诱导公式化简三角函数式，必须熟 记公式规律：奇变偶不变，符号看象限， ◇[变式训练] 2.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关 1.(1)若角a的终边在直线y=3.x上，求sina, 系，会知一求二，重点提升逻辑推理和数 学运算素养 cos a,tan a. ◇[变式训练] (2)设f(x)=√1-2sinx. 2.己知sina是方程5.x2-7.x-6=0的根，a是第 ①求f(x)的定义域； 3 ②求f(x)的值域及取最大值时x的值. sin 2xjcos 2x-a 三象限角，求 co(j小sin(g+a】 tan2(r-a)的值. ·52· 第一章三角函数 五维课堂 题型 三角函数的阁图象与性质 ⊙[变式训练] 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇 3.(1)函数f(x)=tan 2 3 的单调递增区 偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx十9看成 一个整体，利用整体代换思想解题是常见的 间 技巧 元k红士 “五点法”作函数y=Asin(wx十p)的图象， A[停+水 掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想 象和数学运算素养， (经-是受 (k∈Z) [例3] 函数f(x)=3sin2.x+ 的部分图象 (k∈Z) 如图所示 n[kx-吾：a+引水a∈☑ (2)函数y=sin 2x 6 的图象的对称中心和 对称轴方程分别为 题型四 三角函数的图象变换 1.重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解 (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,yo 析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论 的值； 函数的有关性质， (2)求f(x)的单调递减区间： 2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式， (3)求f八x)在区间[-受一]上的最大值和 重点提升直观想象和逻辑推理素养. 例4]如图是函数y= 2 最小值. Asin(ax+)+k(A>0,@ >0,9<受)的部分 图象 (1)求此函数的解析式； (2)分析该函数的图象 是由y=sinx的图象如何变换得来的？ 规律方法 三角函数的三条性质 规律方法 (1)单调性：求形如y=Asin(wx十p)或y (1)由图象求解析式一般采用待定系数法 =Acos(wx十p)(A>0,w>0)的函数 求A,w,9.求p时一般代入函数图象上 的单调区间可以通过解不等式方法去 的最高点或最低点. 解答，即把ωx十9视为一个“整体”，分 (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平 别与正弦函数y=sinx,余弦函数y= 移的量是不同的.左右平移只是把x变 cosx的单调递增（减）区间对应解出 成x士p,其它不变，左右伸缩只是把x x,即得所求的单调递增（减）区间. (2)周期性：函数y=Asin(wx十p)和y 变成己，其它不变， Aeosr十p)的录小正月期为语y一 ⊙[变式训练] tan(o十p)的最小正周期为高 4若把函数y=m(ar一哥)的图象向左平移管个 单位长度，所得到的图象与函数y=cosx的图 (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 象重合，则w的一个可能取值是 () y=Asin wx或y=Atan wx,而偶函数 一般可化为y=Acos a.x十B的形式. A.2 c号 D. 1 ·53·世五维课堂 作图，如图所示， 12 、3 -6 (2)①小球开始摆动（即t=0)时，离开平衡位置为3cm ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm, ③小球来回摆动一次需要1s(即周期). 变式训练 2.解：1)当1=0时，E=20sin若=1105（伏） 即开始时的电压为110√3伏. (2)电压的最大值为220√3伏 当100十吾-受即1秒时第一次我得这个最大位 [例3][解](1)如图， 28 20 0外 01234567891011x (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故号=7-1=6，所以T2 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8. (3)因为x=月份一1， 所以不妨取x=2-1=1,y=26.0. 代入①得齐-器81≠0吾，故①不运合。 代入@得5-2686<0吾，收@不适合 25.8 所以应选③. 变式训练 3.解：(1)设此三角函数模型是d=Asin(wt十p)十b(t≥0)，根 据题意可知网期T-号(>， 所以如=号-器A=2-428-=2.8,h 2 2 dm十d=8.4+2.8=5.6, 2 2 所以d=2.8sin(7+y）十5.6（≥0. 又因为当t=2时，d取得最大值， 所以2.8sin 号+9)十5.6=84 所以可取9=开， 13π 所以4=2.8sn(87+）5.6≥0. (2)10月4日15：00相当于t=39,此时入口处水的深度d= 28sin(号×39+1赞)十5.6=8.4米) 随堂步步夯实 1.C[根据题图可得函数的最小值为2， 有-3十k=2,k=5,最大值为3十k=8.] 2D[当1=0时s=2sin(0+晋)-E,故①正确m=-2, 故②正确；函数的最小正周期T=2π，故③正确.] ·2 数学s·必修第二册 3.A[由题目可知y的最大值为5，所以5=A×1十2，得A= 3,由于T=15,所以w=2经.] 15 4.