1.7.3 正切函数的图象与性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 解：(1)sin 25+tan 15π 4 所以2sin(a-π)+3tan(3r-a） 4cos(a-3π) =sim(8x+)十an(-4x+) -2sin a-3tan a 十4 5 7 +1=5+2 -4cos a 4X3 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125°=sin(2×360°+ 素养培优 SU YANG PEI YOU 90)+cos(0°+360)-tan(3×360°+45) =sin90°十cos0°-tan45 14.已知sina是方程5x2-7x-6=0的根，求 =1+1-1=1. sim(-a-2x）·sim(受x-a）·an2(2x-a)·an(r-e) 13.求下列各式的值： 尼知十y-且<受求m的直 co(径-a）·cos(受+a) 的值. (2已知sn(a+x)=告，且in acos a<0,求 解：由sina是方程5x2一7x-6=0的根， 可得sina= 2sin(a-元)十3tanm(3元-a的值. 号或sina-2(合 4c0s(a-3元) 原式= 解：1Dco(受+ 3 3元 =-sin9=、 sin 2 Xsin2-ax(-tan a)'x(-tan a) sin o 誓又同为g<受，所以eg-日故 sin ax(-sin a) 1 cos ax(-cos a)X tan'ax(-tan a) sin ax(-sin a) tanp=-√3. =-tan a. (2)因为sin(a十元)=-sina= 5 由sina= ,可知Q是第三象限或者第四象限 且sin acos a<0,所以sina= 5 角，所以tana= 或一 4 ，即所求式子的值为 4 cos a- 5,tan a=- 7.3正切函数的图象与性质 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 通过正切函数图象和性质的学习，培养学生数 并能利用其性质解决相关问题 学直观想象和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P45 [情境引入] [知识梳理] 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 知识点一] 正切曲线 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 正切函数的图象称作正切曲线。 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 2思考1.正切曲线有何特征？ 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 提示：正切曲线是由被相互平行的直线x=受十 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 π，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些直 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题， 线称作正切曲线各支的渐近线，正切曲线有无数 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 条渐近线。 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 2.用怎样的方法可以快速简洁地作出正切函数的 函数的图象吗？ 图象？ 提示：作正切函数的图象可以用“三点两线法”： 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数 y=tanx的图象. 所理三点”是指（至小00（ 2.你还有其它方法吗？ “两线”是指x=一 和=受在三点、两线确 提示：描点法作yamx在z[厂受，受]上的草图， 定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正 潜出三点（至-，00（至两线x=±受 切西数在〔登·)上的商因，然后向左、向右 22 扩展即得正切曲线。 ·75 数学s·必修第二册 [知识点二]正切函数的图象与性质 ?思考3.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称 解析式 y=tan a 中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示：y=tanx是中心对称图形，对称中心为 (凭，0小∈，不是轴对称因形。 4.正切函数在定义域上是单调函数吗？ 图象 提示：不是.正切函数在每一个单调区间 受+x,受+小Ck∈7)内都是增画致，但在 整个定义域内不是，比如180>30°，但tan180° 定义域 0<tan30°- 3 [预习自测] 值域 R 1.函数y=tan(x十π)是 A.奇函数 最小 B.偶函数 正周期 个 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 奇偶性 奇函数 答案：A 在开区间 2.