1.5.1.3 正弦函数的图象与性质再认识(三)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s,·必修第二册 13.求函数y=sim红-3sinx+1,x∈[一登，餐]的 则f(x)=-2sinx. 14sinx,x∈[0，π]， 值域 所以f(x)= {-2sinx,x∈（π，2x]. 解：当【晋]时， 其图象如图所示， sin re 则=-+1[] 而y=-3+1在 吾，上单两道减清以东 得值域为 1,7+6 0 4 素养培优 (2)由f(x十2r)=sin(x+2x)+3sin(x+2π) SU YANG PEI YOU =sin +3 sin |=f(x), 14.已知函数f(x)=sinx十3sinx. 可知2π为函数f(x)的一个周期， (1)用分段函数形式写出fx)在[0,2π]上的解析 结合(1)中图象可得2π为函数f(x)的最小正周 式，并画出其图象； 期.由图可得，x∈[0,2π]时，函数f(x)的单调递 (2)求f(x)(k∈R)的最小正周期及其单调递增 区间. 增区同为[][x,受] 解：(1)当x∈[0，π]时，sinx≥0，sinx=sinx, 又f(x)的最小正周期为2x,故函数f(x)的单调 则f(x)=4sinx; 当x∈(r,2r]时，sinx≤0，sinx=-sinx, 递增区间为[kx,受十x]k∈Z). 第三课时正弦函数的图象与性质再认识（三） 课程标准 素养解读 1.通过“五点法”作函数图象培养学生数学直观 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法” 素养 画正弦函数的图象 2.根据正弦函数的图象的简单应用提升逻辑推 2.会用正弦函数的图象解简单问题 理和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P28 [情境引入] (2)正弦函数图象的画法， 如图所示，装满细沙的漏 ①几何法： 斗在做单摆运动时，沙子落在 (i)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的 与单摆运动方向垂直的运动 图象； 木板上的曲线轨迹 y=sinx,x∈[0,2m] 问题图中细沙形成的曲线 3π T 2T 是什么曲线类型？ 提示：细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的 曲线 （ⅱ)将图象向左、向右平行移动（每次2π个单位 [知识梳理] 长度) [知识点]正弦曲线 ②“五点法”： (1)正弦曲线 （1)画出正弦曲线在[0,2x]上的图象的五个关键 正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线， 点(0,0)， y↑y=sinx,x∈R 1,0受小20.用光 滑的曲线顺次连接； (ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动（每次2π个 单位长度) (3)定义域：R;值域：[-1,1]. ·44· 第一章三角函数 (4)本质：正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函 解析：B[根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx, 数的一种直观表示. x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2r,4x]的图象只是位 (5)应用：根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正 置不同，形状相同.门 弦函数，进而根据正弦曲线，推导正弦函数的一些 2.作函数y=sinx,x∈[0,2r]图象的五个关键点 常用性质. 2思考1.按照在y=sinx的图象上的位置不同， (x,0) (2r,0) “五点法”作图中的五个点可分为哪两类？ 答案：(0,0) 提示：(1)图象与x轴的交点：(0,0)，（元，0），(2元，0)： 3.用“五点法”作函数y=一sinx(0≤x≤2x)的简图. (2)图象上的最高点（受，1和最低点-1小 解：找关键的五个点，列表如下： 2.在作y=2十sinx的图象时，应抓住哪些关键点？ 3π 2 元 2π 提示：作正弦函数y=2十sinx,x∈[0,2元]的图象 时，起关键作用的点有以下五个：(0,2)， 3 sin 0 1 0 0 (，2）， （,1(2x2. -sin x 0 0 1 0 描点作图，如图所示. [预习自测] 1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,x∈[0， 2x]与y=sinx,x∈[2x,4x]的图象 ( ) T ZT A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同 课堂。互动学案 对应学生用书P29 题型一 五点法”作正弦函数的图象一 ◇[变式训练] [例1]用“五点法”作出函数y=一1+2sinx,x∈[0， 1.