1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 ● 1.函数y=sin 3 4.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩 6 的最小正周期为( A受 n 短到原来的合（纵坐标不变）得 的 B.2x 4元 C. 图象， 2.将函数y=sin+否(x∈R)的图象上所有 5.将函数y=simx的图象上所有点向左平移罗 的点向左平移于个单位长度，再把图象上各点 个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原 来的2倍，求所得图象的函数解析式. 的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的 解析式为 A.y=sin 〔2x+ (x∈R) B.y=sin + 12 (x∈R) C.y=sin 12 (x∈R) D.y=sin xL5π 2T24 (x∈R) 3.设g(x)的图象是由函数f(x)=sin +2 的图象向左平移苓个单位得到的，则g 等于 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 A.1 B.- C.0 D.-1 6.3 探究A对y=Asin(wx十p)的图象的影响 课前。预习学案 [情境引入] (1)定义域：R 1.若函数y=Asin(wx十p)是奇函数，则9应满 (2)值域：[一AA].当x=亚-2+2(k∈ZD时，y 足什么条件？ 2.若函数y=Asin(w.x十o)(A>0,w>0)为偶函 数，则9应满足什么条件？ 取得最大值A:当一-名十德(e) 时，y取得最小值一A. (8)单调性：由2kx-<ax十p≤2kx+受， k∈Z,解得单调递增区间； [知识梳理] [知识点一] 正弦型函数y=Asin(w.x十g)中， 由2x+≤ux十p≤2x+经A∈Z,解得单 A,w,p的物理意义 调递减区间 1.振幅： (4)奇偶性：当9=kπ(k∈Z)时，函数为奇函数； 2.初相： 当9=x十登(k∈2)时，函数为偶函数。 3.周期： 4.频率：f= (5)周期性：T=2r [知识点二函数y=Asin(wx十g)(A之0： w>0)的性质 (6)对称性：直线x=无一卫+π(k∈Z)都是其 2w ww 根据函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0)的图 象，我们可以得到函数y=Asin(wx十p)(A≥ 对称轴；点 号+仁0小水∈》都是其对称 0,w>0)的性质. 中心 ·38· 第一章三角函数 五维课堂兰 [知识点三]由y=Asin(wx十p)的图象性质或 2思考求函数y=Asin(wx十p)(A≠0)的单 部分图象确定解析式 调区间应注意什么？ 解决此类问题的关键在于确定参数A,ω，9，其 基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系 数法求解.若设所求解析式为y= Asin(wx十9)，则在观察图象的基础上，可按以 下规律来确定A,w,0. [预习自测门 (1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来 1函数y=n2x一)在区间[受]小上的简 确定A. 图是 (2如：因为T=,所以往往通过求周期T来 确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而 确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距 离为：相邻的两个最高点（或最低点）之间 的距离为T. (3):从寻找“五点法”中的第一零点 01 〔一品0（也叫初始点）作为突破口，要从图 2.已知函数f(x)=-sin+君(w>0)的最小 象的升降情况找准第一零点的位置，从而确 正周期为π，则该函数图象 定p (4)A,w,9三个量中，初相p的确定是一个难点， A.关于点（行0对称 除使用初始点（号0外，还可利用五点法 B关于直线x=平对称 中其他点确定初相P,即在五点中找两个特 c关于点（年0对称 ox1十g=2,解出 元 殊点列方程组解出0，如： D.关于直线x=号对称 wx2十9=元 3.函数y=2sin 2x一 的对称轴方程 w9等. 