1.5.1.3 正弦函数的图象与性质再认识(三)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 第三课时 正弦函数的图象与性质再认识（三） 课程标准 素养解读 1.通过“五点法”作函数图象培养学生数学 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点 直观素养 法”画正弦函数的图象 2.会用正弦函数的图象解简单问题 2.根据正弦函数的图象的简单应用提升逻 辑推理和数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] (3)定义域：R;值域：[-1,1] 如图所示，装满细沙 (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正 的漏斗在做单摆运动时， 弦函数的一种直观表示. 沙子落在与单摆运动方向 (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认 垂直的运动木板上的曲线 识正弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函 轨迹. 数的一些常用性质。 问题图中细沙形成的曲 ?思考1.按照在y=sinx的图象上的位置不 线是什么曲线类型？ 同，“五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ [知识梳理] [知识点]正弦曲线 2.在作y=2十sinx的图象时，应抓住哪些关 (1)正弦曲线 键点？ 正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦 曲线. y↑y=sinx,x∈R 4π [预习自测] (2)正弦函数图象的画法， 1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,x∈ ①几何法： [0,2π]与y=sinx,x∈[2π，4π]的图象( (i)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的 A.重合 B.形状相同，位置不同 图象； C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同 2.作函数y=sinx,x∈[0,2π]图象的五个关键 (B)y=sinx,x∈[0,2T] 3m 点 、T 2T -===-左====-- 3.用“五点法”作函数y=一sinx(0≤x≤2π)的 简图. (ⅱ)将图象向左、向右平行移动（每次2π个 单位长度) ②“五点法”： (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个 关键点(0,0)， ,(元，0)，(2π， 0),用光滑的曲线顺次连接； (ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动（每次 2π个单位长度). ·28· 第一章三角函数 五维课堂兰 ● 课堂。互动学案 题型一“五点法”作正弦函数的图象 题型二】 利用正弦函数菌象解不等式 [例1]用“五点法”作出函数y=一1+2sinx,x [例2]求下列函数的定义域： ∈[0,2π]的简图. (1)y=√/2sin2x-1; 汇思路点拨]在作形如y=asin x十b,x (2)y=√sinx+√25-x2」 汇0,2π]的图象时，可由五点法作出，注意正 汇思路点拨]先画出图象，根据图象解不等式.} 确写出五个关键点的坐标. 规律方法 作形如y=asin x十b,x∈[0,2r]的图象的三 个步骤 规律方法 利用三角函数图象解sinx>a(或cosx>a) 列表 在[0,2π]内先分别找出确定所求函数图像的五 个关键点；在表中列出相应的五点的坐标 的三个步骤 (1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx) 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描 出相应的点 的图象 (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. 连线 用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来， 就得到所求函数的图像 (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集 注意：解三角不等式sinx>a,如果不限定 ⊙[变式训练] 范围时，一般先用图象求出[0,2π]范围内 1.用“五点法”作出函数y=1十2sinx,x∈ x的取值范围，然后根据终边相同角的同 [0,2π]的图象. 一三角函数值相等，写出原不等式的解集. ◇[变式训练] 2.