函数)y=1am(+平)的定义域是 单调性 十x,受十kx)(∈Z) 2 上都是增函数 A{≠-} 对称中心侵0水∈ D.{x≠k+于，k∈Z 对称性 答案：D 零点 kπ，k∈Z 3.函数y=tam(2一晋)的单调递增区间是 课堂。互动学案 对应学生用书P46 ● 题型一与芷切函数有关的定艾域、值域问题] （2)令=2x+吾， [例1](1)求函数y=√anx+T+lg(1-tanx)的定 义域： (] (2)求函数y=tan 2x+)x(要]的 值域 汇思路点拨](1)先列不等式组，然后借助正切函 y=am之在（，]上是增画数， 数的图象与性质解不等式，(2)令2=2红十吾，转 化为求tan之的值域， tam(大≤am即-1 函数的值域为(-1W]. [解] (1)由题意得 tanx+1≥0 ,即-1≤tanx (1-tanx>0 规律方法 1 1.求正切函数定义域的方法 在〔受) 内，满足上述不等式的x的取值范围 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函 是[至) 数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y 又y=tanx的周期为元， anx有意义，即x≠受十x,∈乙，而对于构建 所以-平+r≤<平+kπ，k∈Z. 的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解 4 形如tanx>a的不等式的步骤： 所以函数的定义城为[一 ·76· 第一章三角函数 作图象 作在（受，受 上的正切函数图象 因为受<2<，所以一受<2-<0。 求界点 求在（受 使tanx=a成立的x值 因为受<3<元，所以一 <3-0 求范围一 求在一 上使tanx>a成立的x的范围 里然-受<2-<3-x<1<受， 定义域→据正切函数的周期性，写出定义域 又y=如x在（受）内是培高数， 2.求正切函数的值域的方法 ①结合图象. 所以tan(2-元)<tan(3-x)<tanl. ②利用单调性 即tan2<tan3<tanl. 规律方法 ③在复杂情况下，利用换元法，设t=a十9， 再求解. 1.求函数y=Atan(wa十p)(A,w,g都是常数)的 单调区间的方法 ◇[变式训练] (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调区间上 1.(1)函数y=ln(tanx)的定义域 都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令π (2)函数y=tan2x-2tanx十3的最小值 为 受<ar十g<红十号，∈，求得x的范国 解析：1)由题意得≠红十受(k∈Z), 即可 (2)若aω<0，可利用诱导公式先把y=Atan(w.x十 (tan 2>0, p)转化为y=Atan[-(-w-p)]= z≠x十受(k∈)， 一Atan(一wx一p),即把x的系数化为正值， 即 再利用“整体代换”的思想，求得x的范围 k元<x<k元十受(k∈Z), 即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 故定义城为〔十登引∈D. (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 (2)y=(tanx-1)2十2，由于tanx∈R,所以当 单调区间内. tanx=1时，函数取最小值2. (2)运用单调性比较大小关系. 答案：(1)kx,kπ十 (2)2 ◇[变式训练] 题型二与正切函数有关的函数单调性问题 2.求函数y一3an(否一置)的单调区间， [例2](1)求函数y=tan 号十)的单调区间： (2)比较tanl、tan2、tan3的大小 由k元一 24 6 [思路点拨了“解答(1)时先将函数化为y 得4kπ 牙整体代入 4红<x<4kπ 8π，k∈Z ..y=3ta x （一受+x,受十元k∈7这个区间内，解出x便 (6一4的单调递减区间为 8 可.解答(2)的关键是利用tan2=tan(2-π)，tan3 4k元 x 3 ,k∈Z. tan(3一π)，把角化归到同一单调区间内，再利用 题型与正切函数有关的周期性、奇偶性问题] y=tan在（会，）上的单调性判新共大小关 [例3)1)求)=ta(2x+)的周期： 系 (2)判断y=sinx十tanx的奇偶性， [解ay-an(+)an(2x) 汇思路点拨]()利用公式法或定义法求函数的 周期：(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶 元1 性 得2k元一 [解](1)法一： 2 所以数y=am(十)的单道减区间是 “tan(2z+等+=an(2+）月 3 2k元-受，2kx+受xk∈Z 即an[(e+〕+]Ftam(2x+) (2)tan2=tan(2-元)，tan3=tan(3-r). ∴f()=tan(2x+)的周期是受 ·77 数学s·必修第二册 法二：y=tanx的周期是元. ◇[变式训练] fx)=1an2z+)的月期是受 3.已知函数y=-tanox-十至)(w<0)的周期为5，求 4 (2)函数的定义城是{≠受+k,k∈Z}: 该函数的定义域、值域.