1.4.4 诱导公式与旋转（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

参考答案 5.解：(1)f代a)=二sinc=-cosa sin a (2),sin(a-π)=-sina= 1 5 .sin a=- 行又a是第三象限角， ∴.c0sa= 26fa)=26 5 5 (3)- =-6×2m+5 3 31 π cos3 π 21 4.4诱导公式与旋转 课前预习学案 知识梳理[思考] 1.提示： 角 2kπ十a π十 2kπ-a 所在 象限 四 2.提示：不一定，诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任 意角。 预习自 1.B 2.号 课堂互动学案 [例1][解] cos(f+c）·sin(+e） =o[受-（号-小sim[-(骨-a)] =sin(3-a）小·sim(3-a） =×- 变式训练 1.解折：1由co(径十）=-sn9-。 得sinp= ∴sm(侣）=sin[受-（倍一）] 答案：(1)A(2)A [例2】[解原式-s。.s[-(受一)] sin a (-sin a) =cos(π-a sin a [-sim(受-e)]小水 -sina） -cos a (-cos a)(-sin a) sin a =-c0s2a. (2)原式= sin(-a)sin(-a)sin[r+(E十a）] cos(-asinl-(-)]eos[r+(受-a】 sin a(- sin a)- sin(+a) cos asin(x-a) -o(受-] sin asin a(-cos a) -cos a sin a(-sin a) sin asin acos a cos a sin asin a =-1. 五维课堂 变式训练 sina·sina_sina 2.解：原式-sna·cosa cos a 因为角a终边上一点P(一4,3)，所以角a是第二象限角，所 以c0sa= 5,sin a=. ，所以原式=一3 3 4 -2sm(竖-9）(-sin0)-1 [例3][证明]右边= 1-2sin0 2sim[+(受-0）]sim0-l 1-2sin20 -2sn(受-0）小sin0-1 1-2sin20 -2cos 0sin 0-1 cos20+sin0-2sin0 _(sin 0+cos 0)2 sin 0++cos a sin'-cos'sin -cos =左边，所以原等式成立， 变式训练 3.证明：左边 cos Osin(-0) os(径+0）sin(受+） =0s9sin=1=右边. -sin 0cos a 所以原等式成立 [例4幻[解] 由已知得{sinA=√2sinB①， 5cosA=V2cosB②， 0+@,得2mA=1mA=±号 当c0sA=9时，e0sB=写 2 2 又A,B是三角形的内角A=平，B=晋 .7 .C=R-(A+B)=2元 当cosA= 时e0sB= √3 2 2 又A,B是三角形的内角，A=3 B=名 :A十B>π， csA=号不特合题意，合去 综上可知A=牙，B=晋，C-是x 7 变式训练 4.解：(1)由题意得cosa= 5,sin a=- 51 3sin(x-a)+5sin(e- 11π 3sin a-5cos a 2cos(-a) cos(a+) 2cos a-sin a 3x告+5×() 3 2x(号)厂号 -10 (2)由题得B=a一2， sn月=-0sa=号os=sina= 2sins-20s月=2x号×-2X=-2 随堂步步夯实 1. A [:o(径-）=子·sim(倍+） sim[受-（能-0）]-co(臣-）分，故选A.] 215· 世五维课堂 2.A[因为cosa十)=-osa=-号，所以c0s=号所以 sin(-&一2）=osa=号] 3.C[因为sim(+受)-os,os(e) cos[x+(受-a)] =一sina,所以原式 cosa(-sina)=-sin acos a,故选C.] 4.解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5)十cos(180°-5°) =c0s5°-c055°=0. 答案：0 5.解：方程5x2-7x-6=0的两根为x1=一 5=2， 3 由a是第三象限角，得sina=一亏 则cosa=- 4 sm(。)s(受- cos(径-a小sin(受+a） sim(受-eos(受+a sin acos a -cos a(-sin a) -1. sin acos a §5.正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 第一课时正弦函数的图象与性质再认识（一） 课前预习学案情境引入 (1)提示：每相隔1个单位重复出现. (2)提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图 象发生“周而复始”的变化 知识梳理[思考] 1.