利用正弦函数的图象，求满足sinx≥号的x 的集合 ·29· 世五维课堂 数学s·必修第二册 题型 正弦函数图象的简单应用 ◇[变式训练] [例3]画出函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的图象， 3.已知直线y=a,函数y=sinx,x∈[0,2π]，试 (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值 探求以下问题. 范围； (1)当a为何值时，直线y=a与函数y=sinx的 号的交点个数。 图象只有一个交点？ (2)判断其函数图象与直线y (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个 汇思路点拨先用五点法作出函数的图象， 交点？ 结合图象分析不等式的解集；再画出直线y 号的田家，利用图家分新支点个数 规律方法 方程根（或个数）的两种判断方法 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的 个数. (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个 函数，作出函数的图象，利用对应函数 的图象，观察与x轴的交点个数，有几 个交点原方程就有几个根； ②转化为两个函数，分别作这两个函数 的图象，观察交点个数，有几个交点原 方程就有几个根. 随堂。步步夯实 1.对于正弦函数的图象，有以下四个说法： 4.若方程sinx=4m十1在x∈[0,2π]上有解，则 ①关于原点对称；②关于x轴对称； 实数m的取值范围是 ③关于y轴对称：④有无数条对称轴. 其中正确的是 5利用正弦血线，求满是号<m<号的z的 A.①②B.①③C.①④D.②③ 2.函数y=sin(-x),.x∈[0,2r]的简图是 ( 集合 4 0 3.用“五点法”画函数y=2一3sinx的图象时，首 先应描出五点的横坐标是 ( ) B0,x3经2 C温馨提 C.0,元，2r,3元，4元 n0百看号号 学习至此，请完成配套训练 ·30·世五维课堂 第三课时正弦函数的图象与性质再认识（三） 课前预习学案情境引入 提示：细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的曲线 知识梳理知识点 1@(受，1）(，-1） [思考」 1.提示：(1)图象与x轴的交点：(0,0)，（π，0），(2π，0)： (2)图象上的最高点（受，1）和最低点（暨，-） 2.提示：作正弦函数y=2十sinx,x∈[0,2π]的图象时，起关键 作用的点有以下五个：(0,2)（受3）(，2）(，1） (2π，2) 预习自测 1.B2.(0,0) (π，0) (2元，0) 3.解：找关键的五个点，列表如下： x 0 2π sin x 0 0 0 sin x 0 -1 0 0 描点作图，如图所示 课堂互动学案 [例门[解]找关键的五个点，列表如下： 0 3元 sin x 0 1 0 -1 0 -1-2sin x -1 -1 -3 描点作图，如图所示， 2 3m2元 y=-1+2sinx,x∈[0,2] 变式训练 1解：找五个关键点列表： 0 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 1十2sinx 在直角坐标系中描出五点01)…（受3(，1D,(经，-1 (2r,1),然后用光滑的曲线顺次连接起来，就得到y=1十2six, x∈[0,2π]的图象. 3 3 3 /2π [例2】[解]1)由2sin2x>1,得sin2x>7.杞2x当作整体t, 画y=sin t的图象. 2 数学s·必修第二册 2 3my=2 在[0,2]内，满足s血≥是有晋≤K 1 所以晋2r<晋 故在实数集R上2x满足 吾+2m≤2x<君+2kmk∈Z 6 即危十≤≤登十e五 所以定义城为{红登十x≤≤晋十，6∈Z乙， (2)根据函数表达式可得 ∫sinx≥0， →2k≤≤2kr+x(k∈， 25-x≥0,1-5≤x≤5. 在数轴上表示如图所示 -2m-5-m0m52m 由图示可得，函数定义域为[-5，一π]U[0,π]. 变式训练 2.解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2r]的图象，如图所示，由图象 可以得到满足条件的x的集合为[答+2张，否+2]，kE7 y y=sinx,x∈[0,2m] =2 5π 3T 2πx -1 [例3][解]用五，点法画出函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的图 象，如图所示 ↑y 2 1------- 3π2m (1)由图象可知，当x∈(0，π)时，y>1;当x∈（π，2π） 时，0y<1. 3 (2)在平面直角坐标系中作出直线y=?,如图所示，可知此直 线与函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的图象有两个交，点. 