并判断函数的奇偶性. 又，'sin(-x)+tan(-x)=-(sinx+tanx), 解：y=tam(ar十)o<0)的月期为高-受，解 .函数y=sinx十tanx是奇函数. 得w=2或w=-2.因为w<0,所以w=一2， 规律方法 故y=tan一 (1)一般地，函数y=Atan(wx十p)十b(A≠0，w> 由2x-≠kx+受(k∈, 0)的周期为T=元，常常使用此公式来求 周期. 解得≠经+管∈》， (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关 所以该函数的定义域 {受+要∈：位 于原点对称.若不对称，则函数无奇偶性，若对 域为R. 称，再判断f(-x)与f(x)间的关系. 由于该函数的定义域不关于原，点对称，所以该函数 既不是奇函数也不是偶函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P47 1.下列说法正确的是 A.y=tanx是增函数 {≠钙+登Z,由于该函数的定义城不关 B.y=tanx在第一象限是增函数 于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函 C.y=tanx在某一区间上是减函数 数，故A错误；由正切函数的图象知y D.ym在区间（红-受x+)∈上是 tan(2红-号)设有单调递减区间故B错误：C中， 增函数 :f()=an0=0,故（晋0为图象的一个对称 解析：D [y=tanx有无数个递增区间 (一受x+号)∈Z,无运减区同，且在定义 中心，C正确，D中，y=an2x-)的最小正周期 域上不是增函数.] T=受，D错误.] 2.函数y=1am(e+号)的定义坡是 4函数y=2am(3z+引 -5的单调递增区间是 A.(xz∈R且x≠r+吾，k∈Z 解析：-受十x<3x十子<受+x,∈7 B{xzER且z≠x-晋k∈Z C.{zzER且x≠2kx+否∈Z 答案(++ (k∈Z) D.xlx∈R且x≠2kr-否，k∈Z} 5.求函数y=ta(等x+)的定义域，周期，单调区 间和对称中心. 解析：A [+晋≠受+xk∈Z小≠晋+m, 6 k∈Z.] 解：由x+至≠m十受，∈,得x≠3+是， 3.关于函数y=tan2x- )下列说法正确的是 ∈7，故定义城为{口≠谈+子Z T=元==3. A.是奇函数 3 B在区间(O,号)上单调递减 2 C(0)为图象的一个对称中心 得一 D.最小正周期为元 解析：C[令fx)=am(2x一音)由21-苔≠x +受CD,解餐x≠经+登(C,即定义线为 4 所以对称中心为（受-0小 ·78· 第一章三角函数 课后。素养提升 对应学生课时P29 基础过关 B不正确；f(x)是非奇非偶函数，故C不正确： JI CHU GUO GUAN 1.函数y=tan(至-d的定义域是 ( fx)的单递增区间为（竖-否，经+）∈Z 故D不正确.] A.{x≠，x∈R} 5.(多选)下列关于函数y=tan +)的说法正确 B{≠-至R 的是 C{≠x+EZ∈R} A图象关于点（后0）成中心对称 D{≠+，eR} B.图象关于直线x= 否成轴对称 解桥：D[由y=an(--tam(-) C.在区间 元5π 66 上单调递增 D.在区间 5π元 ≠十受，7从而得x≠x+k∈么] 66 上单调递增 2函数：)一n(三一看)的单调递塔区间是 ( 解析：AD [由题意，对于A,当=若时，函数y A[2kx一2x+]∈ tm(晋+)=an受无意又，所以点（音0）是函 数的对称中心，所以A正确；对于B,根据正切函数 B(2kx于，2kx+5)b∈z C子4x+ 的性质可知，函数y=an(十)的图象设有对称 ]∈z 轴：所以B不正确：对于C,令-受十x<x十晋< D.（4x- 十k:∈五：解得-晋+<<晋十，A∈7。 6 解析：B[由题意，画数f)=tam(台-晋) 即画致的单调道增区间为（一+红，晋十k小 令-+<-<+，k, ∈乙，当=1时，函数的单调递增区间为（后，） 解得2π-2 <2x+智4∈z 3 所以C不正确；当=0时，函数的单调递增区间为 即函数f(x)的单调递增区间是 (号}所以D正确] (2x-行，2谈x+智）6CZ故选B.] 6.(多选)如图所示，函数f(x)=√3tan(2x十9) 3.在函数①y=cos2x|,②y=|cosx|,③y= (p<受)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E, cos(2x+ ,最小正周期为π的所有函数为 ( ) F,且△DEF的面积为至，以下结论正确的是() A.①② B.①③ C.①②③ D.②③ 0 解析：C[①y=cos2x=cos2z,T=元. ②由图象知，函数的周期T=π. ③T=元. 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.] 4.关于函数f(x)=tan 2x- )，有以下命题，正确 的是 ( ) A.点D的纵坐标为√3 A.函数代x)的周期是受 B(号，若)是f:)的一个单调递增区间 &函数f)的定义域是{红rER.且经+吾6C C.y=f(x)是奇函数 C对任意∈，点〔意+“0)都是f(x)图象 Dy=f:)的一个单调递增区间为（受，受） 的对称中心 D.f(x)的图象可由y=√3tanx图象上各点的横 解析Af)=m(2x一)的网期T-受，故A正 坐标缩短为原来的？