2.6.1.3 用余弦定理、正弦定理解三角形-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学B5) 必修第二册 数 课时 间 第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形 纠错空间 学作业 基础过关 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 JI CHU GUO GUAN 1.(2025·全国二卷，5)在△ABC中，BC=2, 为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°，则 AC=1+√3，AB=√6，则A= () sin B- ,c= 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 A.45° B.60° C.120°D.135 a,b,c,且2b·cosA=ccos A+acos C, 2.在△ABC中，BC=2,B=子，当△ABC sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C. 的商积等于时，nC等于 (1)求角A的大小； (2)若a=√7，b+c=4,求bc的值. D.3 3.在△ABC中，∠ABC-至，AB=E,BC =3,则sin∠BAC= ( 方法总结 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,且b+c2=a+bc.若sinB sinC=sinA,则△ABC的形状是 11.在△ABC中，a2+b2-mc2=0(m为常数)， A.钝角三角形 B.直角三角形 且osA+osB-cosC C.等边三角形 D.等腰直角三角形 sin A sin B-sin C,sin (A+B) 5.(多选)在△ABC中，内角A,B,C所对 =sin Acos B+cos Asin B,求m的值. 的边分别为a,6,c,若会=是 a2+c2- ,则 b2+c2-a △ABC可以是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 6.(多选)在△ABC中，B=30°，AB=2√3， AC=2,则△ABC的面积是 ) A.√5B.35C.2√3D.43 7.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边 分别为abc,且e2-分=ab,C=子，则 品含的值为 8.在△ABC中，AB=√3，D为BC的中点 AD=1,∠BAD=30°，则△ABC的面积 S△ABC= ·62· 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 能力提升 NENG LI TI SHENG 素养培优 SU YANG PEI YOU 12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 空 间 别为a,b,c,A为锐角，lgb+lg。 a,6,c,2bsin Ccos A+asin A= 2csin B. 纠错空间 lg sin A=-lg√2，则△ABC为 (1)证明：△ABC为等腰三角形； (2)若D为BC边上的点，BD=2DC, A.等腰三角形B.等边三角形 且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的长. C.直角三角形D.等腰直角三角形 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为 #14年#44月年#44月年卡44年 a,b,c,已知2cosC(acos B+bcos A) =c,sin Acos B+cos Asin B=sin (A +B). (1)求C; (2)若c=万，△ABC的面积为2，求 △ABC的周长. 方法总结 +++1+++++0+++ ·63·参考答案 9.解析：如图，由AD=1,B=于，知 BD=1,又AD=号BC=BD, B D C ∴DC=2,AC=√J+2=5. 由正弦定理可知，sin∠BAC=sinB·BC_ 2 AC ×3 =3V10 10 答案w5 3√10 10 10.解：因为c=10,A=45°，C=30°，所以B=180°一(A十 C)=105°. 由Fc样a=盟是10 =10√2.由 sin C sin 30 sin Bsin C,得b=csnB- sin C 10Xsin 105=20sin 75 sin30° =20X6+ 4 =5√6+5√2. 11.解：(1D由acos C2c=b,得sin Acos C+3n 2sin C= sin B. 因为sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以号nC=os Asin C. 因为血C≠0，所以0sA=因为0<A<,所以A (2)由正弦定理，得sinB=sinA- 2 所以B=吾或经 ①当B=晋时，由A=吾得C=受，所以c=21 ②当B=号时，由A=吾，得C=君， 所以c=a=1. 综上可得c=1或2. 12.B[由题意得EB=EA十AB=2,则在Rt△EBC中，EC =√EB+BC=√4+I=5.在△EDC中，∠EDC= ∠EDA十∠ADC=牙十受=平，由正定理得 A 温器-瓷-清-气峰以如∠D- sin∠EDC n∠Enc-9e] 5 5 4 8解：由玉弦定是如品景名合器 'cos B sin A' 即sin Acos A=sin Bcos B,.∴.sin2A=sin2B 又：a≠b2A=x-2B,即A+B=受 .△ABC是直角三角形，且C=90°， 1a2+b2=102, 由{b=4得a=6,b=8. (a-3 故内切圆的半径为r=a十bS=6+8,10=2, 2 14.解：设四个角A,B,C,D的度数分别为3x,7x,4x,10x, 则由四边形的内角和定理，有3x十7x十4x十10x= 360°，解得x=15°，所以A=45°，∠ABC=105°，C=60°， ∠ADC=150°.连接BD,在△BCD中，由余弦定理，得 ·14 课时作业马 BD2=BC+CD2-2BC·CDeos C=a2+4a2-2a· 2a·号-3a,所以BD=5a, 此时BC+BD=CD, 所以△CBD为直角三角形， ∠CBD=90°，∠BDC=30°. 