是 课堂。互动学案 题型一“五点法”作函数y=Asin(am十p)的图象 规律方法 用“五点法”作函数f(x)=Asin(x十p)(A>0, [例)用五点法”画出函数y=2m（受十否)的图 w>0)图象的步骤 象.并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初 第一步：列表 相、最值、单调区间、对称轴方程 wx十9 0 π2 元 3π 2元 ,3,2元.求 [思路点拔]令营十若-0，受x, 出五点，描点，连线 型 元 e 3元 2π 20 w 2w w y 0 A 0 A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象。 ◇[变式训练] 1.已知函数y=3sin(2一)： (1)用“五点法”画函数的图象； ·39· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 (2)说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样 规律方法 的变换得到的. 由函数y=Asin(wx十9)+b的部分图象 确定解析式关键在于确定参数A,w, 的值 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小 值m,则A=Mm,b=M十m 2 2 (2)求ω：确定函数的周期T,则可得w = T (3)求9，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入 转化求解 题型三由y三Asin(ar千p)的图象确定其解析式 ②五点法：要确定9值时，往往以寻找 [例2]函数f(x)=Asin(r+p) 〔A0。>0,g<)的一段图象如图所示，求 “五点法”中的第一个点（品0作为 突破口，具体如下： f(x)的解析式. “第一点”（即图象上升时与x轴的交 y 点)为wx十9=0； “第二点”（即图象的“峰点”）为wx十9 = 汇思路点拨]此类问题可由最值确定A,由 “第三点”（即图象下降时与x轴的交 周期确定ω，由图象上的点确定 点)为ax十p=元； “第四点”（即图象的“谷点”）为ωx十9 3 “第五点”为wx十9二2元 ⊙[变式训练] 2.函数y=Asin(wx十p) A>0,w>0.lg<号) -2 的部分图象如图，求其函 数解析式 ·40· 第一章三角函数 五维课堂兰 题型三】 三角函数囟象的对称性 值时，此时x的取值集合为 且f(.x)的 [例3](1)函数y=sin(2x+p)(0≤p≤π)是R 单调增区间为 ,在区间[0，π]上的单 上的偶函数，则9的值是 ( ) 调减区间是 A.0 B开 C.2 [思路点拨]把r十9看作一个整体，代入y= D.元 sinx的性质求解. (2)函数y=sim(2z+)的图象的对称轴是 [尝试解答] ,对称中心是 2.2。。-。。2。-2-。。。22 规律方法 思路点拔了把“x十”看作 一个整体代 1.确定函数y=Asin(wx十o)(A>0)的 入基本函数性质， 最值的方法 尝试解答](1) (2) (1)求y=Asin(wx十p)的最大值，当 规律方法 三角函数对称轴、对称中心的求法 ar十g=2x十受（∈Z)时，此时面数 对称轴 对称中心 y=Asin(wx十p)的最大值等于A. 令wx+9 (2)当十9=2kr一罗(k∈Z)时，此时函 令awx十9=k元 =kπ(k∈ 数y=Asin(wx十p)的最小值等于 y=Asin(wx+) +受(k∈z刀 Z)求对称 中心横 -A. 坐标 2.求函数y=Asin(wx十p)的单调区间的 步骤 令ωx十9 (1)利用诱导公式将x的系数变正； y=Ac0s(wz十9) 令w.x十p=k元 二k标十2 (2)将ωx十9看作整体，代入正弦函数相 (k∈Z) (k∈Z)求 应的单调区间中，解出x的范围，并写 对称中心 成区间的形式； 横坐标 (3)写单调区间时不要漏掉∈Z, ◇[变式训练 ◇[变式训练] 3.已知函数f(x)=Asin(wx十9)(A>0,w>0, π<<0)，其图象最低点的纵坐标是一√3， 4(22·新高考I卷)记函数f)=smau十) 相邻的两个对称中心是（行0）和(0小则 6(w>0)的最小正周期为T,若≤T<,且 f(x)图象的对称轴方程为 y=f(x)的图像关于点 2中心对称则 题型四函数y=Asin(ax千p)的性质的应用 [例4]已知函数f(x)= 2in(2x+)+则 f(x)的最小值等于 当函数取得最小 A.1 R C. 5 D.3 随堂。