，纵坐标不变，再把得到的 确f)的定义战为{∈R且经+∈，故 图象向左平移个单位长度得到 ·79· 数学s,·必修第二册 解析：BC[因为f(x)=√3tan(2x十g),所以其最 fx》=f()=an音-5。 小正周期T=受，则EF=受，又△DEF的面积为 子，所以Sam=是×EFX0D=号×号XOD f)m=f()-(-) 答案：√5一√ 罕，所以OD=1,即点D的纵坐标为1，故A错误： 10.求函数y-√5-tanx的定义域和值域. 因为OD=1,所以f(0)=√3tanp=1,所以tanp= 解：由√一tanx≥0，并结合 厚所以甲=吾十长Z义因为<受所以9 图象可求定义域，进而可求 3 值域. 作出函数y=tanx 0 一晋所以f)=tan〔2z+晋)令-受+x< (吾)上的国泉，物因 3 2红+晋<受十，kc乙.解得-号+<1<晋十 所示 经k∈乙，所以画数f(z)的单调道增区间为 因为√3-tanx≥0，所以tanx≤√3，结合图易得 (晋+经看+经）7故B正确：令2x十晋 kx-乏<r≤x十晋∈》，里然有y≥0， 2 经，k∈解得x=一是十经∈，所以函数 故所求函教的定义城为m一受，kx十号]k∈刀， 值域为[0，十∞) f)图象的对称中心为（是+经，0 ,k∈Z,故C 11.不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小. 正确；将y=√3tanx的图象上各，点的横坐标缩短 (1)tan167与tan173°； 为原来的2，纵坐标不变，得到y=tan2x的图 解：(1)，90°<167°<173°<180°， 象，再将得到的图象向左平移吾个单位长度，得到 又y=tanx在90°<2<270°范围内是增函数， y-5tan2(+晋)-tan(2z+)的图象， .tan167°<tan173°. 元 故D错误.故选BC.] 7.正切函数y=an（一受)的周期是 13x=tan 5' tan)--tan 2元 解析：由正切函数y=tan(wx十p)的周期公式T 又0<年<<受，函数y=an在 高可求得函效y=n(受)的月期T=高 =x （一受，受)上是增函数， 2 am<am中an(am(1经) 答案：2x 能力提升 NENG LI TI SHENG 8.函数y=tan3x-晋)的定义城为 12.求下列不等式的解集： 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3 (1)tanx≤-1； 晋≠x+晋（∈），得x≠经+D函 2tam(2x-吾）≥-1. 数的定义城为{管+管∈ 解：作出函数y=tanx,x∈ y 答案：{≠誓+爱cz （受受)的图象，如图所示 9.函数f)=am2x在[-看看]上的最大值为 1)在（受受）内，满足un≤ ,最小值为 一1的x的取值范国为一受<≤ 解析：”一 ，结合函数图象，可知tanx 4 f()=tan2x在[-后，看]上为增函数， 1的解集为{x一受<≤x一晋∈ ·80· 第一章三角函数 (2)由1an≥-1，得红-子<<受十，k∈7 所以函数的单调递增区间为 由km-晋<2-晋<x+受：k∈五∴经-≤ (管+受景+经)6，无举调递减区同 经+k∈ 3)由(1)，知f)=tan(2x+军 tan(2一吾)户-1的解集为 由-1tan2x+)<，得-+kx≤2x+ 2 3 k∈Z. 13.设函数fx)=tan(ar十g(o>0,0<g<)已 所以一1≤f(.x)≤√3的解集为 知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距 离为受，且图象关于点M(一吾，0对称。 (1)求f(x)的解析式： 素养培优 SU YANG PEI YOU (2)求f(x)的单调区间： 14.已知函数f(x)= sin (3)求-1≤f(x)≤√3的解集. cos T. (1)求函数f(x)的定义域； 解：(1)由题意知正切函数图象与x轴相邻两交点 的距离为一个周期，得函数f(x)的最小正周期T (2)用定义判断函数f(x)的奇偶性； (3)在[一元，π]上作出函数f(x)的图象 =受脚语受 因为w>0,所以w=2,所以f(x)=tan(2x十9). 解：(1)由0sx≠0，得x≠kx+受(k∈Z), 因为函数y一f)的图象关于点M晋0对称， 所以函数)的定义城是{≠x十受小 所以2×()十g=经1,即9=经+ (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(一x)= sin(-z) -sin x cos(-x)Π =-f(x), 至k∈Z. cos x 所以f(x)是奇函数， 因为0<9<受，所以9=军.故f(x) tan x,- a(2x+)】 (3)f(x) tanx,一π≤x<-于或行<≤元， 2 2 (2)由(1)知，f)=an(2+) 所以f(x)在[一π，π]上的图象如图所示， 将2x十于看成一个整体，代入正切函数的单调 区间. 0 令-受十x<2x十至<受+km,k∈Z,得- 42 8 §8.三角函数的简单应用 课程标准 素养解读 1.会用三角函数解决简单的实际问题 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 ·81·