1.5.1.1 正弦函数的图象与性质再认识(一)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 §5.正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 第一课时正弦函数的图象与性质再认识（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 通过探索正弦函数y=sinx的周期 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角函 性、奇偶性，重点提升直观想象、逻辑 数的奇偶性 推理和数学抽象素养 ● 课前。预习学案 [情境引入] 第二步：从圆O1与x轴的交点A起把圆弧 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后 分成12等份： 是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点 第三步：过圆O1上各分点分别作x轴的垂 钟.因为你很清楚，0点、1点、2点、3点…23 点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星 线，得到对应于角0，晋，号登…，2红等分点 期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还 的正弦值； 是星期一.因为你很清楚，星期一、星期二…星 第四步：相应地，再把x轴上从0到2π这一 期天，每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重 段分成12等份； 复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天” 第五步：再把角x所对应的正弦线向右平移， “7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周 使它的起点与x轴上表示数x的点重合； 期现象.自然界中有很多周期现象，如日出日落、 第六步：最后用光滑曲线把这些正弦线的终 月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是否 有这样的周期性呢？ 点连接起来，就得到了正弦函数y=sinx, 继续探究： x∈[0,2π]的图象 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： (2)五点法作正弦函数的图象，五个点为(0,0)， y 〔1以(，0 -1 3π (2，0) 2.正弦函数的性质 -2-101234x (1)定义域：R (2)周期性：最小正周期为2π. (1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复 出现？ (3)单调性：单调增区间：[2x一艺，2x+艺] (2)由诱导公式： (sin(+2kx)=sin a,(kEZ) (k∈Z), \cos(x+2kπ)=cosx, 结合正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎样 单调减区间：[2x+受，2元+]水k∈Z. 的特征？图象变化趋势是怎样的？ (4)值域：[-1,1]. 当且仅当x=2x十(k∈Z)时，正弦函数 [知识梳理] y=sinx取得最大值l; 1.正弦函数的图象 当且仅当x=2k元- (k∈Z)时，正弦函数 (1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下： 第一步：如图所示，在直角坐标系的x轴的负 y=sinx取得最小值-l. 半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆； (5)奇偶性：正弦函数y=sinx在R上是奇 函数. (B)y=sinx,x∈[0,2m 3m T (6)对称性：对称轴x=m十，k∈Z,对称中心 (kπ，0)，k∈Z ·22· 第一章三角函数 五维课堂 ?思考1.一2π是正弦函数的周期吗？ [预习自测] 1.若函数f(x)=sin wx(w>0)的周期为元，则w 2.正弦函数的对称轴之间的距离有什么特 2.函数f(x)=1+sinx的最小正周期是( 点？对称中心呢？ A.罗 B.元 c受 D.2π 3.函数y= 2sin.x为 函数（填奇或偶）】 课堂。互动学案 题型一 正弦函数的周期性 ⊙[变式训练] [例1]求下列函数的周期： 1.判断等式sin - +)=sm()是吞成 x_π (D)y=2sin(2)y=Isin l. 立？如果成立，能否说明买是函数y=sinx [思路点拨](1)可用定义法或公式法求周 的周期？ 期，(2)可用图象法或定义法求解. 题型二 正弦函数的奇偶性 例2]判断下列函数的奇偶性： (1)f(.x)=√2sin2x; (2)f(x)= in+月 规律方法 思路点拨首先求出函数的定义域，在定 求三角函数的周期的方法 义域关于原点对称的前提下，根据∫（一x) (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对 与f(x)及-f(x)的关系来判断. 任意实数x都满足f(x十T)=f(x)的 非零常数T.该方法主要适用于抽象 函数. (2)公式法：对形如y=Asin(w.x十p)和y =Acos(wx十p)(其中A,w,9是常数， 且A≠0，w>0)的函数，可利用T=2π 来求 (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图 象判断函数的周期，特别是对于含绝对 值的函数一般采用此法 三种方法各有所长，要根据函数式的结构 特征，选择适当方法求解，为了避免出现错 误，求周期之前要尽可能将函数化为同名 同角三角函数： ·23· 世五维课堂 数学s·必修第二册 规律方法 汇思路点拨]根据周期性，把要求角转化到 (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函 已知角范围中求解. 数的定义域，看定义域是否关于原点对 称，再根据解析式判断f(x)与f(一x) 的关系，并根据奇偶性的定义作出判 断，对于三角函数，要特别注意诱导公 式的应用. (2)若已知f(x)=Asin(ux+p)(或Acos(ax 十©)为偶函数，则x=0是其对称轴， 则f(0)=士A;若已知f(x)=Asin(w.x 十p)(或Acos(wx十p)为奇函数，则 (0,0)是其对称中心，则f(0)=0 ⊙[变式训练] 2.判断下列函数的奇偶性 (1)y=sinx,x∈(-元，2r); (2)y=sin +1; 规律方法… (3)y=sin 3.x. 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的 方法 利用函数的周期性，可以把x十nT(n∈ Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇 偶性，可以找到一x与x的函数值的关 系，从而可解决求值问题， 2.