1.5.1.1 正弦函数的图象与性质再认识(一)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s·必修第二册 13.已知角a的终边过点P(1,√). 素养培优 SU YANG PEI YOU (1)求sin(元-a)- n(g+o的值： 14.化简：ink-a)cos[-)x-a(k∈ZD. (2)写出角a的集合S sin[(k十1)x+a]cos(kπ十a) 解：a的终边过点P(1,√3)， 解：当k=2n(k∈Z)时， 2=1,y=5, 原式=sin(2mr-a)cos[(2n-1)r-e sin(2n+1)π+a]cos(2nπ+a) r=√1十3=2， =sin(-a)·cos(-元-a) 六sina=义=3 2,c0sa=2 sin(π+a)·cosa =-sina·(-cosa）=-l; (1)sin (x-a)-sin (+a= -s1na·cosa sin a-cos a 当k=2n十+1(n∈Z)时，原式= =3-1 sin[(2n+1)π-a]·cos[(2n+1-1)π-a] 2 sin[(2n+1+1)π+a]·cos[(2n+1)元+a] (2)若a∈[0,2π]，由sina= 2,cosa=7,得a sin(π-a)·cos a sin a·cosa =-1 sina·cos(r+a) sina·(-cosa) 若，故角a的集合S={知a=2kx+于k∈Z, 综上，原式=一1. §5.正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 第一课时正弦函数的图象与性质再认识（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 通过探索正弦函数y=sinx的周期性、奇偶性， 重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养 函数的奇偶性 课前。预习学案 对应学生用书P22 [情境引入] (2)由诱导公式： 1sin(x十2k)=sinx'(k∈Z)结合 如果现在是早上9，点钟，问你：24小时以后是几 (cos(x+2kπ)=cosx, 点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为 正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎样的特征？ 你很清楚，0点、1点、2点、3点…23点，每隔24小 图象变化趋势是怎样的？ 时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 后是星期几？你也会回答：还是星期一.因为你很清 现，图象发生“周而复始”的变化 楚，星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现 [知识梳理] 一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如 1.正弦函数的图象 “24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所 (1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下： 熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出 第一步：如图所示，在直角坐标系的x轴的负半轴 日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是 上任取一点O,,以O,为圆心作单位圆： 否有这样的周期性呢？ (B)y=sinx,xE[0,2] 继续探究： 3m 2π 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： 第二步：从圆O,与x轴的交点A起把圆弧分成 01234x 12等份： 第三步：过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得 (1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现. 到对应于角0，晋，营受…，2x等分点的正弦值： ·34· 第一章三角函数 第四步：相应地，再把x轴上从0到2π这一段分 (5)奇偶性：正弦函数y=sinx在R上是奇函数. 成12等份； 第五步：再把角x所对应的正弦线向右平移，使它 (6)对称性：对称轴x=x十受，k∈乙，对称中心(x, 的起点与x轴上表示数x的点重合； 0),k∈Z. 第六步：最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连 ?思考1，一2x是正弦函数的周期吗？ 接起来，就得到了正弦函数y=sinx,x∈[0,2x] 提示：是2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期. 的图象 2.正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点？对 (2)五点法作正弦函数的图象，五个点为(0,0)， 称中心呢？ （1x0 (2π，0) 提示：对称轴之间的距离相差了元的整数倍.对 2.正弦函数的性质 称中心之间也相差了元的整数倍. (1)定义域：R [预习自测] (2)周期性：最小正周期为2π. 1.若函数f(x)=sin wx(w>0)的周期为π， (3)单调性：单调增区间：[2k元一 ,2kx+]∈， 则w 解桥：由同期了-行得西 =元，解得w=2. 单调减区间：[2k元十交，2x十 答案：2 (4)值域：[-1,1]. 2.函数f(x)=1+sinx的最小正周期是 当且仅当x=2kπ十 (k∈Z)时，正弦函数y=sin A号 B.