第一章 三角函数（复习课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学单元复习课件系统梳理了三角函数的概念、图像与性质、三角恒等变换及解三角形等核心内容，通过单元知识图谱将任意角、弧度制、三角函数定义等知识点按逻辑串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，如通过任意角概念的多选辨析题培养学生的数学思维，结合函数图像变换例题发展数学语言表达能力。分层设计的题型让不同水平学生巩固知识，助力教师高效备课。

单元复习课件 第一章 三角函数 北师大版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解任意角、弧度制的概念，利用单位圆和坐标定义正弦、余弦、正切等三角函数，掌握三角函数的定义及其基本性质. 3.能够利用三角函数图像和性质解决问题，并能初步理解三角函数模型的简单应用. 2. 能够熟练进行角度制与弧度制转化.掌握三角恒等变换的基本公式，并能灵活运用于化简、求值与证明.掌握三角函数的图象与性质，以及函数图象的平移、伸缩变换. 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 周期变化 1.周期函数 一般地，对于函数函数如果存在一个__________，使得对任意的，都有且满足_________________，那么函数称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 如果在周期函数的所有周期中存在一个__________，那么这个最小的正数就称为函数的最小正周期. 非零常数 2.最小正周期函数 最小的正数 考点串讲 考点二 任意角 如图，①始边：射线的_______位置OA； ②终边：射线的________位置OB； ③顶点：射线的端点O； 起始 终止 1.角的表示 按旋转方向不同分为　　、　　、　　. 按终边位置不同分为　　　和轴线角. 2.角的分类 正角 负角 零角 象限角 考点串讲 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_______________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与_____________的和． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 周角的整数倍 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合． 3.终边相同角 考点二 任意角 考点串讲 考点三 弧度制 ①定义：以______作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作________． ①定义：用______作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的______为1度的角，记作1°. 度 弧度 半径长 1.角度制 2.弧度制 考点串讲 2π 2π π π 考点三 弧度制 3.弧度与角度的换算 考点串讲 考点四 正弦余弦函数的概念 1.单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数 给定任意角α，作单位圆，角α与单位圆的交点为，在弧度制意义下,称__________为锐角α的正弦函数，__________为锐角α的余弦函数. 2.任意角的正弦函数、余弦函数 任意角α，设角α终边上除原点外一点. 则____________________ （其中） x y O P α . 考点串讲 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值． 3.三角函数的正负象限图 考点四 正弦余弦函数的概念 考点串讲 考点五 诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 ______ ______ _____ _____ _____ 余弦 ______ _____ ______ _____ ______ 正切 _____ ______     口诀 奇变偶不变，符号看象限 三角函数的诱导公式 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α －tan α －tan α 考点串讲 考点六 正弦函数、余弦函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，____________，(2π，0)． (2)余弦函数的图象中，五个关键点是：(0，1)，，____________，，(2π，1)． 考点串讲 考点六 正弦函数、余弦函数的图象与性质 2.正弦函数、余弦函数的图象与性质(下表中) 函数 图象     定义域 R R 值域 _________ _________ 周期 ______ ______ 奇偶性 _________ _________ 递增区间 [－1,1] [－1,1] 2π 2π 奇函数 偶函数 [2kπ－π，2kπ] 考点串讲 递减区间 _________________ ______________ 对称中心 ______________ 对称轴方程 ______________ _________ [] (π，0) 考点六 正弦函数、余弦函数的图象与性质 考点串讲 函数(其中)的周期T＝________，值域为__________，A的大小反映了的波动幅度的大小． 考点七 函数的图象与性质 1.函数 2.ω对函数图象的影响 缩短 伸长 考点串讲 3.φ对函数图象的影响 左 右 考点七 函数的图象与性质 4.A对函数图象的影响 伸长 缩短 考点串讲 考点七 函数的图象与性质 5由到的两种变换方法 |φ| A A 考点串讲 考点八 正切函数的图像和性质 1.正切函数的定义 根据函数的定义，比值 是的函数，称为的正切函数，记作. 其中定义域为，. 2.正切函数的诱导公式 考点串讲 (1)正切函数的图象称为________． (2)正切函数的图象特征： 正切曲线是由通过点_______________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 正切曲线 (＋kπ，0)(k∈Z) 轴 3.正切函数的图象 考点八 正切函数的图像和性质 考点串讲 考点八 正切函数的图像和性质 4.正切函数的性质 函数 定义域 值域 R 奇偶性 周期 对称性 关于原点对称，都是它的对称中心 单调性 奇函数 周期函数，周期是，最小正周期是 ，单调递增 函数的最小正周期是________． 考点串讲 题型一 任意角的概念 1（多选）.下列说法中，正确的是（    ） A．330°是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 AB 题型剖析 C 题型一 任意角的概念 题型剖析 3.下列关于角的叙述，正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钟表的时针旋转而成的角是负角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．大于90°的角都是钝角 B 解：终边相同的角不一定相等，可能相隔，A错； 钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对； 终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错； 200°>90°，但200°不是钝角，D错． 