在△ABD中，A=45°，∠ADB=120°， 由正弦定理，知 AB BD sin∠ADB sin A AB-BD sin ADB sin A 所以AB的长度为子Ea, 第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形 1.B2.B3.C4.C5.AB 6.AC[由AB=2V5,AC=2,B=30及正弦定理AC sin B AB,得sinC=ABsin B_Y人23 AC 2=2 2 由角C为三角形的内角可知C=60°或120°.因此A= 90°或30°. 在△ABC中，由AB=2W3,AC=2,A=90°或30°， 得面积S=分AC·AB·sinA=2B或5.] 7.解析：由余弦定理，得c-b2=a-2 abcos C=a-ab= ab,所以a=26,所以由正弦定理，得册音号=2。 答案：2 8.解析：因为AB=√5，AD=1,∠BAD=30°， 所以San=之5.1·sm30-,又D是BC的中 点，所以Saw=2Sa0号 答案：3 2 解折：由品治B得sinB= a sin As=②7 7 由a2=b2+c2-2 bccos A,得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). 答案： 7 3 10.解：(1)根据正弦定理，得2 bcos A=ccos A十acos C→ 2cos Asin B=cos Asin C+sin Acos C=sin (A+C)= sinB,:sinB≠0，∴cosA=2, .0°A<180°，.A=60°. (2)由余弦定理，得7=a2=b2十c2-2bcc0s60°=b2+c -bc=(b+c)2-3bc, 把b十c=4代入，得bc=3,故bc=3. 11.解：由余弦定理c2=a2十b2-2 abcos C,得a2十b=c2十 2 abcos C,由a2+b-mc2=0,得c2+2 abcos C=mc2,即 2 abcos C=(m-1)c2.结合正弦定理，得2 sin Asin B 0sC-(m-1nC又由需A骨-名得 cos Asin B+cos Bsin A sin(A+B)cos C sin Asin B sin Asin B-snC,即sinA sin Bcos C=sin2C,得m-1=2→m=3. 12.D[因为1gb十1g上=lg sin A=-lgE,所以g无 b g血A=e号所以(=. 且sinA三号，因为A为锐角，所以A=不了 世数学B5) 所以a2=b+c2-2bc0sA=6+26-26×,√26×2 2 B,所以a=b,所以B=晋，所以C=受，故△ABC为等 2 腰直角三角形，故选D.门 13.解：(1)由已知及正弦定理得：2cosC(sin Acos B十 sin Bcos A)=sinC,即2 cos Csin(A十B)=sinC, 故2 sin Cos C=s如C可得sC=子所以C-舌 2已知，宫sinC=2.又C-吾所以h=6由 已知及余弦定理得，a2十b-2 abcos C=7.故a2十b= 13,从而(a十b)=25.所以△ABC的周长为5十√7. 14.解：(1)证明：，2 bsin Ccos A+asin A=2 csin B, ∴.2 bccos A十a2=2cb, ÷2hc.+c-a+a2=2bc, 2bc 化简得b2+c2=2bc, .(b-c)=0,即b=c, 故△ABC为等腰三角形. (2)如图，由已知得BD=2, DC=1, ,∠ADB=2∠ACD= ∠ACD+∠DAC, B .∠ACD=∠DAC, ..AD=CD=1, 又，'cos∠ADB=-cos∠ADC, AD'+BD-ABAD+CD'-AC 2AD·BD 2AD·CD 即1+2c 12+12-b2 2×1×2 2×1×1· 得2b十c2=9,由(1)可知b=c,.b=√5. 第四课时余弦定理、正弦定理的应用举例 1.D2.C3.C4.C5.AB 6.D[设建筑物的高度为h,由题图知，PA=2h,PB=√2h, 0-2. ,在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA=60+2h-4,0 2×60×√2h 60+2-寺 cos∠PBC 2×60X√2h -.② ,'∠PBA十∠PBC=180°，∴.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m,] 7.解析：由题意，知F应和F1,F2的合力F平衡.设F?与 F1之间的夹角为日，作图（如图）， F 60° 可知当三力平衡时，由余弦定理得F= √302+502-2×30X50×c0s(180°-60)=70N,再由 50 70 正孩定理得sin180-=sn180-60,即sin0= 50sin120°_5√3 70 14 答案 。1 必修第二册 8.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再 爬行到B点， A01059 0 B 135o 易知在△AOB中，AB=10cm,∠OAB=75°，∠AB0=45°， 则∠AOB=60°. 由正弦定理知x=AB·sin∠AB0_10Xsn45°105， sin∠AOB sin 60 3(cn). 答案105m 9.解析：甲楼的高为20tan60°=20×√3=20√5（米）；乙楼 的高为205-20n80°-205-20×号9承米). 答案：205号5 10.解：在△ABC中，由余弦定理得： cos C=AC+BC:AB85:-AB: 2AC·BC 2×8×51 在△ABD中，由余弦定理得： COs D-ADBD:-AB7+7-AB 2AD·BD 2×7×7 由∠C=∠D,得cosC=cosD, 解得AB=7,所以AB的长度为7米. 11.解：如图，设CD=x, 北 西.445.C →东 6030° 南 B 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，所以AC=CD=x. 在Rt△BCD中，∠CBD=30,所以CB=CD tan30°- 3x. 在△ABC中，∠ACB=90°+60°=150°， 由余弦定理得AB=AC十BC-2·AC·BC· cos∠ACB, 所以26=+6x-2x·(号)，所以 x=38√7(m).所以气球的高度为38√7m. 12.解：1)：25in2号sinA-5=0, 25×1-c0sA+sinA-5=0, 2 即sinA-√3cosA=0,.tanA=√3， 又0<A<π，A=T」 3 (2).a sinA=2R,…a=2 Rsin A=2V5sin子=3， AC=√3=b, ∴.由余弦定理a2=b十c2-2 bccos A,得9=3十c2 5c, .c2-√3c-6=0, c>0,.c=25, ∴.周长为a十b十c=3十33. 8