元 C.3x D.2x 取得最大值1； 答案：D 当且仅当x=2kπ一 (k∈Z)时，正弦函数y=sinx 3.函数y= 2sin2为 函数（填奇或偶）. 取得最小值-1. 答案：奇 课堂 互动学案 对应学生用书P23 正弦函数的周期性 规律方法 题型一 求三角函数的周期的方法 [例1幻求下列函数的周期： (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实 ay=2sn(告-看）：2y=sin 数x都满足f(x十T)=f(x)的非零常数T. 该方法主要适用于抽象函数 [思路点拔了“()可用定义法或公式法求周期， (2)公式法：对形如y=Asin(awx十9)和y (2)可用图象法或定义法求解。 Acos(awa十p)(其中A,w,9是常数，且A≠0， [解](1)法一： w>0)的函数，可利用T=2红来求. .2sin (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断 函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般 采用此法。 =2sin(一)的周期是6 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选 择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前 法二： 要尽可能将函数化为同名同角三角函数 :2不=6元，函数y=2sin 的周期是6π. ⊙[变式训练] 3 1.判新断等式sn(亭+)=sn()是否成立g (2)法一： .sin(+)=-sinl=sin zl. 如果成立，能否说明是函数y=sinx的周期？ ∴.函数y=sinx的周期是r. 法二： y=|sinx的图象如图所示. y sin 3 而sin(-)-sin 上述等式成立， ∴.y=sinx的周期是元. 但不能说明号是y=smx的周期。 35 数学s·必修第二册 理由如下：若受为y=inx的周期， 题型三正弦函数的奇偶性与周期性的应用]} [例3]定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期 则对任意实数x都有sinx十5 3 =sin 函数，若f(x)的最小正周期是元，且当x∈ 但当=0时，sim(+）≠sinx, [0,受]时f)=sinx,求f(的值， 汇思路点拨]根据周期性，把要求角转化到已知 所以5不是y=sinx的周期. 角范围中求解 3 题型二 正弦函数的奇偶性 图)=(-2小()-( [例2]判断下列函数的奇偶性： [解]，f(x)的最小正周期是π， (1)f(.x)=√2sin2.x; ∴)（警-2f) (2r)=sn(学+ :f(x)是R上的偶函数， [思路点拨]首先求出函数的定义域，在定义域 ()()m营- 关于原点对称的前提下，根据f(-一x)与f(x)及 f(x)的关系来判断 ) [解](1)显然x∈R, 规律方法 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 f(-x)=√2sin(-2x)=-√2sin2x=-f(x), 利用函数的周期性，可以把x十nT(n∈Z)的函 .函数f(x)=√2sin2x是奇函数. 数值转化为x的函数值.利用奇偶性，可以找 2eR.=m(任+ 34 到一x与x的函数值的关系，从而可解决求值 -cos 41 问题. ∴.f(-x)=-cos 3(-x) 2.判断y=Asin(wx十9)或y=Acos(awx十g)是 cos 4 4 =f(x), 否具有奇偶性的关键 +)是锅画数。 判断函数y=Asin(a十p)或y=Acos(a十p)是 .函数f(x)=sin 否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转 规律方法 化为y=Asin wx(Aw≠0)或y=Acos w(Aw≠0) (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定 其中一个 义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式 ◇[变式训练] 判断f(x)与f(一x)的关系，并根据奇偶性的定 3.(1)已知函数f(x)=巨sim(x+牙十9是奇函数， 义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式 则9的值可以是 的应用. (2)若已知f(x)=Asin(aa十p)(或Acos(a十p)为 A.0 B一 偶函数，则x=0是其对称轴，则f(0)=土A;若 已知f(x)=Asin(wx十p)(或Acos(wx十9)为奇 c D.x 函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)=0. 解析：B[法一：f(x)=厄sin(e+至+9为奇画 ◇[变式训练] 2.判断下列函数的奇偶性 数，则只需平十9=元，k∈Z,从而9=x一于， (1)y=sinx,x∈（-元，2x); (2)y=sin a+1; k∈Z.显然当k=0时，9=-不满足题意. (3)y=sin3. 法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即 解：(1)y=sinx,x∈(-元，2元)， Esin（至+9=0，所以9+至=，k∈7，即9 定义域不关于原点对称， .y=sinx,x∈(-元，2π)为非奇非偶函数. -k∈.令k=0,则g=-至] (2)y=sinx+1,x∈R, :()2(-0. (2)函数f()为偶函数且f(+)=-f(), f()=1,则r() “))()≠-() 解析：f+)=一f),fx十x)=f(), 所以y=sinx十1为非奇非偶函数。 (3)y=sin3x,x∈R, 即T管)管2（音】 f(-x)=sin[3(-x)]=sin(-3.x)=- sin 3x =-f(x), =)1 .y=sin3.2为奇函数. 答案：1 ·36· 第一章三角函数 ● 随堂⊙步步夯实 对应学生用书P24 1.函数f(x)=sin(一x)的奇偶性是 A.奇函数 解析：B[因为f)=sin(2x-受)=-sin(受-2) 2 B.偶函数 =一cos2x,所以该函数的最小正周期为π，且为偶 C.既是奇函数又是偶函数 函数，故选B.门 D.非奇非偶函数 4.函数f(x)=sin(x+0)在[0，π]上为增函数，则0的 解析：A[由于x∈R,且f(一x)=sinx= 值可以是 ) 一sin(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数.] 2.(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部 A.0 B受 C.π D. 分，其中是周期函数的是 ( ) 解析：D[当0=0时，f(x)=sinx在[0，π]上不单 PPPAPPPPP 4-3-2-101234x 21 、12 调，故A不正确：当0=受时，f)=c0sx在[0，x] A 上单调递减，故B不正确；当0=元时，f(x)=一sinx y 在[0，上不单调，故C不正确；当0=要时，f(x)= 金2 金613主 -一cosx在[0，π]上单调递增，故D正确.] 5.判断下列函数的奇偶性. 解析：ABC[对于D,x∈（一1,1）时的图象与其他 (1)y=sin x 区间图象不同，不是周期函数.] 3.设函数fx)=sim2x一)，则f)是 (2y=ca(+小 ( 解：(1)y=sinx,定义域为R A.最小正周期为π的奇函数 .'f(-x)=sin(-x)=-sin =sin x=f(z), B.最小正周期为元的偶函数 y=sinx是偶函数. C.最小正周期为的奇函数 (2)y=cos 艺十x=sin2x,定义城为R D.最小正周期为乏的偶函数 ..y=cos +为奇通数。 课后。素养提升 对应学生课时P15 基础过关 4.函数f(x)=x十sinx,x∈R ( JI CHU GUO GUAN A.是奇函数，但不是偶函数 1.函数y=sin 4x+3 π的周期是 ( ) B.是偶函数，但不是奇函数 A.2π B.元 C.既是奇函数，又是偶函数 c号 D.至 D.既不是奇函数，又不是偶函数 解析：A[f(x)的定义域为R,关于原点对称.又 解析：C [T-不-5 因为f(-x)=-x十sin(一x)=一x-sinx= 一(x十sinx)=一f(x),所以f(x)为奇函数，但不 2.下列函数中是奇函数的是 是偶函数.] A.y=-sin B.y=sin(-z) 5.函数f(x)=3|sinx|十2sinx的最小正周期为 C.y=sin x D.y=xsin ( ) 解析：D[利用定义，显然y=asin |a是奇函数.] 3.在[0,2x]上，满足snx≥的x的取值范围是 A.元 B.3r 2 2 C2π D.4元 解析：C[由题意知f(x)= A[o,] [] (5sinx,2kπ≤x≤π+2k元， c[] [] -sinx,2kπ十元<x≤2r+2kx(k∈Z), 画出函数图象如图所示，由图可知最小正周期 解析：B[在同一直角坐标 为2元.] 系内作出y=sinx和y= 2 [2的图象如图所示，观察图 424 π2mx 2 -1 象并求出交点横坐标，可得 42 到x的取雀范国为[停，引门 ·37· 数学s·必修第二册 6.(多选)下列函数中，周期为于的是 法二：f()=sin2x+晋)的周期为受=元 2 Ay=sm号 B.y=sin 2x (2)作出y=|sin2.x的图象. C.y=sin 4x+1 D.y=sin (-4x) 解桥：CD[T=27-受] 3-1 7.函数f)=sin号，则f1)+f(2)+f(3)+十 所以该画数的最小正周期为受。 f(2025)= 11.判断下列函数的奇偶性： (1)f(z)=lg(1-sin x)-1g(1+sin ) 解析：f(x)=sin于，的周期T-2s=6. (2)f(x)= 1十sinx-cosx 3 1+sin .f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025) 解：1)由-sin之0：得-1<sn<1. =335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)] 1+sin z>0, +f(2023)+f(2024)+f(2025)= 解得定义战为{z∈R且x≠π+受，k∈Z} (知号+血子十如号m十血a剑 5 ∴f(x)的定义域关于原点对称 +f(337×6+1)+f(337×6+2)+f337×6+3) 又，f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx) =335×0+f(1)+f(2)+f(3) f(-z)=Ig[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-z)] 2 =1g(1+sin z)-Ig(1-sin x)=-f(a). =sin音+sin号x+sinx= .f(x)为奇函数. 答案：√3 (2).1+sinx≠0，∴.sinx≠-1， 8.若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)= ∴r∈R且x≠2kx-受∈Z. sinx,则f(x)的解析式是 定义域不关于原点对称， 解析：当2<0时，-x>0,f(-x)=sin(-x)=一sinx. ∴该函数是非奇非偶函数 :f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=fx),∴当x <0时，f(a)=-sinx..f(x)=sinx|,x∈R. 