1.5.1.2 正弦函数的图象与性质再认识(二)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 .f(x)是周期函数，4就是它的一个周期. 的图象如图，它们均关于点（π，0）对称，由图象可 (2),4是f(x)的一个周期. 知它们在[一2π，4π]上有8个交点，且这8个交，点 .f(5)=f(1)=-5, 可分成4对关于点（π，0）对称的点，每对对称点的 .f(f(5)=f(-5)=f(-1) 横坐标之和均为2π，所以这8个点的横坐标之 -1 -11 和，即f(x)在区间[一2π，4π]上的所有零，点之和 f(-1+2)=f1)=5· 为8π，故选D.] 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.函数f(x)=(x-π)sinx+1在区间[-2π，4π]上 的所有零点之和为 () A.0B.元C.4π D.8π 解析：D[f(π)=0十1=1，所以π不是f(x)的 零，点.当x≠π时，令f(x)=(x-元)sinx十1=0， 可得sinx= 元文，作出画数y=sinr和y=1 第二课时正弦函数的图象与性质再认识（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 三角函数的性质是高考必考内容，通 最值 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 3.会求函数y=Asin(awx+p)的单调区间 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P25 [情境引入] 续表 生活中许多美好的事物都有 对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展 奇偶性 奇函数 翅就是一幅异常美丽的对称 周期性 最小正周期：2π 图案. 数学中的对称美也比比皆是，如 圆、等腰三角形、正方形、球、圆 +2x,受+2kx]水k∈Z)上递增： 2 柱、正方体等 单调性 问题正弦函数的图象也很美，它们有怎样的对称 [ 2 +2kπ](k∈Z)上递减 性？除此之外还有哪些性质呢？ 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形， 零点 kπ，k∈Z [知识梳理] [知识点] 正弦函数y=sinx的图象和性质 对称轴 x- -+kπ，k∈Z 名称 性质 y=sin x 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 定义域 R 2思考1.用正弦的周期性考查它们的单调性和最 值，你有何发现？ 图象 提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周 期2π的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期 值域 [-11 2π的整数倍，取得最大值的任意两个x的值相差 周期2π的整数倍，取得最小值的任意两个x的值 当且仅当x=受+2k,k∈Z时， 相差周期2π的整数倍. 2.从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小 最值 y=sinx的最大值ymx=l; 值点分别处在什么位置？ 当且仅当x= 3π+2k元，k∈Z时， 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于 y=sinx的最小值ymin=一1 图形拐弯的地方， ·39· 数学s·必修第二册 3.正弦函数在[一受，]上函数值的变化有什么特 [预习自测] 1.函数y=2sin(.x+2)的最大值是 点？推广到整个定义域呢？ A.-2 B.2 提示：观察图象可知： C.2sin 2 D.-2sin 2 当x[一受]时，曲线逸 答案：B 渐上升，是增函数，sinx的值 2.下列函数，在[受×]上是增函数的是 由一1增大到1； 1 当[受引时，曲线逐渐下降，是成画数 A.y=sin B.y=sin sinx的值由1减小到-1. C.y=sin 2x D.y=-sin z 推广到整个定义域可得 答案：D 当x【-受+2kx,受+2kx]k∈)时，正孩画 3.y=asin x十b(a>0)的最大值为3，最小值为一1， 则ab= 数y=sinx是增函数，函数值由一1增大到1； 解析：，sinx∈[-1,1]，且a>0, 当x[受+2x,受+2x小水k∈2刀时，正弦函数y 解得b=1, {a=2ah=2. =sinx是减函数，函数值由1减小到一 答案：2 课堂。