1.7.1-1.7.2 正切函数的定义 正切函数的诱导公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正切函数的定义与诱导公式，通过问题链导入，从单位圆中正弦、余弦的定义出发，引导学生自主推导正切函数概念及定义域，搭建“定义—公式—应用”的学习支架，衔接三角函数知识体系。 其亮点在于以任务驱动学习，通过典例解析与分层练习，强化数学抽象与逻辑推理核心素养，如利用终边上点的坐标求正切值、诱导公式化简求值等实例，帮助学生深化理解，教师可借助随堂评价与分层作业精准把握教学效果。

7.1　正切函数的定义　 7.2　正切函数的诱导公式 　 第一章　§7　正切函数 学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义，培养数学抽象的核心素养.　 2.掌握正切函数诱导公式的推导及应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　正切函数的定义 1 任务二　正切函数的诱导公式 2 任务三　正切函数定义与诱导公式的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　正切函数的定义 返回 问题1.设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，写出sin α，cos α的值，那么何时有意义？tan α与sin α，cos α有怎样的关系？ 提示：sin α＝b，cos α＝a；当a≠0时，有意义.tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z). 问题导思 正切函数的定义 　　根据函数的定义，比值_是x的函数，称为x的正切函数，记作y ＝_______，其中定义域为. 新知构建 tan x 由定义易知：当x＝kπ，k∈Z时，tan x＝0；当x在第一、三象限时，tan x＞0；当x在第二、四象限时，tan x＜0. 微提醒 (链教材P58例2)(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点(3，4)，则角α的正切值为 A. B. C. D. √ 典例 1 根据公式tan α ＝ ＝ .故选B. (2)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝_________. － 由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 求正切函数值的两种方法 1.先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义 求解. 2.已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. 规律方法 对点练1.(1)已知角θ的终边经过点M，且tan θ＝，则m＝ A. B.1 C.2 D. √ 根据题意，角θ的终边经过点M，且tan θ＝，所以m≠0，又tan θ＝＝，解得m＝.故选D. (2)已知点P(y0＜0)是角α终边上一点，若cos α＝，则tan α＝_______. － cos α＝＝，又y0＜0，解得y0＝－4，所以tan α＝－. 返回 任务二　正切函数的诱导公式 返回 问题2.根据正切函数定义，由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有tan(x＋kπ)＝＝ 即tan(x＋kπ)＝tan x，其中x∈R，x≠kπ＋，k∈Z，你能得到什么结论呢？类比上述方法你能得到正切函数的奇偶性吗？ 提示：正切函数是周期函数，且最小正周期为π；由tan(－x)＝＝－tan x可以得到正切函数为奇函数. 问题导思 问题3.根据正切函数定义以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－＜α＜，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系？ 提示：tan(π＋α)＝＝＝tan α，tan＝＝＝－. 正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝_______(k∈Z)；tan(－x)＝_________； tan(π－x)＝_________；tan＝______； tan＝______. 新知构建 tan x －tan x －tan x － (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号). (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan＝－与tan＝中x≠kπ(k∈Z). 微提醒 (链教材P60例3)(1)(多选题)下列式子中，结果为－的是 A.tan B.tan(－420°) C.tan D.tan 1 110° √ 典例 2 √ √ tan ＝tan＝tan＝－tan ＝－，故A正确；tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－，故B正确；tan ＝tan ＝tan ＝tan＝－tan ＝－，故C正确；tan 1 110°＝tan(6×180°＋30°)＝tan 30°＝，故D错误.故选ABC. (2)cos ＋tan ＋sin ＝_______. －1 原式＝cos＋tan＋sin＝cos －tan －sin ＝－1－＝－1. 1.熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和 关键. 2.给角求值的关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 规律方法 对点练2.(1)若tan＝－，则tan的值为 A. B.2 C.－ D.－2 √ 由已知得tan＝－＝－，所以tan α＝2，所以tan＝－tan α＝－2.故选D. (2)若a＝tan，b＝tan ，则a，b的大小关系是__________(用“＞”连接). a＞b a＝tan＝tan＝tan ＝－tan ＝－1，b＝tan ＝tan＝tan ＝tan＝－tan ＝－，所以a＞b. 返回 任务三　正切函数定义与诱导公式的综合应用 返回 如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边 与x轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为3 的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB ＝2. (1)求tan α的值； 解：由题意知，Rt△AOB中，｜OA｜＝3，｜OB｜＝2，则｜AB｜＝＝， 则点A(－2，)， 所以tan α＝－. 典例 3 (2)求的值. 解：由(1)知tan α＝－，sin α＝， 故＝＝＝－. 　　若已知角α的终边过定点时，则首先利用任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α，然后再利用诱导公式化成最简形式，最后代入求值. 规律方法 对点练3.(1)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点(m，6)，且tan(－π＋α)＝－3，则cos α＝ A.－ B.－ C. D. √ 因为角α的终边经过点(m，6)，且tan(－π＋α)＝tan α＝－3，所以＝ －3，解得m＝－2，所以cos α＝＝－.故选B. (2)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，其终边过点，角β的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则tan β＝________. － 依题意，知sin α＝，cos α＝－，因为角β的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则β＝－α＋2kπ，所以tan β＝tan＝＝＝－. 返回 课堂小结 任务再现 1.正切函数的定义.2.正切函数的诱导公式.3.正切函数的定义与诱导公式的综合应用 方法提炼 公式法、转化法 易错警示 在正切函数的诱导公式中，角α可以为使等式两边都有意义的任意角 随堂评价 返回 1.已知角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，)，则tan θ的值为 A. B.1 C. D. √ 因为角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，)，所以tan θ＝＝.故选C. 2.tan 300°＝ A.－ B.