解析：依题意，A=3,w 2r=7,96 2 ,.函数解析式为y= 3sin(+吾）e[0,+o) 答案：y=3sim(+若）e[0,+∞) 5.解：(1)由题意知A十b=14, 1-A十b=-2, 解得∫A=8, 1b=6, 易知=14-2，所以T=24,所以= 易知8sin(倍×2+9)+6=-2 即sin(危×2+9）=-1， 故是×2+9= 晋+2k,k∈Z. 又9<，得= 3 所以y=8sin(位2-号) 2π +6(.x∈[0,24). (2)当x=9时，y8n(危×9-）十6 =8sin是十6<8sin若+6=10. 所以届时学校后勃应该开空调， 章末归纳提升归纳提升 [例1][解](1)由题意得，得r=√3十m, 所以sinB= √3十m 因为m≠0，所以m=士5，故角日是第二或第三象限角， 当m=√5时，r=2√2，点P的坐标为(-√5W5),角0是第二 象限角， 所以c0s0=马=二3-一6 r2√2 4” tang=义= 5 -√5 3 当m=-5时，r=2√2，点P的坐标为(-√3，-√5)，角0是 第三象限角，所以c0s0=之=一B一5】 r2√2 4 tan=义=5=5 x -N3 3 sinx≥0， (2)由题意知) p/sinx≥0. eos≥ 如图，结合单位圆知： (2kπ≤x≤2kπ十π(k∈Z), 2k元一3 解得2kx≤1≤2kx+号(k∈刀 函数的定义域为 {2kr≤≤2r+吾6∈z} 变式训练 1.解：(1)当a终边在第一象限时，取a终边上点P(1,3) 0p=√o,sina=3=3y西c /10 10 'cos a=110 10 tan a-3, 26 参考答案 当sina终边在第三象限时，取a终边上一点P(一l,一3) 0p=而，sina=-3,cosa=- 10 10,tan a =3. (2)①由1-2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域 为{+音≤a≤2+号，e7 ②”-1长m≤2， .0≤1-2sinx≤3， .f(x)的值域为[0W5], 当x=2km+3西，k∈乙时，f()取得最大值. [例2]C[由已知得{3sinB-2iana+5=0, tan a-6sin B-1=0. 消去sinB,得tana=3, ,.sina=3cosa,代入sina十cos2a=1, 化药释i。=品期8=1严a为能角).门 变式训练 2.解：方程5x2-7x-6=0的两根为x=- 52=2, 由e是第三象限角，得sina=一子，剩cosa=一号， sim(-xeos(- ·tan(π-a) cos(受-a)sin(受+a】 sin(受-a小eos(受+ad ·tan'ac sin acos a -cos a(sin a),tan'a=tan'a=sin'a sin acos a cos'a 9 161 [例3][解](fu)的最小正周期为x,令2红+晋=受 kxk∈Z,则x=吾+经k∈Z,当k=2时-号=3. (②◆号+26a<2x+吾<经-2kkez 解得晋十6≤写+红kE五。 “f)的单调通减区间为[晋+kx,ξ十小，∈乙 当2z+否=0，即x=一危时，f八)承得最大值0：当2+ 若=一受，即1=-号时，f)取得最小值-3。 变式训练 3解析：1)令-受+kx<2江一号<受+k,∈Z 解得一音+告<<号+管67 )的单调递增区间为（是经登凭）E么故 选B. (2)令2x-若=k,k∈Z, 对x=音十受kez 12 f)的对称中心为（侣+经0）小∈ 令2x-百=受+x,ke7x=晋+经k∈Z ·2 五维课堂型 f)的对称轴方程为x=号+誓，kE乙 答案：(1)B (2(臣+经，0）水∈z)x=吾+，kez 到0到电干烟我和4 =+() 1 2 =-1,T=2×(管-若)- ∴w==2, ∴y=sn(2xtp）-1 当x=否时，2sin(2×若十9）-1=-2， 即sin(管+e）=1, 号十9=2×石十9=乏+2mm,n∈Z, ∴9=否+2mn∈Z,又9<， 故所求画数的解桥式为y=合n(2x+看）1. (2)把y=sinx的图象向左平移晋个单位，得到y si血(z十石）的图象，然后将得到的图象上点的纵坐标保持 不变，横坐标缩短为原来的合，得到y=si加(2x十晋）的图 象；再将得到的图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原 未的宁，得到y=合如(2x+看）的图象，最后起函数y= 名m(x+吾)的因象向下平移1个单位，得到y 之sin(2z十晋）厂1的图象. 变式训练 4A[y=sin(ar十号x-晋)和画教y=cosa的图象重合， 可得号x-晋=号+2xk∈Z则w=6k+2.k∈72是。 的一个可能值.] 第二章平面向量及其应用 §1.从位移、速度、力到向量 课前预习学案情境引入 1.提示：能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的 速率。 2.提示：v1和U2为共线向量 知识梳理知识点一 2.AB3.AB(或a) [思考] 1.提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征，方向 是几何特征，看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大 小和方向两个要素，二者缺一不可. 2.提示：不能.向量是既有大小又有方向的量，所以只能比较它 们模的大小， 3.提示：不是，向量是既有大小又有方向的量，而有向线段除了 有大小、方向外还有起点，所以二者是不同的，但是可以用有 向线段表示向量， 4.提示：不一样.向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括 基线重合的情况，故也称向量共线。 5.提示：不一定，单位向量的长度都相等，但方向不一定相同， 故不一定相等