互动学案 对应学生用书P26 题型一 正弦函数的值域 规律方法 [例1]求下列函数的值域： 1.求解形如y=asin x十b的函数的最值或值域 (1)y=sin-2 问题，利用正弦函数的有界性(-1≤sinx≤1) sin+ 求解，此时有-a十b≤y≤a+b. (2)求函数y=2sinx+2sinx-1的值域 2.求形如y=asin2x十bsin x十c,a≠0，x∈R的函 〔思路点拨]依正弦函数的定义域、值域求解. 数的值域或最值时，可以通过换元，令t=sinx,将 [解]()法-：y一n干 sin 2-2_sin x++1-3 原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法 sin x+1 求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的 有界性. =1 3 sin +1 ,sinx+1∈(0,2]， 3.求形如y csin十d,ac≠0的函数的值域，可 asin x+b ∴m[+ 3 以用分离常量法求解，也可以反解出y,利用正 弦函数的有界性建立关于y的不等式求解. 当sinx=1时，ymax= 之，故该函数的值城 ⊙[变式训练] 为(，] 1.)函数y=1+2sin,∈[，]的值域为 法二：由y sin x-2 sin x+1 ,得(sinx+1)y=sinx-2, A.[-1,1] B.[0,1] 即(1-y)sinx=y+2, c D.[0,2] 昆然y≠1，sinx (2)设a>0,对于函数f(r=sin+(0<<元)， .-1<sina≤1， sin x -1<21, 下列结论正确的是 ( -1y A.有最大值而无最小值 解得≤一 ，即函数的值城为（0，] B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 2将西配方释y-2(imx+)-号 D.既无最大值又无最小值 1 :-1≤sinx≤1，当sinx=-2时ym= :当 解析：1：晋≤≤晋 6 sinx=1时，ynmx=3. “-2≤sin≤70≤1十2sinx≤2，故函数的 “画数的值城为[一受3] 值域为[0,2]. ·40· 第一章三角函数 (2)因为0<<，所以0<sinx≤1，simz≥1，又 又画数y=sinx在[一受，] 上是增函数， 因为>0，所以画数f代)-n十=1十有 .sin40>sin(-20), sin x ∴.sin(-320)>sin700. 最小值而无最大值，故选B. 题型三 正弦函数的单调性及应用 答案：(1)D(2)B [例3]函数y=asin x+1的最大值为1一a,最小值 题型三 比较三角函数值的大小 为-3. [例2] 下列不等式中成立的是 (1)求实数a的值； A.sin )小>sin（制 (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[一元，π]，求该函数的递增区间 B.sin 3>sin 2 思路点拨了依题意区分a>0还是a<0,利用 7 C.sin5sin 正弦函数的单调性求解. D.sin 2>cos 1 [解]（1)：ymax=1-a, 汇思路点拨了把角化到同一单调区间，利用正弦 .a<0, 又ymin=1十a=-3,∴.a=-4. 函数的单调性比较， (2)由(1)知，y=-4sinx十1.当受十2kx≤≤ π [解析]D[:吾<一<一吾<0∴sm() +2kπ，k∈Z时， m（)A错误，受<2<3<xm2>in3B错 函数y=一4sinz十1递增， .y=一4sinx十1的递增区间为 误n吾-血（+）m鲁-m(),C错 [受+2x,+2kx]∈z. 误：sn2=n(-2),os1=sin（受-且(x-2) (3):x∈[-，x]…[受+2kx,+2kx]k∈Z -（5-1=受-1>0，受>x-2>受-1>0， n[-x]=[-x,-]U[登] .sin (-2)>sin sin 2>cos 1,D 即当x∈[-元，π]时，y=一4sin十1的递增区间 正确.] ,][受] 为 规律方法 规律方法 比较三角函数值大小的方法 1.求形如y=asin x十b的三角函数的单调区间. (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导 当a>0时，其单调区间与y=sinx的单调区 公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利 间相同，当a<0时，其单调区间与y=sinx的 用函数的单调性比较， 单调区间相反， (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先利用 2.