用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x∈[0,2π]的 2x]的简图. 图象。 解：找五个关键点列表： [思路点拨]在作形如y=asin x十b,x∈[0,2x] 的图象时，可由五点法作出，注意正确写出五个关 0 元 3π 2 2 2x 键点的坐标 sin x 1 -1 0 [解]找关键的五个点，列表如下： 0 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 0 3π 2 2元 在直角坐标系中描出五点(0,1)， 3(x,1, sin x 0 1 0 0 1+2sin z -1 1 -3 （经-小，(2x,1,然后用光滑的曲线顺次连接起 描点作图，如图所示。 来，就得到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象。 y 17 3m2π y=-1+2sinx,x[0,2m] 规律方法 题型二 利用正弦函数图象解不等式 作形如y=asin x十b,x∈[0,2x]的图象的三个步骤 [例2]求下列函数的定义域： 列表 在[0,2π]内先分别找出确定所求函数图像的五 (1)y=√2sin2x-1; 个关键点；在表中列出相应的五点的坐标 (2)y=√sinx+√25-x. 描点 根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描 出相应的点 [思路点拨]先画出图象，根据图象解不等式· 用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来， [解] 连线】 (1)由2sin2x≥1，得sin2z≥7.把2z当作 就得到所求函数的图像 整体t,画y=sint的图象. ·45· 数学s,·必修第二册 题型写 正弦函数图象的简单应用 Y=7 [例3]画出函数y=1+sinx,x∈[0,2x]的图象 0 6.26 (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； 在[0,2π]内，满足sint≥ 1 6 (2②)判断其函数图象与直线y=多的交点个数。 所以晋≤2x< [思路点拔]先用五点法作出函数的图象，结合 6 故在实数集R上2x满足 图象分析不等式的解来：其商出直线y=多的图 +2x≤2<+2k:A∈Z, 象，利用图象分析交点个数 即5十<号+，∈ [解]用五，点法画出函数y=1十sinx,x∈[0,2π] 12 的图象，如图所示 所以定义城为{红是十x≤≤晋十，7小 5π y 2 (2)根据函数表达式可得 (sinx≥0， (2kπx≤2kπ+x(k∈Z), 0 3π2m元 125-x2≥0， -5≤x≤5. 在数轴上表示如图所示 (1)由图象可知，当x∈(0，π)时，y>1;当x∈（π， 2x)时，0<y<1. A 52m (2)在平面直角坐标系中作出直线y= ,如图所 3 由图示可得，函数定义域为[一5，一π]U[0,π]. 规律方法 示，可知此直线与函数y=1十sinx,x∈[0,2π]的 图象有两个交点 利用三角函数图象解sinx>a(或cosx>a)的三 个步骤 规律方法 (1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的 方程根（或个数）的两种判断方法 图象. (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数 (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数， (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集. 作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察 注意：解三角不等式sinx>a,如果不限定范 与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有 围时，一般先用图象求出[0,2π]范围内x的 几个根； 取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函 ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图 数值相等，写出原不等式的解集。 象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几 ⊙[变式训练] 个根 2.利用正弦函数的图象，求满足snr≥2的x的 ◇[变式训练] 3.已知直线y=a,函数y=sinx,x∈[0,2元]，试探求 集合 以下问题. 解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如 图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为 (1)当a为何值时，直线y=a与函数y=sinx的图 象只有一个交点？ [+2，+2小，c7. (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ 2 解：由图象易知(1)当a= y y=sinx,x∈[0,2] 士1时，y=a与函数y sinx的图象只有一个交，点」 (2)当a∈(0,1)U(-1,0) 时，y=a与函数图象有两个 交点 随堂。步步夯实 对应学生用书P30 1,对于正弦函数的图象，有以下四个说法： 其中正确的是 ①关于原点对称；②关于x轴对称； A.①② B.①③ C.①④D.②③ ③关于y轴对称；④有无数条对称轴. 解析：C[由正弦曲线知，①④正确.] ·46· 第一章三角函数 2.函数y=sin(一x),x∈[0,2π]的简图是 2]上有解，则-1≤4m+1≤1，故-≤m≤0. 答案：[-20] 5利用正弦前线，求满足<sn<停的x的集合 解：首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象，如图所 示，作直线y一司根据特珠角的正孩值，可知滨直 线与)y=sin,z∈[0,2m]的交点横坐标为否和5. 6 解析：B[y=sin(-x)=-sinx,y=-sinx与y =sinx的图象关于x轴对称，故选B.] 3.用“五点法”画函数y=2一3sinx的图象时，首先应 描出五点的横坐标是 ( A0吾平 作直线y气，该直线与y=sim2,aE[0,2元]的灵 a0,受x受2x 点横垒标为营和经 C.0,元，2元，3元，4元 n0,吾晋受号 观察图象可知，在[0,2x]上，当日<≤晋成经< 3 解析：B[所描出的五，点的横坐标与函数y=sinx <要时，不等式<nr≤成立 2 的五点的横坐标相同，即0，受，受2，故选B] 4.若方程sinx=4m+1在x∈[0,2x]上有解，则实数 所以子<n≤9的解系为 m的取值范围是 解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sinx {后+2a<≤+2e ∈[-1,1]，要使得方程sinx=4m十1在x∈[0， 支{+2≤<+2，∈Z 6 课后。素养提升 对应学生课时P19 基础过关 解析：B[由函数y=4sinx,x∈[一x,π]的图象可 JI CHU GUO GUAN 1.函数y=|sinx的一个单调增区间是 ( ) 知，该函数在 【受]上是增画数，在 A(至 B(年) [一，一]和[登小上是减画数.] c(） D.(经2x 3.函数y=2m的单调增区间是 解析：C[由y=|sinx图象易得函数单调递增区 A.[2kx-,2kx+]∈Z) 同为[kxkx+受]∈Z当=1时，得(，婴)为 B[2x+受2kx+]∈Z刀 y=|sinx|的单调递增区间.] C.[2kπ-元，2kx](k∈Z) 2.函数y=4sinx,x∈[-元，π]的单调性是 D.[2kπ，2kπ+π](k∈Z) A.在[一π，0]上是增函数，在[0，元]上是减函数 解析：A[函数y=2为增函数，因此求函数y= 在【受]上是增函数，在【-，]和 2mr的单调增区间即求函数y=sinx的单调增 区间.] [受，×]上都是减函数 在函数y=sinx的图象上，则m C.在[0，π]上是增函数，在[一π，0]上是减函数 等于 D在[受]与[，]上是增函数在 A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：C[由题意一m=sin交，所以一m=1,所以 (-受，)上是减函数 m=-1.] ·47· 数学s,·必修第二册 5.函数y=-3n(2z一若)的单调递增区间是（ 10.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并 求出函数的最大值和最小值」 A[x+音x+琴]∈刀 Dy=2sinx-1:(2y=-sinx+万simx+是. B[kx-否x+晋]k∈Z) 解：(1)由-1≤sinx≤1知，当x=2k元+2(k∈ C.[2x+号2x+]k∈z） Z)时，函数y=2sinx-1取得最大值，ymx=1; 当x=2k元十3(k∈Z)时，函教y=2sinx-1取 D.[2kx-晋，2km+S]k∈2D 2 得最小值，ymm=一3. 解析：A[令2张x+吾<2x-晋≤2十经解得 k十吾<<kx十晋，k∈7故选A.] 6.(多选)已知函数f(x)=2sinw.z(aw>0)在区间 因为-1≤sinx≤1， [一号，]上的最小值是一2，则w的值可以等于 所以当m-号中一2x+吾或=2x+ ( A.3 3.2 C.2 D.3 ∈Z时，函数取得最大值=子： T π 当in2=-1,即x=2次x十要（∈Z》时，西载取 4 解析：BCD [由题意知 3 解得w≥ T- 2元 2· 得最小依y。=子巨 11.函数f(x)=sinx十2sinx,x∈[0,2x]的图象 7.函数y=-3sinx+9sinx+ 的最大值 与直线y=有且仅有两个不同的交点，求实数 的取值范围. 为 解：由题意知，f(x)=sinx十2sinx, 解析：令t=sinx,则t∈[-1,1]. 3sinx,x∈[0，x) 故y=-0+9+=-32) +8在t∈ \-sinx,x∈[元，2r] 在坐标系中画出函数图象： [-1,1]上递增. 