课时测评29 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评29　余弦定理、正弦定理应用举例 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量(测量工具：量角器、卷尺)，如图所示．下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有(　　) A．c与α B．c与b C．b，c与β D．b，α与γ 答案：ABC 解析：因为A，C在河的同一侧，所以可以测量b，α与γ.故选ABC． 2．如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB长度为(　　) A．3 km B．4 km C． km D． km 答案：C 解析：由余弦定理可得AB＝ ＝＝.故选C． 3．已知甲船在海岛B的正南A处，AB＝10海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛B出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的(　　) A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 答案：C 解析：由题意知，1小时后，甲船来到C处，则AC＝4，BC＝6.又由题可知，此时，乙船来到D处，BD＝6，结合D在B的北偏东60°方向，则∠DBC＝120o.又BC＝BD，则∠BCD＝30o，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向．故选C． 4．如图所示，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30 km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是(　　) A．10 km B．10 km C．20 km D．5 km 答案：B 解析：根据题意，可得∠PAB＝∠PBA＝30°，AB＝30 km，∠APB＝120°，在△ABP中，利用正弦定理得＝，得PB＝＝10，则这时船与灯塔的距离是10 km.故选B. 5．(新情境)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(参考数据：tan 10°≈0.176，≈1.732)(　　) A．45.2 m B．50.6 m C．56.7 m D．58.6 m 答案：B 解析：设球的半径为R，则AB＝R，AC＝，BC＝－R＝100，R＝，2R≈50.6.故选B. 6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为60 n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile. 答案：30 解析：由题意知，CA＝60 n mile，且∠ABC＝135°，由正弦定理有＝，则＝，可得AB＝30 n mile. 7．某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°，则最大高度CH为________米．(已知声音的传播速度为340米/秒) 答案：140 解析：设BC＝x，由条件可知AC＝x＋×340＝x＋40，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos ∠BAC，即x2＝1002＋2－2×100××，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)，故A，C两地的距离为420米，在Rt△ACH中，CH＝AC·tan ∠HAC＝420×＝140(米). 8．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE，转动点A距离地面的高度AE为4米．当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE＝120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为________米． 答案：16 解析：如图所示，过点A作AG⊥CF，由题意知，∠EAG＝90°，GF＝AE＝4，因为∠CAE＝120°，所以∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，因为 AC＝24，所以 CG＝AC·sin 30°＝12，所以CF＝CG＋GF＝12＋4＝16(米). 9．(10分)如图所示，一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，AC＝(12－4)米． (1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(3分) (2)若2号机器人发现足球在点D处向点A做匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半做匀速直线运动去拦截足球．若已知AD＝17米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？(参考数据：sin 75°＝)(7分) 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，AB＝＝4.故1号机器人和2号机器人之间的距离为4 米． (2)设2号机器人最快可在点E处截住足球，点E在线段AD上，如图所示， 设BE＝x米．由题意，ED＝2x米，AE＝AD－ED＝(17－2x)米， 在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE cos A， x2＝(4)2＋(17－2x)2－2×4(17－2x)cos 45°， 整理得3x2－52x＋185＝0，解得x1＝5，x2＝. 所以AE＝17－2x＝7(米)或AE＝－(不合题意，舍去). 故2号机器人最快可在线段AD上离点A 7米的点E处截住足球． (10—12每题5分，共15分) 10．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° 答案：AC 解析：在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，则B＝45°，AB＝12，由正弦定理得AD＝＝＝24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，又AC＝8，解得CD＝8.所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；因为AC＝CD＝8，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选AC． 11．如图所示，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为(　　) A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m 答案：C 解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝＝400(m).因为在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝＝＝400(m)，在Rt△ABC中，BC＝AC sin ∠BAC＝400×＝600(m).故选C． 12．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________m. 答案：35 解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35，又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，所以AB2＝352＋2－2×35×35×，解得AB＝35. 13．(13分)(新情境)古语云：“积善之家，必有余兴”．扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意．一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图①所示，通过测量得到数据AC＝－1，BC＝，AB＝2.(图①中破碎边缘呈锯齿形状) (1)求这个扇形玉佩的半径；(5分) (2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图②所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数(圆心角、弧长、面积).(8分) 解：(1)如图所示，设扇形的圆心为O，连接CO，BO， 在△ABC中，由余弦定理可得cos ∠BAC＝＝＝， 因为∠BAC∈，可得∠BAC＝， 在△AOB中，因为OA＝OB，则∠ABO＝∠BAC＝，即∠AOB＝， 可得BO＝AB sin ∠BAC＝2×＝，所以这个扇形玉佩的半径为. (2)设扇形的圆心角为α∈，因为cos α＝＝－，可得α＝， 所以扇形的圆心角为，弧长为×＝π，面积为×π×＝. 14．(5分)世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16 000名观众观看表演和演唱会，或14 119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝40 m，CD＝80 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝∠ACD＝60°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(参考数据：≈1.73，≈2.65)(　　) A．98 m B．102 m C．106 m D．122 m 答案：C 解析：连接AC，AD，在△ABC中，由正弦定理知＝，即＝，解得AC＝120，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，即AD2＝1202＋802－2×120×80×＝11 200，所以AD＝＝40≈106 m．故选C． 15．(17分)某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点B 50米的点C处建一凉亭，距离点B 70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB＝∠ACD，cos ∠ACB＝.(注：cos 2α＝2cos2α－1) (1)求sin ∠BDC的值；(7分) (2)测得AC＝AD，观光通道每米的造价为2 000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？(10分) 解：(1)由∠ACB＝∠ACD，cos ∠ACB＝， 得cos ∠BCD＝2cos 2∠ACB－1＝2×－1＝－， 则sin ∠BCD＝＝， 在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝， 所以sin ∠BDC＝. (2)在△BCD中，由余弦定理得702＝CD2＋502－2×50CD×， 整理得CD2＋20CD－2 400＝0，解得CD＝40(CD＝－60舍去). 在△ACD中，AC＝AD， 所以cos ∠ACD＝cos ∠ADC＝cos ∠ACB＝，又＝，解得AC＝AD＝10. 在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(10)2＋502－2×10×50×＝1 500， 所以AB＝10<40. 由于观光通道每米的造价为2 000元，所以总造价低于40×2 000＝80 000元， 故预算资金够用． 学科网（北京）股份有限公司 $$