求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 诱导公式将名称化为一致.然后再利用正弦函 则，但要注意函数的定义域 数的单调性进行比较，当角不在同一个单调区 ◇[变式训练] 间时，再利用诱导公式将角转化为同一单调区 3.求y=log2sinx的单调递增区间. 间内.对于正弦函数，一般将两个角转化到 解：由题意得sin>0,所以2kπ<x<元十2kπ(k∈ ][]内 Z),令y=log2t,t=sinx.因为函数y=log2t在(0， 十o∞）上单调递增，函数t=sinx在 ◇[变式训练] 2.比较sin(-320°)与sin700的大小， (-受+2x,受+2x,(∈)上单洞递增，所以 解：，sin(-320)=sin(-360°+40)=sin40°， 函数y=log2sinx的单调增区间为 sin700°=sin(720°-20°)=sin(-20°) 2kx,+2xk∈ 对应学生用书P27 ●1 随堂。步步夯实 1.已知sin2x+2a一1=0，则a的取值范围是( 解析：B[1-2a=sin2x,.sinx∈[-1,1]， A.[0,1] B[p2] .sin2x∈[0,1]， c.(0.) D.(0,1) 01-24≤1.脚0≤a≤分] ·41· 数学s·必修第二册 2.y=2sinx一3，x∈R的减区间为 4.已知函数y=一3sinx十2，当x= 时，y有 A{受+2k≤≤受+2，∈z 最大值等于 解析：当x=一牙+2k元，k∈Z时，(simx)m=-1, B{-受+2kx≤1≤号+2x,∈Z 2 此时ymax=5. C[-5+2m,受+2kx]小∈z 答案：-5十2km,k∈Z5 D[度+2k,+2k小keZ 5.求函数f(x)=sinx-4sinx+5的值域. 解：设t=sinx,则t≤1， 答案：D f(x)=g(t)=t-4t+5(-1≤t≤1)， 3.下列关系式中正确的是 g(t)=t-4t十5的对称轴为t=2. A.sin11°<cos10°<sin168 因为g(t)的图象开口向上， B.sin168°<sin11°<cos109 对称轴t=2在区间[一1,1]右侧. C.sin11°<sin168°<cos10 所以g(t)在[-1,1]上是单调递减的， D.sin168°<cos10°<sin11° 所以g(t)mx=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5 解析：C[.sin168=sin(180°-12)=sin12°， =10, cos10°=sin(90°-10°)=sin80°. g(t)mm=g(1)=1-4×1+5=2, ∴.由正弦函数的单调性，得sin11°<sin12°< 即g(t)∈[2,10]. sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.] 所以函数f(x)的值域为[2,10]. 课后。素养提升 对应学生课时P17 基础过关 JI CHU GUO GUAN 4.函数y=一sin,[-，]的简图是( 1.若sinx=一1，且0≤x≤2元，则x ( A号 B受 C.0 D.元 答案：B 2.函数y=-2sin )的周期、振幅、初相分 别是 ) A.4,-2,5 B.8x,-2,号 C.4,2-晋 D8x,2,-晋 解析：D D 所以周期T= 2红=8元，振幅A=2,初相9=一 解析：D[由y=sinx与y=一sinx的图象关于 x轴对称可知选D.] 4 5.方程x十sinx=0的根有 3.将函数y=sin2x的图象向右平移罗个单位，所得 A.0个 B.1个 图象对应的函数是 C.2个 D.无数个 A.奇函数 解析：B[设f(x)=一xg（x)=sinx,在同一直 B.偶函数 角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示 C.既是奇函数又是偶函数 由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程 D.非奇非偶函数 x十sinx=0仅有一个根. 向右平移受个单位 解析：A [y=sin 2x -sin x sin(2x-x)=-sin(x-2x) --sin 24. 由于-sin(-2.x)=sin2x,所以是奇函数.] ·42· 第一章三角函数 6.(多选)已知sinx=2且x∈[0,2x],则x等于 10.判断下列每组中两个三角函数值的大小. (1)sin(-3)与sin(-2); (2)sin c晋 D.IE 解：1=n在[受] 上是减函数， 解析：AB[根据正弦函数的图象，在[0,2π]内， <-3<-2<-受 2 sin1=号的解为x=晋成x= ∴.sin(-3)>sin(-2). 