步步夯实 1.函数f(x)=sin(w.x十p)(x∈R,w>0,0≤p< 2π)的部分图象如图所示，则 2.已知函数fx)=sim(-x∈R),下面结 论错误的是 y A.函数f(x)的最小正周期为2元 -10 B函数f(x)在区间[0，]上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 A.w=9=开 4 B.= 39交 D.函数f(x)是奇函数 6 3.函数f(x)=sin(2x十p)(-元<p<0)图象的 =5x Dw=， 4 一条对称轴是直线x=否，则9的值 为 ·41… 世五维课堂 数学s)·必修第二册 4.若函数f(x)= (1)f(x)的最小正周期： Asin(w.x+p)(其中 (2)f(.x)的对称轴和对称中心： A>0,w>0,-元<0 (3)f(x)的单调区间. <π)的部分图象如图 所示，则函数f(x)的解析式为 5.函数f(x)=Asin(wx十p)的图象如图所示，根 据图象求： 4T 11T @温馨提污 6 学习至此，请完成配套训练 §7.正切函数 7.1正切函数的定义 7.2正切函数的诱导公式 课程标准 素养解读 通过三角函数定义的应用，诱导公式 1.掌握正切函数的定义，并能利用定义进行化简求值 的应用，培养学生数学抽象，数学运 2.掌握诱导公式以及诱导公式的应用 算，逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 知识点二]正切函数的诱导公式 三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函 tan(kπ+x)=tanx(k∈Z) 数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图象与 tan(-x)=-tan x 性质，那么根据正弦函数，余弦函数的概念，能否 tan(xx)=tan x tan(x-x)=-tan x 得到正切函数呢？ 1 [知识梳理] tan 2 tan x 知识点一] 正切函数的定义 1 比值sin工是x的函数，称为x的正切函数，记 tan 2x tan x cos x 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数 作y=tanx,其中定义域 预习自测] 为{红∈Rx≠5+kπ，k∈Z, 1.如果角0的终边经过点 51,则tan0= -2’2 正切函数是周期函数，π是它的最小正周期， 正切函数是奇函数 A B.- 2 C.5 D.一 3 2思考 当a=9时，如何求tana的值呢？ 4 2.若f(x)=tanx,则f(570)的值为( A.-√5 B.√5 C.3 3 D③ 3 3.ian吾十tanξ十tanξ十an誓的值 为 ·42·参考答案 变式训练 2.解：第一步：列表 3x r 8 晋 2x- 0 3元 2n 如(2a-) 0 -1 0 第二步描，点 第三步：连线画出图象如图所示： 7π 9 -1-- [例3][解]第一步：把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短 到原来的号倍，得y=si2z的因象； 第二步：将所得圈象沿x轴向左平移个单位， 得y-sm2(+否）即y=血(2z+平)的图象 变式训练 3.C[因为y一血(2a+号）-n2(+晋）所以将画数 )一sim2的图象向左平移否个单位长度，就可得到画数 ysim2(+石）)-sin(2a+号)的图象.] [例4幻[解](1)由题意得2T=5x,所以T-10x, 因为点（π，1）在此函数图象上， 则sn(5+9)=1, 又因为0<受，有g受一晋-语： ππ3π 所以y=in(5x+10} 13π\ (2)当- 1 2 即-4π十10k≤x≤π十10k元，k∈Z时， 函数y一n(行一)单润递增，所以北高：的单调递增区间 为[-4r+10kr,x+10k元](k∈Z). 变式训练 4解，1)最小正周期T-受=元 由2受<2-<2+受D,得晋<x<m+ ED.所以高载)的单羽蓬蜡区间是[k红吾k红] ∈Z). 