1.7.1 正切函数的定义&1.7.2 正切函数的诱导公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 函数y=2sim(2x+管)在[一受，一]上单调递 当x= 晋时y=-2 减，在[一受0]上单拥递增。 当x=0时，y=√5 所以m的取值范围是（一2，一√5]. 当x=- 受时，y=一5； §7.正切函数 7.1正切画数的定义 7.2正切函数的话导公式 课程标准 素养解读 1.掌握正切函数的定义，并能利用定义进行化简求值 通过三角函数定义的应用，诱导公式的应用，培 2.掌握诱导公式以及诱导公式的应用 养学生数学抽象，数学运算，逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P42 ● [情境引入] tan(-x）=-tanz 三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我 tan(π十x)=tanx 们已经学过正弦函数、余弦函数的图象与性质，那么 tan(π-x)=-tanx 根据正弦函数，余弦函数的概念，能否得到正切函 1 数呢？ tan x [知识梳理] 1 知识点一] 正切函数的定义 tan z 比值n工是x的函数，称为x的正切函数，记作y 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数. cos [预习自测] =tanx,其中定义域为{∈R≠受+x,k∈Z}, 1.如果角θ的终边经过点 31 22 ,则tan0=( 正切函数是周期函数，π是它的最小正周期，正切 函数是奇函数. A B.③ C.5 D.3 3 ?思考 当a=平时，如何求tana的值呢？ 答案：D 2.若f(x)=tan,则f(570)的值为 ( 提示：因为a=9还，所以sin9F=sim(2x十买) 4 4 A.-3 B.5 C.3 3 =sin 答案：D ，所以由正切函数的定义，得an=1an _/2 3.an十an+an+an誓的值为 2元 9元 4 sin 9π sin 4 解析：原式=an+tam+ian(-)于 4 cos 9π 2r一tan 2x-tan 4 5 [知识点二] 正切函数的诱导公式 0. tan(kπ+x)=tanx(k∈Z) 答案：0 课堂。互动学案 对应学生用书P43 题型一 三角函数的定义及应用 -tan a- [例1]（1)若角a的终边经过点P(一5,12)，则sina [思路点拨] 利用sina=y cos a= cos a= tan a- 义(x≠0)求解. (2)已知角a的终边上的点(x,y)满足V3x十y=0, 求sina,cosa,tana的值. ·71· 数学s·必修第二册 [解析](1)因为x=-5,y=12,所以r= V-5)+12=13,则sina=义= 13:c0sa=2 ②若a是第三象限角，且sin(a一x)=号，求a)的值： ③若a=- 3tana=义=-12 ,求fe)的值 5 思路点拨]“(1)利用诱导公式化正角为负角，化 [答案号号 大角为小角，化小角为锐角，再求值 (2)解√3x十y=0,即y=一3x,终边经过第二、四 (2)注意观察不同角之间的联系： [解](1)①sin(-1140)=-sin1140 象限，在第二象限取直线上的点（一1，√3）， 则r=√(-1)2+(W3)=2, sin(3X360°+60)=-sin60°=- 2 所以sina= 2 ,cos a= 1 ,tana=-√3； ②csg=cas20+-as- 在第四象限取直线上的点(1，一√3)， ③tan960°=tan(3×360°-120°)=tan(-120°)= 则r=√12+(-3)2=2， -tan120°=-tan(180°-60°)=tan60°=√3. 所以sina= 2'cos a=2,tan a=-3. 1 (2)Df(a)=-sin acos a(-tan a) -cos a. (-tan a)sin a 规律方法 ②：sin(a一x)=-sina= 1 求任意角的三角函数值的两种方法 .'sin a=- 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交 ,又Q是第三象限角， 1 点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、 cos a=- 2√6 ∴f(a)= 2√6 余弦、正切值. 5 51 方法二：第一步，取点：在角a的终边上任取一 ③，a= 31π 5 点P(x,y),(P与原点不重合)； 3 6×2π+ 3, 第二步，计算r:r=OP|=√x十y; 31π 5元 3 cos -6X2x+ 3 第三事，求信，由sina=兰，asa=子，ana r π c053 3 2 兰u≠0)求值。 规律方法 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想 利用诱导公式化简应注意的问题 的运用. (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达 ◇[变式训练] 到统一角的目的； 1.已知角a的终边上一点坐标为（一1，a),且a为第 (2)化简时函数名可能没有改变，但一定要注意 则n。 函数的符号有没有改变； 二象限角，cosa=- tan a (3)同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化 简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 解析：因为（一1，a)为a终边上的一点，cosa 所以 ◇[变式训练] -1 (-1)2+a 一所以云=4又因 2.化简：sin(一a)cos(2r-a)tan(-a十元) -tan(-a-x)sin(-x-a) 为a为第二象限角，所以a>0即a=2.