题型一 任意角的概念 针对训练 1.列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． B 解：与的终边相同的角为． 故选：B 题型二 终边相同的角 题型剖析 题型二 终边相同的角 2.若与的终边关于直线对称，且，则 ． 解：如下图所示：设与的终边上各有一点，直线第一象限内的部分上有一点， 因为，所以， 所以， 所以， 由终边相同的角的概念可知， 故答案为：． 题型剖析 题型二 终边相同的角 B 题型剖析 1.下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 D 解：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题， A、B、C三项均为真命题． 题型三 弧度制与角度制 题型剖析 题型三 弧度制与角度制 题型剖析 1.若角的终边经过点，则(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－ A 解：∵角α的终边经过点P(－1，－)， ∴cos α＝－＝－. 故选A. 题型四 任意角三角函数的定义 题型剖析 题型四 任意角三角函数的定义 题型剖析 3.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点，且，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值. 题型四 任意角三角函数的定义 针对训练 题型四 任意角三角函数的定义 ACD 题型剖析 题型五 三角函数的化简求值 1.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,4). 题型剖析 题型五 三角函数的化简求值 题型剖析 3.已知tan (π＋α)＝m，求值：. 解： 原式＝ ＝ ＝－ 题型五 三角函数的化简求值 题型剖析 题型五 三角函数的化简求值 C 题型剖析 题型五 三角函数的化简求值 A 题型剖析 　 1.如图所示的是函数y＝A sin (ωx＋φ)(|φ|<)的图象，确定其一个函数解析式． 解：由图象，知A＝3，T＝π， 又图象过点A(－，0)， ∴所求图象由的图象向左平移个单位得到， ∴，即． 题型六 函数 题型剖析 (1)求f(x)的解析式; (2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数? 题型六 函数 针对训练 (1)求f(x)的解析式; (2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数? 题型六 函数 针对训练 题型七 三角函数的图象和性质 C 题型剖析 题型七 三角函数的图象和性质 题型剖析 题型七 三角函数的图象和性质 题型剖析 ✅ 知识构建：三角函数 弧度制→三角函数→三角函数诱导公式→三角函数图像和性质 ✅ 思想方法： 数形结合与单位圆模型、化归与转化、建模和周期 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! x＝kπ＋ 3.已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 解：令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 2.把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4) (5) (6) 解：（1）. （2）. （3）. （4）. （5）.（6）. 2.已知角的终边落在射线上，求的值． 解：射线经过第二象限，在射线上的取点， 即角的终边经过点，则， 利用三角函数定义可得，，； 所以. 解：依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝eq \r(－\r(3)2＋y2)，∴sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(3＋y2))＝eq \f(\r(3),4)y． ∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝eq \f(7,3)， ∴y＝±eq \f(\r(21),3)．∴点P在第二或第三象限． 当点P在第二象限时，y＝eq \f(\r(21),3)，cos α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，tan α＝－eq \f(\r(7),3)． 当点P在第三象限时，y＝－eq \f(\r(21),3)，cos α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，tan α＝eq \f(\r(7),3)． 4（多选）.已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 解：∵∴ 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确.故选：ACD. (2)==tan3α=. (1)求cos(π-α)+cos+α的值; (2)求的值. 解：由题意得cos α=,sin α=,tan α=, (1)cos(πα)+cos+α=-cos αsin α==. 2.在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且. (1)求的值； (2)求的值. 解：（1）因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点， 所以，； 整理得，解得，故. （2）由诱导公式可得： 因为，所以. 解： (1)由图得A=3,=5π,故ω=. 由f(x)=3sin过点,得sin=0,又|φ|<,故φ=-, 故f(x)=3sin. 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象如图. 解：(2)由f(x+m)=3sin(x+m)-=3sinx+m-(m>0)为偶函数, 知=kπ+(k∈Z),即m=kπ+(k∈Z). ∵m>0,∴mmin=. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数. 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象如图. 1.函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 解：，令， 函数的单调递减区间为. 由， 得， 而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. 故选：C. (2)∵x∈,∴2x+∈, 当2x+,即x=时,f(x)max=3×11=2; 当2x+=,即x=时,f(x)min=3×1=-. 2.已知函数f(x)=3sin2x+1. (1)求f(x)的最小正周期和对称中心; (2)求f(x)在区间上的最值及对应的x值. 解 (1)由f(x)=3sin2x+1, 得f(x)的最小正周期为T==π. 当2x+=kπ,k∈Z时,x=,k∈Z,函数的对称中心为,1,k∈Z. 3.设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 解：（1）由题意知，函数的最小正周期，即． 因为，所以， 所以． 因为函数的图象关于点对称，所以， 即．又，所以，所以． （2）令，，得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． $