所以当1要脚学时=号所以当受即一晋 时，ys=1 随堂步步夯实 1.C 2.B[原画数图象向左年移子个单位后得y=sm(十否+晋） s如(+登)a∈R)的图象，再起图象上各点的横坐标扩大到原 未的2倍得y=n(合)∈R)的图象.] ·2 五维课堂兰 3D[由f)=sm(受十2z）的图象向左平移号个单位得到的 是g)=[受+2(+吾)门-n(+吾)的国象。 4.解析：依题意知将y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 行后可得y=血6c的因泉. 答案：y=sin6x 5解析：将函数y一s血x的圈象上所有点向左平移号个单位可得画 数y=s如（十号），再起所得图象上各点横坐标扩大到原未的2 倍，即可变为y如（侵十晋） 1 6.3探究A对y=Asin(an十p)的图象的影响 课前预习学案情境引入 L.提示：因为y=Asin(ax十gp)是奇函数，所以f(0)=0,因此sinp= 0,所以0=k元，k∈Z 2.提示：因为y=Asin(a十p)为偶函数，所以f(0)=A或f(0)= 一A,即Asin=A或Asin9=-A,所以有9=kx计受，k∈乙 知识梳理知识点一 A2年&T=倍片会 知识点二 [思考] 提示：对于y=Asin(awz十gp)的单调性而言，A与w的正负影响单 调性，如果w<0,可以利用诱导公式sin(一a)=一sina将负号转 化到函数符号外，再求相应单调区间. 预习自测 1.A2.A 3-经+号em 课堂互动学案 [例1门[解]列表如下所示： 受+晋 0 2 2 2π 5π 8π 11π 3 3 y 0 2 0 2 0 描点作图如图所示： 41 /0T2π5m 11m [一誓号]小上的因泉向左，向右扩展，即可得它的简西 由函数的图象可知函数的定义域为R,值域为[一2,2]，周期为T 子-初相=晋，最大值为2，最小值为-2 _2=4π，f=个=4元 令2km-受≤号+天≤2x十牙(kE7),得原画数的增区间为 22T6 令2x十受≤受十晋<m+受k∈Z,得原画数的减区间为 [x+，h+等]ue 得原西数的对称轴x=2a+受（∈》 世五维课堂 变式训练 1.解：(1)列表： 22 0 4 暨 吹 3x 7π 3 y 0 3 0 0 描点：在直角坐标系中描出下列各点（受0），（受3） (受)（受-）（空 连线：将所得五，点用光滑的曲线连接起来得到的所求函数的图象 如图所示 Y 2 -4 这样就得到了画数)一3如（合。一晋）在一个网期内的国象，再 将这部分向左或向右平移4r(k∈Z),得到函数y= 3如（宁一平）的因象 (2)(相位变换在周期变换的前面) ①地y=snx的图象上所有的点向右平移平个单位，得到 y=sim(-干)的图象： ②起)一（一）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到y一血（受一）的图象： ③将y一n(合1一平）的图象上所有点的纵坐标伸长到原泰的 3倍（横坐标不变）.成得到y=3m(宁一子)的圈象 [例习[解]由阔象可知A=3,T-青(x-子)-5，a=号 经号此时x)=3如（号十）由于图象过点（气0） 得sm(箭十9）=0…器十9=mk∈Z9=m一无k∈Z “fx)=3sin(号x）)月 变式训练 2解：由图泉知A=2,T-径-（晋）=元 w-票=2.又进点(-晋，0）◆晋×2+9=0， 得g=牙y=2sin(2红+） [例3][解析](1)因为y=sin(2x十p)(0≤p≤π)是R上的 锅函数，所以f(-)=fx),所以f(于)-f(-平)代入 整理得c0s9=0,所以9=受 ·29 数学s·必修第二册 (2)要使sm(2x+号）=1， 必有2x+苔=+受（∈D, 故画教y=sn(2十子）的图象的对称轴为x=受十竞( ∈Z). :函数y=sin(2z十号）的圈象与x轴的交点即为对称中 心，◆y-0即sin(2x+)=0， 故函数y=sn(2x+号)的图象的对称中心为 (竖-吾0）水kez. [答案](c2z经+是∈D(停-吾0)小ez刀 变式训练 3解析：由题意，得A=,1-2(图-晋)= “2红=元，w=2,fax)=5sin(2x+p). 又：点（肾0）在f)的图象上f(肾）=0， 5sim(管+)=0sin(5+y）0.又：-<g<0, (k∈Z),解得x=侣+经∈.)国象的对称轴方程 答案t-登号en [例4幻[解析]当sin(2:+晋）-1，即2红+吾=一受 2kπ，(k∈Z),x=- 晋十，（∈Z)时，）的最小准为是 光时x的取雀条合是{=一音十红， 由2km-受≤2x十若≤2km+受，k∈刀得 ()的单调增区间为[kx一子，k+若]水∈. 