故当t=1,即sinx=1时函数取得最大值，即ymx =-3x(+8翠 答案9 8.将sin1,sin2,sin3,sin4按由大到小的顺序排列 0 2π 为 由其图象可知当直线y=k,R∈(1,3)时， 解析：，sin2=sin(π-2)，sin3=sin(x-3),且 与f(x)=sinx+2|sin a, 0<K-3<1<-2<经， x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同 的交点，故实数的取值范围是(1,3)， 函数y=sinx在[0，受]上单调遂增，且sin40, 能力提升 NENG LI TI SHENG .sin(π-2)>sin1>sin(π-3)>0， 12.求下列函数的单调增区间： sin 2>sin 1>sin 3>sin 4. 答案：sin2>sin1>sin3>sin4 1y=1-sin受： 9.函数y=√一2sinx的定义域是 ,单调递减 区间是 2y=ios4m(侵吾)】 解析：由-2sinx≥0，得sinx≤0， 解：(1)由2kπ十 ∴.2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z), 即函数的定义域是[2kπ一π，2kπ](k∈Z). 得4kπ+x≤x≤4kπ十3π，k∈Z. :y=√一2sinx与y=sinx的单调性相反， y=1一sin受的增区间为[4kx十，4x十3x],k∈Z “函数的单调递减区间为[2元一受，2kx]k∈Z)。 (2)要求函载y=lgsm(营一青)的增区间，即水 答案：[2kx,2k]∈D[2kx-5,2kx]k∈ 使y=sim(一>0且单调递减的区间.为此， ·48· 第一章三角函数 x满足：2元十受≤受-晋<2x十元，k∈乙 素养培优 SU YANG PEI YOU 整理得4kπ十5四≤x<4k元十 ,k∈z 14.用“五点法”作出函数y=1-2sinx,x∈[-元，π]的 3 简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的 ∴函教y=10g4m(受一晋)的增区间为 区间. [+晋+）z ①y>1;②y<1. (2)若直线y=a与y=1一2sinx,x∈[-元，π]的 13.作出函数y=sinx的图象； 图象有两个交点，求a的取值范围. (1)由图象分析该函数的值域，周期性； 解：列表如下： (2)写出该函数的单调区间； (3)判断该函数的奇偶性，并给予证明. 2 0 元2 元 (sinx,2kr22kr十r,k∈Z, 解：，y=sin sin x 0 1 0 1 0 -sin 2,2knrx<2knH2nkEZ, 图象如图所示， 1-2sin x 1 3 1 一1 1 41 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图： 02 (1)由图可知，该函数的值域为[0,1]且y=|sinx是周 期函数，最小正周期为元. (2)由图象可知，该函数的单调递增区间为 y=l-2sinx,x∈T,m] [x,2+kx]k∈Z, (1)由图象可知，图象在直线y=1上方部分时y 单调递减区同为[一受十红，小，∈7 >1,在直线y=1下方部分时y<1, 所以①当x∈（一元，0）时，y>1;②当x∈(0，π) (3)由于该图象关于y轴对称，故该函数为偶函 时，y<1. 数，证明如下，令f(x)=sinx, (2)如图所示，当直线y=a与y=1一2sinx, f(-x)=sin(-x)=-sin x=sin x= x∈[-元，π]的图象有两个交点时，1<a<3或-1 f(x),故y=sinx是偶函数. <a<1, 所以a的取值范围是(-1,1)U(1,3). 5.2余弦函数的图象与性质再认识 课程标准 素养解读 1.能正确使用“五点法”、图象变换法等画出余弦函数的简图 能通过用不同的方法得到余弦函数的图象 2.能类比正弦函数的图象与性质得出余弦函数的图象与性质 与性质，提升逻辑推理和直观想象素养 课前。预习学案 对应学生用书P31 [情境引入] 问题2过山车爬升到最高，点，接着滑落到最低点，然后 过山车是一项富有刺激性 再爬升，对应y=cosx的什么性质？y=cosx在什么位 的娱乐工具.那种风驰电掣、有 置取得最值？ 惊无险的快感令不少人着迷」 提示最值，波峰，波谷 过山车的运动包含了许多物理 [知识梳理] 学原理，人们在设计过山车时 [知识点一]余弦函数的图象 巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量 把正弦函数y=sinx的图象向左平移受个单位长 守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真 度就得到余弦函数y=cosx的图象，该图象称为 是妙不可言.一个过山车的基本构造包含了爬升、滑 余弦曲线. 落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径. 问题1函数y=cosx的图象也象过山车一样“爬 、3 升”、“滑落”，这是它的什么性质？ 提示单调性. 也可以用五点法画余弦函数的图象. ·49·