所以sina 解：sin(r-a)cos(2x-a)tan(-a十x) -26 tan(-a-π)sin(-π-a) 5 tan a=-2. =sina·cosa·(-tana） 答案， tan(a十x)[-sin(π十a)] -2 5 -sina·cosa·tana=-cosa. tana·sina 题型二 诱享公式的应用 [例2](1)求下列三角函数值 题型利用正切函数的定义进行化简求值] [例3]已知tana=-2,计算： ①sin(-1140°)；②co 61π，③tan960°. (1)3sin a+4cos a (2)已知f(a)=sin(r+a)cos(2r-a)tan(-a) 4cos a+sin a tan(-元-a)sin(-元-a) (2)2sin'a-3cos'a ①化简f(a): 3cos a+2sin'a ·72· 第一章三角函数 [思路点拨了“将分子、分母同时除以cosa ◇[变式训练] 3.已知tana=3,求下列各式的值. (cosa),转化为关于tana的代数式化简求值 (1)3sin acost1. (1cos a-sin a [解] √3cosa+sina 4cos a++sin a 4+tan a (2)(2sin'a-3sin acos a)-(sin2a+cos2a). (2)2sin'a-3cos'a_2tan'a-35 3cos a-sin a 3cos a+2sin'a 3+2tana 11' 解：(1)原式 cos a 3-tan a 规律方法 √3cosa+sina √5+tana cos a 己知角a的正切求关于sina,cosa的齐次式的方法 -3-3=5-2. 关于sina,cosa的齐次式就是式子中的每一项都 5+3 是关于sina,cosa的式子且它们的次数之和相 2sin'a-3sin acos a (2)原式-2sim'a-3 sin acos a cos a 同，设为n次，将分子、分母同除以cosa的n次 sin'a+cos a sin a+cos a 幂，其式子可化为关于tana的式子，再代入 cos a 求值 2tana-3tana_2×32-3×3_9 tan'a+1 32+1 10 随堂。步步夯实 对应学生用书P44 1.若390°角的终边上有一点P(a,3),则a的值是 解析：B [由ana-x)-辛，将1ama-是， ( A.√5 B.3√5 C.-5 D.-3√3 解析：B[由题意得tan390°=3，又tan390°= 4.已知角a的终边经过点P(x,一6)，且tana= m860+30)=am动925 号，则x的植为 解析：根据正切函数的定义知tana=二6=一 3 x 3√5.] 所以x=10. 2.sin2cos3tan4的值 答案：10 A.小于0 B.大于0 5.求sin585°cos1290°+c0s(-30°)sin210°+ C.等于0 D.不存在 tan135的值. 解析：A[,sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴.sin2 解：sin585cos1290°+cos(-30)sin210°+tan135 =sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+ Xcos3×tan4<0.] cos30°sin210°+tan(180°-45°) 3.已知am(a-x)=子，且a∈（受，），则 =sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45 =sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°sin(180° tana+受) +30°)-tan45° =sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45 A.号B.-C. D.- ×99×718 21 4 课后。素养提升 对应学生课时P27 基础过关 JI CHU GUO GUAN 2.sin 5元 6 ·tan 的值是 1.tan 1)的值是 A.- 33 B.35 4 C.-/3 A. 及9 C.-③ 2 D 2 解析：A [原式=m+)(): 6 m(x)(sm)〔-os若)(an音) =-tan 6 （)×()x= ·73· 数学s,·必修第二册 3已知iam(管-c小3则am(5+a) ( 8.已知角a的终边经过点P(3,4),则 (1)tan(-6π十a)= B-号 (2)sin(a-4r·sin(a-2r）·cos(2x十a) cos(6π+a) c D.-23 3 解析：(1)设x=3,y=4则r=√32十4=5， 析：B[an(g+o）--tanEx-(-j力 所以sina=义= 5,cosa=2=3 ,tan a== tam(管-号 4 4 ,所以tan(-6r+a)=tana=3 4.化简tan(27°-a)·tan(49°-3)·tan(63°+a)· tan(139°-)的结果为 ( ) (2)原式= sin a.sin a.cos a=sin'a- cos a 5 A.1 B.-1 C.2 D.-2 16 解析：B[原式=tan[90°-(63°+a)]·tan(49°一 2 3)·tan(63°+a)·tan(90°+49°-B) tan(63+a)tan(63°+a）·tan(49°-g)· 答案：1 (2)16 5 -3cos a ian(49-8]=-1.] 9.已知 sina-cos(x十a) =2,则tana= 5.(多选)已知cos(π十a)= ，则1ame的可能取值为 cos 2-a 3cos a 解析 sin a-3cos a (sin'a十cos2a=1) sin a-cos(xa) sin a+cos a 号 B2⑤ =tana-3=2.解得tana=-5. 