判断y=Asin(ux十p)或y=Acos(ux十p) 是否具有奇偶性的关键 判断函数y=Asin(wx十p)或y=Acos(ax 十)是否具备奇偶性，关键是看它能否通 过诱导公式转化为y=Asin wx(Aw≠0)或 y=Acos w(Aw≠0)其中一个 ◇[变式训练 3.(1)已知函数f()=2simx+年+9是奇函 数，则9的值可以是 ( A.0 B一 题型三正弦函数的奇偶性与周期性的应用： c号 D.π [例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是 周期函数，若f(x)的最小正周期是元，且当 (2)函数f(x)为偶函数且f(+) x∈[0，]时，f)=sinz,求f()的值， f()=1,则() ●1 随堂。步步夯实 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 A.奇函数 22 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的 分263主 一部分，其中是周期函数的是 () ·24· 第一章三角函数 五维课堂到 3.设函数f(x)=sin2x-)则fx)是 5.判断下列函数的奇偶性。 (1)y=sinxl; ( A.最小正周期为π的奇函数 2y=co(竖+小 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 4.函数f(x)=sin(x十0)在[0，π]上为增函数，则 0的值可以是 ( ) A.0 B C. n号 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 第二课时 正弦函数的图象与性质再认识（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 最值 三角函数的性质是高考必考 内容，通过应用，提升学生逻 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 辑推理和数学运算素养 3.会求函数y=Asin(wx十o)的单调区间 课前。预习学案 [情境引入] 续表 生活中许多美好的事物 名称 都有对称性，如漂亮的蝴蝶， 性质 y=sin x 它停飞展翅就是一幅异常美 丽的对称图案. 值域 数学中的对称美也比比皆是， 如圆、等腰三角形、正方形、 当且仅当 时， 球、圆柱、正方体等 y=sinx的最大值ymax= 最值 问题正弦函数的图象也很美，它们有怎样的对 当且仅当 时， 称性？除此之外还有哪些性质呢？ y=sinx的最小值ymin= 奇偶性 周期性 最小正周期：2π [知识梳理] 上递增； [知识点]正弦函数y=sinx的图象和性质 单调性 上递减 名称 性质 y=sin x 零点 定义域 对称轴 T=I 十kπ，k∈Z 图象 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ·25·世五维课堂 2.A[因为cosa十)=-osa=-号，所以c0s=号所以 sin(-&一2）=osa=号] 3.C[因为sim(+受)-os,os(e) cos[x+(受-a)] =一sina,所以原式 cosa(-sina)=-sin acos a,故选C.] 4.解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5)十cos(180°-5°) =c0s5°-c055°=0. 答案：0 5.解：方程5x2-7x-6=0的两根为x1=一 5=2， 3 由a是第三象限角，得sina=一亏 则cosa=- 4 sm(。)s(受- cos(径-a小sin(受+a） sim(受-eos(受+a sin acos a -cos a(-sin a) -1. sin acos a §5.正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 第一课时正弦函数的图象与性质再认识（一） 课前预习学案情境引入 (1)提示：每相隔1个单位重复出现. (2)提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图 象发生“周而复始”的变化 知识梳理[思考] 1.提示：是2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期， 2.提示：对称轴之间的距离相差了π的整数倍.对称中心之间 也相差了π的整数倍. 预习自测 1.22.D3.奇 课堂互动学案 [例1[解]1)：2sin(行-看+2x）2sm(信-看) 即2sm[号u+6)-]-2in(-吾) =2sin(-)的网期是6元 (2)'sin(+)=-sin z=sin l. .函数y=sinx的周期是π 变式训练 1.解：sim(晋+）=sn誓=sin(+晋)】 =-sin， 而sim(号)-sin导 上述等式成立 但不能说明受是y一snx的周期。 理由如下：若为y=sinx的周期， 则对任意实教x都有sin(x十）=sinx, 但当=0时，sm(晋）≠sn, 所以晋不是y=inx的周期， ·2 数学s·必修第二册 [例2][解](1)显然x∈R, f(-x)=√2sin(-2x)=-√2sin2x=-f(x), ∴.函数f(x)=√2sin2x是奇函数. (2eR,)=n(受+号 =-cos3。 ∴.f(-x)=-c0s 3(-x)= 4 3=f(x) :通教fx)=sn(停+受)是偶西数。 变式训练 2.解：(1)y=sinx,x∈(-π，2π)， 定义域不关于原点对称， ,y=sinx,x∈（一π，2π）为非奇非偶函数. (2)y=sinx+1,x∈R, :f(）=2,f(-)=0. ∴(-)≠f()(-)≠-() 所以y=sinx十l为非奇非偶函数， (3)y=sin3x,x∈R, f(-x)=sin[3(-x)=sin(-3x)=-sin 3x=-f(x), ,y=sin3x为奇函数 [例3][解]：f(x)的最小正周期是π， “f()=f(-2)=f(-受)片 :f(x)是R上的偶函数， (专)f(得)=m吾-9 (悟)受 变式训练 3.(1)B[f(x)=Esim(+年十9）为寺函教，则只需平十9 =km,k∈Z,从而g=km-平，k∈Z 显然当k=0时，9=一于满足题意.] (2)解析：“f(+受）=-x心fx+x)=f(),即T= ()-f(-2x)=f(-) =()=1. 答案：1 随堂步步夯实 1.A[由于x∈R,且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数.] 2.ABC[对于D,x∈（一1,1）时的图象与其他区间图象不同， 不是周期函数.] 3.B[因为f(x)=sin(2x-)=-sin（乏-2z） 一cOs2x,所以该函数的最小正周期为π，且为偶函数，故选B.] 4.D[当0=0时，f(x)=sinx在[0，π]上不单调，故A不正 确；当9=受时，f(x)=c0sx在[0]上单调递减，故B不正 确；当=π时，f(x)=一sinx在[0，π]上不单调，故C不正确； 当0=经时，f(x)=-c0sx在[0，]上单调递增，故D 正确.] 5.解：(1)y=sinx,定义域为R. .f(-x)=sin(-z)=-sin =sin l=f(z), ,y=sinx是偶函数. 2g=co(受+m,定义城为R “y=60(受十）为寺画载 6