由2kx十受<2x十吾≤2x十受(k∈Z,解得kx十<x≤ kx+经k∈D, 因为zE[0,,所以通数的单调减区间为[后，子] [答案] 3 4 [k-+晋]水∈【晋] 变式训练 4.A[@=2∈(2,3)y=f(x)的函教图像关于点（经，2）中 心对称则有6=2，且f(受)=2，所以 si加（受。叶晋）十2=2，则受知+子=2k,k∈z, 4 解得a8。,由oE(2,3),得k=2w=号 6 故f(）=m(受·受+晋)+2=-1+2=1.] 参考答案 随堂步步夯实 1.C[因为T=2×[3-(-1)]=8, 所以=-=子 又因为f1)=1,所以平十9=受十2kx(k∈ZD. 所以9=平+2kx(k∈Z), 又因为0<<2x,所以9=平.] 2.D[因为f(x)=一cosx,故根据余弦函数的图象可知D 错误的.故选D.] 8.解析：由题意知2X否十9=受十，∈乙， 所以g=晋+，k∈乙 又-元<0，所以=- 6元 5 答案：一6π 4解析：由题图可知：A=2,召=子十吾-受， 所以T=x,w=牙；则fx)=2sin(2x十p 代入点（号，0）得0=2sin(2×吾十9）： 所以g叶号=x+2∈五， 9=号十2km,k∈Z, 因为一<<，所以=否， 所以fx)=2sin(2x+晋) 答案：f)=2sin(2x+音） 5.解：(1)由图象知最小正周期 T=4x(传-号)=m (2)f代x)的对称轴为x=吾+kx(∈Z, 对称中心坐标为（侣x+x,0)小c刀 (3)在一个周期上的单调减区间为[答·青✉小， 整个定义域上的单调减区间为 [2+号2kx+含小ue 2 同理易知单调增区间为[2kr一子π，2kr十 §7.正切函数 7.1正切函数的定义 7.2正切函数的诱导公式 课前预习学案知识梳理[思考] 提示：因为。=要所以sm经=in(2x+子）=sm子 号=m(十）0s子-号所以由三切数 9π n 9x 定义，得tana=ta 预习自测 1.D2.D3.0 五维课堂到 课堂互动学案 [例1][解析](1)因为x=-5,y=12,所以r= +12-18,到ha=之-景msa== 5 131 tana=义= 12 5 [答案]岩 5 12 -13-5 (2)解：√x十y=0,即y=一√5x,终边经过第二、四象限，在 第二象限取直线上的点（一1，W), 则r=√(-1)2+(W3)2=2, 1 所以sina=号，cosa=-2,ana=-5: 在第四象限取直线上的点(1，一√3)， 则r=√1+（-√5)2=2， 所以sna=-号asa=空n。=-尽 1 变式训练 1解析：因为(-1，a)为a终边上的一点，c0sa=-5,所以 5 -1 √(-1)+a 气，所以a=4,又因为。为第二象限角， 所以a>0即a=2.所以sina=25 5 ,tan a=-2. 答案.25 -2 [例2][解](1)①sin(-1140)=-sin1140 =-sin(3X360°+60)=-sin60=- 2 ②as5=m(2o+晋）cs- ③tan960°=tan(3X360°-120)=tan(-120°)=-tan120° =-tan(180°-60)=tan60°=√5. (2)①f(a)=-sin acos(-tana） (-tan a)sin a cos a. 1 ②片sin(a-π)=-sina=方' 'sin a=- 行又Q是第三象限角， ∴.cosa= 2√6 5 fa)=2y6 51 ③.a= 31π =-6X2π+3 π 3 f(-35）=-(6×2a+ = π -cos 3 =-2 变式训练 2.解，sin(r-a)c0s(2x-a)am(-a+x -tan(一a-π)sin(-π-a) =sina·cosa·(-tana) tan(a十π)[-sin(π十a)] -sina·cosa·tana=-cosa. tana·sina [例3][解](1)3sna+4cosa=3ana+4=-1. 4cosa十sina4+tana (2)2sin'a-3cos'a_2tan'a-35 3cos a+2sin'a 3+2tan'a 11' 变式训练 3cos a-sin a 3.解：(1)原式= cos a √-tana 3cos a+sin a 3+tan a cos a 3-3=5-2. √3+3 223·