5 tan a+1 答案：-5 C 2 D.-2⑤ 5 10.已知角a的终边经过点P 解析：AC[.cos(π十a)= 3 (1)求sina的值； 叉：sina十cosa=1,sina=±5， sin(2-a tan(a-x) (2)求 sin(a十x)cos(3r-a) 的值. ·.tana=mg=士2了 舒：国为P(号一)oP=1, 4 cos a 6.(多选)已知a为任意角，tan(元-a)十3=0，且sina cosa=1,则sina的值可以是 所以sina= A (2) (g-aana-x对 cos atan a C.3v0 D.-30 sin(a+r)cos(3π-a) -sina(一cosa) 10 10 。由三角函数定义知0sa=告故所求式子 解析：CD[,tan(r-a)=-3,.tana=3. cos a 则sing=3,又sin2a十cos2a=1,解得sina= 的位为是 cos a 11.求证，tan(2r-a)sin(-2x一a)cos(6r-a cos(a一元)s1n(5元一a) 2=-tan a. 7.sinx+e)=a∈(-受0则ana 解：左边=tan asin（-a)cos(一a) cos(元-a)sin(元-a) 解折：sin(x十a）=一sina∴sina=一 一tana(-sina)cos&=一tana=右边， -cos asin a 原式得证。 能力提升 NENG LI TI SHENG tan a=tam()=- 12.求下列各式的值： 答案：一 (1sin tan 15元) 4 (2)sin810°+cos360°-tan1125°. 第一章三角函数 解：(1)sin 25+tan 15π 4 所以2sin(a-π)+3tan(3r-a） 4cos(a-3π) =sim(8x+)十an(-4x+) -2sin a-3tan a 十4 5 7 +1=5+2 -4cos a 4X3 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125°=sin(2×360°+ 素养培优 SU YANG PEI YOU 90)+cos(0°+360)-tan(3×360°+45) =sin90°十cos0°-tan45 14.已知sina是方程5x2-7x-6=0的根，求 =1+1-1=1. sim(-a-2x）·sim(受x-a）·an2(2x-a)·an(r-e) 13.求下列各式的值： 尼知十y-且<受求m的直 co(径-a）·cos(受+a) 的值. (2已知sn(a+x)=告，且in acos a<0,求 解：由sina是方程5x2一7x-6=0的根， 可得sina= 2sin(a-元)十3tanm(3元-a的值. 号或sina-2(合 4c0s(a-3元) 原式= 解：1Dco(受+ 3 3元 =-sin9=、 sin 2 Xsin2-ax(-tan a)'x(-tan a) sin o 誓又同为g<受，所以eg-日故 sin ax(-sin a) 1 cos ax(-cos a)X tan'ax(-tan a) sin ax(-sin a) tanp=-√3. =-tan a. (2)因为sin(a十元)=-sina= 5 由sina= ,可知Q是第三象限或者第四象限 且sin acos a<0,所以sina= 5 角，所以tana= 或一 4 ，即所求式子的值为 4 cos a- 5,tan a=- 7.3正切函数的图象与性质 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 通过正切函数图象和性质的学习，培养学生数 并能利用其性质解决相关问题 学直观想象和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P45 [情境引入] [知识梳理] 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 知识点一] 正切曲线 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 正切函数的图象称作正切曲线。 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 2思考1.正切曲线有何特征？ 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、 提示：正切曲线是由被相互平行的直线x=受十 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 π，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些直 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题， 线称作正切曲线各支的渐近线，正切曲线有无数 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 条渐近线。 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 2.用怎样的方法可以快速简洁地作出正切函数的 函数的图象吗？ 图象？ 提示：作正切函数的图象可以用“三点两线法”： 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数 y=tanx的图象. 所理三点”是指（至小00（ 2.你还有其它方法吗？ “两线”是指x=一 和=受在三点、两线确 提示：描点法作yamx在z[厂受，受]上的草图， 定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正 潜出三点（至-，00（至两线x=±受 切西数在〔登·)上的商因，然后向左、向右 22 扩展即得正切曲线。 ·75