1.5.1.2 正弦函数的图象与性质再认识(二)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 五维课堂到 3.设函数f(x)=sin2x-)则fx)是 5.判断下列函数的奇偶性。 (1)y=sinxl; ( A.最小正周期为π的奇函数 2y=co(竖+小 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 4.函数f(x)=sin(x十0)在[0，π]上为增函数，则 0的值可以是 ( ) A.0 B C. n号 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 第二课时 正弦函数的图象与性质再认识（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 最值 三角函数的性质是高考必考 内容，通过应用，提升学生逻 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 辑推理和数学运算素养 3.会求函数y=Asin(wx十o)的单调区间 课前。预习学案 [情境引入] 续表 生活中许多美好的事物 名称 都有对称性，如漂亮的蝴蝶， 性质 y=sin x 它停飞展翅就是一幅异常美 丽的对称图案. 值域 数学中的对称美也比比皆是， 如圆、等腰三角形、正方形、 当且仅当 时， 球、圆柱、正方体等 y=sinx的最大值ymax= 最值 问题正弦函数的图象也很美，它们有怎样的对 当且仅当 时， 称性？除此之外还有哪些性质呢？ y=sinx的最小值ymin= 奇偶性 周期性 最小正周期：2π [知识梳理] 上递增； [知识点]正弦函数y=sinx的图象和性质 单调性 上递减 名称 性质 y=sin x 零点 定义域 对称轴 T=I 十kπ，k∈Z 图象 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ·25· 世五维课堂 数学s,·必修第二册 2思考1.用正弦的周期性考查它们的单调性 [预习自测] 和最值，你有何发现？ 1.函数y=2sin(x十2)的最大值是 A.-2 B.2 C.2sin 2 D.-2sin 2 2.从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值 最小值点分别处在什么位置？ 2.下列函数，在[受]小上是增函数的是 ( ) A.y=sin x B.y=sin 3.正弦函数在[一受，]上函数值的变化有什 C.y=sin 2x D.y=-sin x 么特点？推广到整个定义域呢？ 3.y=asin x十b(a>0)的最大值为3，最小值为 -1,则ab= 课堂。互动学案 题型一 正弦函数的值域 ◇[变式训练] [例1]求下列函数的值域： 1.(1)函数y=1+2in,x∈[-，若]的值 (1)y= sin x-2 域为 ( sin x+1 A.[-1,1] B.[0,1] (2)求函数y=2sinx十2sinx-1的值域： c[: D.[0,2] [思路点拔依正弦函数的定义域、值域求解 (2)设a>0,对于函数f(r)=sinr+a(0< sin x <π)，下列结论正确的是 A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 题型二 比较三角函数值的大小 [例2] 下列不等式中成立的是 A.sin sin 8 10 B.sin 3>sin 2 2 C.sin5r>sin-r D.sin 2>cos 1 规律方法 汇思路点拨]把角化到同一单调区间，利用 1.求解形如y=asin x十b的函数的最值或 正弦函数的单调性比较 值域问题，利用正弦函数的有界性（一1 [尝试解答] ≤sinx≤l)求解，此时有-|a|十b≤y 规律方法 ≤la|+b. 比较三角函数值大小的方法 2.求形如y=asin2x十bsin a十c,a≠0，x∈ (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利 R的函数的值域或最值时，可以通过换元， 用诱导公式把两个角化为同一单调区 令t=sinx,将原函数转化为关于t的二 间内的角，再利用函数的单调性比较. 次函数，利用配方法求值域或最值.求解 (2)比较两个不同名的三角函数值的大小， 过程中要注意正弦函数的有界性， 先利用诱导公式将名称化为一致.然后 再利用正弦函数的单调性进行比较，当 3.求形如y asin x+b csin+d,ac≠0的函数的 角不在同一个单调区间时，再利用诱导 公式将角转化为同一单调区间内.对于 值域，可以用分离常量法求解，也可以反 正弦函数，一般将两个角转化到 解出y,利用正弦函数的有界性建立关 于y的不等式求解. 【-受][臣]内， ·26· 第一章三角函数 五维课堂当 ◇[变式训练] 规律方法 2.比较sin(-320°)与sin700°的大小. l.求形如y=asin x-+b的三角函数的单调 区间. 当a>0时，其单调区间与y=sinx的单 调区间相同，当a<0时，其单调区间与 y=sinx的单调区间相反. 2.求复合函数单调区间的方法是“同增异 减”原则，但要注意函数的定义域. ⊙[变式训练] 3.求y=log2sinx的单调递增区间. 题型三】 正弦函数的单调性及应用 [例3]函数y=asin x十1的最大值为1一a,最 小值为一3. (1)求实数a的值： (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[一π，π]，求该函数的递增区间， 思路点拨]依题意区分a>0还是a<0, 利用正弦函数的单调性求解。 ● 随堂。步步夯实 1.己知sin2x十2a一1=0，则a的取值范围是 4.已知函数y=-3sinx+2,当x= 时， ( y有最大值等于 A.[0,1] B打 5.求函数f(x)=sin2x-4sinx+5的值域. c.(o.2) D.(0,1) 2.y=2sinx-3,x∈R的减区间为 A{女|5+2m≤≤+2，k∈Z} B{-+2r≤x≤号+26x,k∈乙 C.[-+2,2+2kx]k∈Z D.[管+2,3+2kx小k∈Z 3.下列关系式中正确的是 A.sin11°<cos10°<sin168 B.sin168°<sin11°<cos10 C温馨提 C.sin11°<sin168°<cos10° 学习至此，请完成配套训练 D.sin168°<cos10°<sin119 ·27·参考答案 第二课时正弦函数的图象与性质再认识（二） 课前预习学案情境引入 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形 知识梳理知识点 R[-1,】x=受+2kx,∈21 x=3x+2kx,k∈Z -1 奇函数 [-受+2x,受+2k小kk∈z) [受+2km,经+2kx]小ek,ke7 「思考] 1.提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周期2π的整 数倍，任意的两个递减区间也相差周期2π的整数倍，取得最 大值的任意两个x的值相差周期2π的整数倍，取得最小值 的任意两个x的值相差周期2π的整数倍. 2.提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值，点均处于图形拐弯的 地方. 3.提示：观察图象可知： 3知 当[一受受]时，由线逸海上升，是增画数，snx的位 由-1增大到1； 当x[受，]时，曲线逐浙下降，是减画数，sinz的位由1 减小到-1. 推广到整个定义域可得 当x∈[-受+2x,受+2张]k∈Z)时，正孩函数y=sinx 是增函数，函数值由一1增大到1； 当z[受+2km,受+2]k∈Z时，正孩画数y=n上 是减函数，函数值由1减小到一1」 预习自测 1.B2.D3.2 课堂互动学案 [创[解1y-品片2 sin x1 3 =1一sinx sinx+1∈(0,2]， 3 当sinx=1时，ymx=一 之，故该函数的值城 为(，] 2将画数配方得y=2(mx)广- -1≤sinx≤1，当sinx=- 之时，yn=一 ：当m=1 时，ymx=3. 数的值骏为[受3] 变式训练 1解析：)：-音<≤晋 -是≤smx≤分，0<1十2sm≤2，故画教的值城为 [0,2]. (2)因为0<<，所以0<n≤1，≥，又因为a>0, 所以高数)血在2=1十品有最小值而无最大值， sin x 故选B. 答案：(1)D(2)B ·21 五维课堂 [例2]解析]D[:-受<-<-无<0.im(-ξ）下 s（-无）A错误受<23<…sm2>in3.B错误： m晋-如(a+)）=-血经=如()C错误：n2 -mx-2).os1=sin(受-1）且(-2)-（受-1）-受 1>0受>x-2>受-1>0，sin(x-2)>sim(径-1） 即sin2>cos1,D正确.] 变式训练 2.解：，sin(-320)=sin(-360°+40°)=sin40°， sin700°=sin(720°-20°)=sin(-20) 又画数y=snx在[一受，受]小上是增函餐， ..sin40>sin(-20°)， .sin(-320)>sin700°. [例3][解](1)：ymx=1一a, a<0, 又ym=1十a=-3,a=-4. (2)由(1)知，y=-4sinx十1.当5+2kπ≤x≤3+2k元，k∈ 2 2 Z时， 函数y=一4sinx十1递增， ∴.y=-4sinx十1的递增区间为 [受+2x,2+2kak∈z. 3)xe[-,,…[受+2x,竖+2km]k∈zn[-x, ]=[-,- 即当x∈[一π，元]时，y= 4sinx十1的递增区间为 [-,一 ]小 变式训练 3.解：由题意得sinx>0,所以2kπ<x<π十2kπ(k∈Z),令y= log2t,t=sinx.因为函数y=logt在(0，十o∞)上单调递增， 画数1=inx在（受十26，受十2x(k∈Z)上单调遂 增，所以函数y=log2sinx的单调增区间为 (2k元，乏+2kr）,k∈Z 随堂步步夯实 1.B[1-2a=sinx,.sinx∈[-1,1]， ∴sinE[0,1],0≤1-2a≤1，即0≤a≤.] 2.D 3.C[,'sin168°=sin(180°-12°)=sin12°， cos10°=sin(90°-10)=sin80°. .由正弦函数的单调性，得sin11°<sinl2<sin80°， 即sin11°<sin168°<cos10°.] 4.解析：当x=一受十2kx,k∈7时，(sin2）m=一1，此时 =5. 答案：-受+2，k∈75 5.解：设t=sinx,则t≤1， f(x)=g(t)=t-4t十5(-1≤t≤1)， g(t)=t-4t十5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图象开口向上， 对称轴t=2在区间[-1,1]右侧. 所以g(t)在[-1,1]上是单调递减的， 所以g(t)mx=g(-1)=(-1)2-4×(-1)十5=10， g(t)m=g(1)=1-4X1+5=2, 即g(t)∈[2,10]. 所以函数f(x)的值域为[2,10].