7.如果方程sinz=a在x∈[后x]上有两个不同的 解，则实数a的取值范围是 解析：画出y=sin,x∈[x]的图象，如图 “y=sinx在[-受，]上是增画数，且-乏< 所示 882 号≤a<1时，直线y=a与y=sinx,x∈ 11.求函数f(x)=sin(元十x)十sinx一1的最大值和 [晋x交于两点，故<a<1. 最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. 解：f(x)=sin(π十x)+sinx-1=sin2x-sinx 答案：日 1,令=sinx,则y=11=（) 8.方程sinx=lgx的解的个数是 解析：用五，点法画出函数y=sinx,∈[0,2π]的图 t∈[-1,1]. 象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y 因为-1<≤1，所以-号<<1， sinx的图象 描出点（品 1(1,0)(10,1)并用光滑曲线连 所以ymx=1,此时sinx=一1，x= 受+2kx 接得到y=lgx的图象，如图所示. k∈Z: 所以ymm= 子此时sinr 22 +2kπ，k∈ 6 01 2T 3n0 Z或x=5+2k元，k∈Z. 6 由图象可知方程sinx=lgx的解有3个. 能力提升 NENG LI TI SHENG 答案：3 9.函数y= /sin 2 的定义域是 值域是 12.求函数yog。1的定义域， 解：为使函数有意义，需满足 解析：，sinx一 1 2 ≥0，即sinx≥ ,结合正弦函数 1 1 (log2 sin 1☑0即】 的图象， (sin x>0, (sin 2>0. 得后+2x≤≤晋+2，∈7 正弦函数图象如图所示， √m一的定义战为 {红晋+2+e 0 即城为0，号 定义城为{2≤2x+ 答案：{+x≤≤ 5+2k,k∈Z 0, 2 U{2十≤<2kx十x∈} ·43· 数学s,·必修第二册 13.求函数y=sim红-3sinx+1,x∈[一登，餐]的 则f(x)=-2sinx. 14sinx,x∈[0，π]， 值域 所以f(x)= {-2sinx,x∈（π，2x]. 解：当【晋]时， 其图象如图所示， sin re 则=-+1[] 而y=-3+1在 吾，上单两道减清以东 得值域为 1,7+6 0 4 素养培优 (2)由f(x十2r)=sin(x+2x)+3sin(x+2π) SU YANG PEI YOU =sin +3 sin |=f(x), 14.已知函数f(x)=sinx十3sinx. 可知2π为函数f(x)的一个周期， (1)用分段函数形式写出fx)在[0,2π]上的解析 结合(1)中图象可得2π为函数f(x)的最小正周 式，并画出其图象； 期.由图可得，x∈[0,2π]时，函数f(x)的单调递 (2)求f(x)(k∈R)的最小正周期及其单调递增 区间. 增区同为[][x,受] 解：(1)当x∈[0，π]时，sinx≥0，sinx=sinx, 又f(x)的最小正周期为2x,故函数f(x)的单调 则f(x)=4sinx; 当x∈(r,2r]时，sinx≤0，sinx=-sinx, 递增区间为[kx,受十x]k∈Z). 第三课时正弦函数的图象与性质再认识（三） 课程标准 素养解读 1.通过“五点法”作函数图象培养学生数学直观 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法” 素养 画正弦函数的图象 2.根据正弦函数的图象的简单应用提升逻辑推 2.会用正弦函数的图象解简单问题 理和数学抽象素养 课前。预习学案 对应学生用书P28 [情境引入] (2)正弦函数图象的画法， 如图所示，装满细沙的漏 ①几何法： 斗在做单摆运动时，沙子落在 (i)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的 与单摆运动方向垂直的运动 图象； 木板上的曲线轨迹 y=sinx,x∈[0,2m] 问题图中细沙形成的曲线 3π T 2T 是什么曲线类型？ 提示：细沙在木板上形成的曲线是正弦型函数的 曲线 （ⅱ)将图象向左、向右平行移动（每次2π个单位 [知识梳理] 长度) [知识点]正弦曲线 ②“五点法”： (1)正弦曲线 （1)画出正弦曲线在[0,2x]上的图象的五个关键 正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线， 点(0,0)， y↑y=sinx,x∈R 1,0受小20.用光 滑的曲线顺次连接； (ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动（每次2π个 单位长度) (3)定义域：R;值域：[-1,1]. ·44·