变式训练 3.解：由图象易知(1)当a=士1时，y= a与函数y=sinx的图象只有一个 交点 (2)当a∈(0,1)U(-1,0)时，y=a T 3π72π元 与函数图象有两个交点 随堂步步夯实 1.C[由正弦曲线知，①④正确.] 2.B[y=sin(-x)=-sinx,y=-sinx与y=sinx的图象关于 x轴对称，故选B.门 3.B[所描出的五点的横坐标与函数y=six的五，点的横坐标相 同，即0，受x受2，故选B] 4.解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sinx∈[-1,1]，要 使得方程sinx=4m十1在x∈[0,2π上有解，则一14m十1 1,故-≤m<0 答案[ 18 参考答案 5.解：首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y= ,根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=simx,x∈[0,2x]的 文点横坐标为晋和警 6 y -y= --y= 0π 2π5π 63 36 作直线y一，该直线与y=smx,∈[0,2x]的交点横坐标为 和 3 观察图象可知，在[0.2]上，当吾<≤号或行≤<晋时，不 6 3 、6 所以名<n9的解案为 2 {后++2ez {号+2≤<晋+2，k∈7 2π 5.2余弦函数的图象与性质再认识 课前预习学案情境引入 1.提示：单调性 2.提示：最值，波峰，波谷 知识梳理[思考] 1,提示：画余弦画数图象的五个关键点分别是(0,1)，（受，0小 x,-10(0）2,10 2.提示：因为cosx=sin(+受)所以y=sinx(x∈R)的图 象向左平移个单位长度可得y=cOsx(x∈R)的图象. 3.提示：观察图象可知： -1 当x∈[一元，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由一1 增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，c0sx的值由1减 小到一1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ一π，2kπ，k∈Z时，余弦函数y=cOsx是增函 数，函数值由一1增大到1； 当x∈L2kπ，(2k十1)π]，k∈Z时，余弦函数y=cosx是减函 数，函数值由1减小到一1. 4提示：平移法作余孩画数图象主要依据挎导公式s如（十受）】 =c0sx显然在谤子公式sin(受-x=c0sx中，两个函数 的解析式中自变量的系数符号相反，所以不能利用该公式确 定平移方向和单位长度 知识点三 RR[-1,1][-1,1]奇函数偶函数2π2π x2 十2kr(k∈Z) -于+2kπk∈Dx=2kx(k∈ x=一2 =x+2x(e∈【-受+2，受+2k]水e∈z [登+2k,暨+2]水k∈Z[-x+2kx,2a1kED[2kxm +2kπ](k∈Z) ·21 五维课堂 [思考] 5提示：不正璃正弦函数在每个闭区问[2m受，2kx十受]k∈ Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函 数在闭区间[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义 域上是减函数 预习自测 1.C2.偶3.[-π十2kπ，2kπ](k∈Z)[2kr,2kπ十π](k∈Z) 课堂互动学案 例1][解]列表、描，点、连线得函数y=3十2Cosx在闭区间[0， 2π]上的图象，如图中实线所示. 根据图象可知，函数y=3十2c0sx在[0,2r]上的最大值为5，最小 值为1，又函数的周期为2π，故函数y=3十2c0sx在R上的值域 为[1,5]. 0 罗 2n y=cos x 1 0 0 y=3+2cos z 5 y1y=3+2cosx,x∈[0,2π] 5 4 2 1 y=c0sx,x∈[0,2π] 变式训练 1.解：①列表： 0 5π 11π 6 12 3 12 3 2 2 警 1 0 -1 0 ②描点画图，如图 11, 3 124 [例习[解折]1cas受=s吾as1些-s号，周为0<行 8 <4<,而y=0sx在[0，D上单调递减， 9 14r 所以s>w> (2)由于0<1<2<3<π，而y=cosx在[0，π)上单调递减，所以 c0s1>c0s2>c0s3. 15π [答案](1)cos 14π 8 >c0s9 (2)cos 1>cos 2>cos 3 变式训练 2.解：用“五，点法”作出y= sin x,y=cos x(0 5T ·y=C08x 2π)的简图. 4 由图象可知，①当x= 0 T 或x=巫时，nx= y=sin x 4 4 COS ②当<<4 巫时，sinx>cosx； 当0C<受或平<K2x时ino 9