能力提升 NENG LI TI SHENG 答案：f(a)=sinx,x∈R 12.已知函数f(x)=log|sin. 9.函数y=2sinx+1的图象的对称中心是 (1)求其定义域和值域； 对称轴方程为 (2)判断其奇偶性； 解析：由正弦函数的对称性可知y=six的对称中心为 (3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正 m,0,k∈乙，对称轴为直线x=受十标，∈乙 周期. 解：(1)sinx>0, y=2sinx十1的图象是由y=sinx的图象向上平移 .sinx≠0，∴.x≠kπ，k∈Z 一个单位，再纵坐标伸长到原来的2倍得到，故y= .函数的定义域为{xx≠kπ，k∈Z}. 2sinx十1的对称中心为(kπ，1)，k∈Z,对称轴方程 :0<sinx≤1，.log4sinx|≥0， 是直线x=受十，k∈7 .函数的值域为{yy≥0}. (2)函数的定义域关于原点对称， 答案：（质x,l),k∈7x=受+kx,k∈乙 ,f(-x)=log号sin(-x)川 10.求下列函数的周期： =log sin =f(x), （2x+)xeR: 函数f(x)是偶函数 (1)y=sin (3).'f(+)=log sin(z+) (2)y=sin2x(x∈R). =log sin =f(x), 解：)法-：令2=2z+于：x∈R∈R 函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π. 13.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x十2) 函数f(x)=sin之的最小正周期是2r, fxfa)≠0). 1 就是说变量之只要且至少要增加到之十2π， 函数f(x)=sinz(z∈R)的值才能重复取得， (1)求证：函数f(x)是周期函数： 而十2x=2x+5十2x=2(x+x)+背，所以自变 (2)若f(1)=-5,求f(f(5))的值 量x只要且至少要增加到x十π，函数值才能重复 解：(1)证明：，f(x+2)= f(x)' 取得，从万画数f)=m(2z+ER)的周 1 1 ∴.f(x+4)= f(x+2) 1 =f(x), 期是元. f(x) ·38· 第一章三角函数 .f(x)是周期函数，4就是它的一个周期. 的图象如图，它们均关于点（π，0）对称，由图象可 (2),4是f(x)的一个周期. 知它们在[一2π，4π]上有8个交点，且这8个交，点 .f(5)=f(1)=-5, 可分成4对关于点（π，0）对称的点，每对对称点的 .f(f(5)=f(-5)=f(-1) 横坐标之和均为2π，所以这8个点的横坐标之 -1 -11 和，即f(x)在区间[一2π，4π]上的所有零，点之和 f(-1+2)=f1)=5· 为8π，故选D.] 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.函数f(x)=(x-π)sinx+1在区间[-2π，4π]上 的所有零点之和为 () A.0B.元C.4π D.8π 解析：D[f(π)=0十1=1，所以π不是f(x)的 零，点.当x≠π时，令f(x)=(x-元)sinx十1=0， 可得sinx= 元文，作出画数y=sinr和y=1 第二课时正弦函数的图象与性质再认识（二） 课程标准 素养解读 1.掌握y=sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 三角函数的性质是高考必考内容，通 最值 2.掌握y=sinx的单调性，并能利用单调性比较大小 过应用，提升学生逻辑推理和数学运 3.会求函数y=Asin(awx+p)的单调区间 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P25 [情境引入] 续表 生活中许多美好的事物都有 对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展 奇偶性 奇函数 翅就是一幅异常美丽的对称 周期性 最小正周期：2π 图案. 数学中的对称美也比比皆是，如 圆、等腰三角形、正方形、球、圆 +2x,受+2kx]水k∈Z)上递增： 2 柱、正方体等 单调性 问题正弦函数的图象也很美，它们有怎样的对称 [ 2 +2kπ](k∈Z)上递减 性？除此之外还有哪些性质呢？ 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形， 零点 kπ，k∈Z [知识梳理] [知识点] 正弦函数y=sinx的图象和性质 对称轴 x- -+kπ，k∈Z 名称 性质 y=sin x 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 定义域 R 2思考1.用正弦的周期性考查它们的单调性和最 值，你有何发现？ 图象 提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周 期2π的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期 值域 [-11 2π的整数倍，取得最大值的任意两个x的值相差 周期2π的整数倍，取得最小值的任意两个x的值 当且仅当x=受+2k,k∈Z时， 相差周期2π的整数倍. 2.从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小 最值 y=sinx的最大值ymx=l; 值点分别处在什么位置？ 当且仅当x= 3π+2k元，k∈Z时， 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于 y=sinx的最小值ymin=一1 图形拐弯的地方， ·39·