－ C. D. √ tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.故选B. 3.(多选题)设α∈R，则下列结论中正确的是 A.tan＝－ B.tan＝－tan α C.tan＝tan α D.tan＝tan α √ √ 对于A，tan＝－tan＝－，故A正确；对于B，tan＝tan＝，故B错误；对于C，tan＝－tan＝tan α，故C正确；对于D，tan＝tan＝－tan α，故D错误.故选AC. 4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则tan(π－α)＝_______. 根据题意设P(x＜0)，则有x2＋＝1⇒x＝±，因为x＜0，所以x＝－，即P，所以tan(π－α)＝－tan α＝＝. 返回 课时分层评价 返回 1.已知角α终边经过点P(－3，y)，且tan α＝，则cos α＝ A.－ B.± C.－ D.± √ 根据三角函数定义，得tan α＝＝，解得y＝－4，则cos α＝＝－＝－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.sin 780°＋tan 240°的值是 A. B. C.＋ D.－＋ √ sin 780°＋tan 240°＝sin＋tan＝sin 60°＋tan 60°＝＋＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知角α终边上有一点P(5n，4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是 A.－ B.± C.－ C.± √ 因为角α终边上有一点P(5n，4n)(n≠0)，所以tan α＝＝，所以tan(180°－α)＝－tan α＝－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)下列各三角函数值的符号为负的是 A.sin 186° B.tan 505° C.tan D.cos √ √ √ 由诱导公式得：sin 186°＝sin(180°＋6°)＝－sin 6°＜0，故A正确；tan 505°＝tan(360°＋145°)＝tan 145°＝tan(180°－35°)＝－tan 35°＜0，故B正确；tan＝tan＝tan ＞0，故C错误；cos＝cos＝cos ＝cos＝－sin ＜0，故D正确.故选ABD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P，则角α的一个可能值为 A.－ B. C.－ D. √ 因为角α的终边经过点P，所以tan α＝＝，所以角α的一个可能值为.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，现将角α的终边按逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则下列结论正确的是 A.sin α＝ B.tan α＝－ C.tan β＝ D.sin β＝－ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 依题意，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，故A错误，B正确；又β＝＋α＋2kπ，k∈Z，因此tan β＝tan＝－＝，故C正确；sin β＝sin＝cos α＝，故D错误.故选BC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知点P是角α终边上的一点，则tan(π＋α)＝______. 由题可知tan α＝＝，所以tan＝tan α＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.tan 420°＋tan 510°＋tan 2 025°＝__________. ＋1 由三角函数的诱导公式，得原式＝tan＋tan＋tan＝tan 60°＋tan＋tan 45°＝＋1. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，∠AOB＝90°，则tan ∠COB＝______. － 因为A点的坐标为，所以tan ∠AOC＝，又因为∠AOB＝90°，所以tan ∠COB＝tan(90°＋∠AOC)＝－＝－＝－. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α－的终边上. (1)求tan α的值； 解：点P在角α－的终边上， 所以tan＝－，所以－tan＝－＝－，所以tan α＝. (2)求的值. 解：由(1)tan α＝，所以＝＝＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)若角α的终边上有一点P(5，m)，且sin α＝，则tan α的值可能为 A. B.－ C. D.0 √ √ √ 若m＝0，则tan α＝0；若m≠0，则sin α＝＝，＝13，解得m＝±12.当m＝12时，tan α＝，当m＝－12时，tan α＝－.故选ABD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则tan－tan＋tan＝ A.－1 B.1 C.－3 D.3 √ 依题意，知tan α＝－2，所以tan－tan＋tan＝－－－tan α＝－－tan α＝1＋2＝3.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧(不含与坐标轴的交点)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α＜sin α＜cos α，则P所在的圆弧是 A. B. C. D. √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 依题意，设点P的坐标为(x，y)，所以由三角函数的定义可得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，因为tan α＜sin α＜cos α，即＜y＜x，对于A，在第一象限，且0＜x＜y，不满足题意，故A错误；对于B、C，，在第三象限，且y＜0，x＜0，则＞0，不满足题意，故B、C错误；对于D，在第四象限，且y＜0＜x＜1，则y－＝＞0，所以＜y＜0＜x，满足题意，故D正确.故选D. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点A，角β的终边落在射线y＝x(x＞0)上. (1)求sin αtan β的值； 解：由三角函数的定义知sin α＝， 角β的终边落在射线y＝x(x＞0)上，设射线上任意一点B(m，m)，m＞0，则tan β＝＝1， 所以sin αtan β＝×1＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求＋的值. 解：由三角函数的定义知tan α＝－，tan β＝1，sin β＝，cos β＝， 所以＋＝＋ ＝＋＝＋＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)(多选题)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫作α的余割，记作csc α，即＝csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫作α的正割，记作sec α，即＝sec α. 下列结论正确的有 A.sec ＝－ B.cos α·sec α＝1 C.函数f(x)＝sec x的定义域为 D.tan(π－α)·tan＝－1 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，sec＝＝－，故A正确；对于B，cos α ·sec α＝cos α·＝1，故B正确；对于C，函数f(x)＝ sec x的定义域为，故C错误；对 于D，tan(π－α)·tan＝－tan α·＝－1，故D正确.故选ABD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4). (1)求cos(π－α)＋tan的值； 解： 因为角α的终边经过点P(－3，4)， 所以cos α＝＝－，sin α＝＝，tan α＝－. 所以cos(π－α)＋tan＝－cos α－＝－＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求的值. 解：由(1)知cos α＝－，sin α＝，tan α＝－， 所以＝ ＝＝＝＝－. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 7.1　正切函数的定义　 7.2　正切函数的诱导公式 返回 $