提示：是2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期， 2.提示：对称轴之间的距离相差了π的整数倍.对称中心之间 也相差了π的整数倍. 预习自测 1.22.D3.奇 课堂互动学案 [例1[解]1)：2sin(行-看+2x）2sm(信-看) 即2sm[号u+6)-]-2in(-吾) =2sin(-)的网期是6元 (2)'sin(+)=-sin z=sin l. .函数y=sinx的周期是π 变式训练 1.解：sim(晋+）=sn誓=sin(+晋)】 =-sin， 而sim(号)-sin导 上述等式成立 但不能说明受是y一snx的周期。 理由如下：若为y=sinx的周期， 则对任意实教x都有sin(x十）=sinx, 但当=0时，sm(晋）≠sn, 所以晋不是y=inx的周期， ·2 数学s·必修第二册 [例2][解](1)显然x∈R, f(-x)=√2sin(-2x)=-√2sin2x=-f(x), ∴.函数f(x)=√2sin2x是奇函数. (2eR,)=n(受+号 =-cos3。 ∴.f(-x)=-c0s 3(-x)= 4 3=f(x) :通教fx)=sn(停+受)是偶西数。 变式训练 2.解：(1)y=sinx,x∈(-π，2π)， 定义域不关于原点对称， ,y=sinx,x∈（一π，2π）为非奇非偶函数. (2)y=sinx+1,x∈R, :f(）=2,f(-)=0. ∴(-)≠f()(-)≠-() 所以y=sinx十l为非奇非偶函数， (3)y=sin3x,x∈R, f(-x)=sin[3(-x)=sin(-3x)=-sin 3x=-f(x), ,y=sin3x为奇函数 [例3][解]：f(x)的最小正周期是π， “f()=f(-2)=f(-受)片 :f(x)是R上的偶函数， (专)f(得)=m吾-9 (悟)受 变式训练 3.(1)B[f(x)=Esim(+年十9）为寺函教，则只需平十9 =km,k∈Z,从而g=km-平，k∈Z 显然当k=0时，9=一于满足题意.] (2)解析：“f(+受）=-x心fx+x)=f(),即T= ()-f(-2x)=f(-) =()=1. 答案：1 随堂步步夯实 1.A[由于x∈R,且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数.] 2.ABC[对于D,x∈（一1,1）时的图象与其他区间图象不同， 不是周期函数.] 3.B[因为f(x)=sin(2x-)=-sin（乏-2z） 一cOs2x,所以该函数的最小正周期为π，且为偶函数，故选B.] 4.D[当0=0时，f(x)=sinx在[0，π]上不单调，故A不正 确；当9=受时，f(x)=c0sx在[0]上单调递减，故B不正 确；当=π时，f(x)=一sinx在[0，π]上不单调，故C不正确； 当0=经时，f(x)=-c0sx在[0，]上单调递增，故D 正确.] 5.解：(1)y=sinx,定义域为R. .f(-x)=sin(-z)=-sin =sin l=f(z), ,y=sinx是偶函数. 2g=co(受+m,定义城为R “y=60(受十）为寺画载 6世五维课堂 数学s)·必修第二册 规律方法 (2)sin1440°+a)·cos(a-1080°) 三角函数式的化简方法 cos(-180°-a)·sin(-a-180): (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数. (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的 切函数化为弦函数， (3)注意“1”的变形应用 ◇[变式训练] 3.化简： (1)-cos(-a)sin(7x+a) sin(π-a)·cos(3π+a) 随堂。步步夯实 1.cos 7π -4 的值为 5.已知f(a)=sin(π十a)cos(2r-a) sin(-元-a) A号 B.、③ (1)化简f(a)； (②)若a是第三象限角，且sin(a一x)=,求 c号 f(a)的值（注：sin2a十cos2a=1); 2已知n(管-a小-则sn+() 3)若a=-3.求a的值. A B.一3 C. D.、23 3 3.计算sin(-1560)cos(-930°)-cos(-1380°)· sin1410°等于 4.已知sin(45°+a)=3,则sin(225°+a) @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 4.4诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式，能作综合归纳，体会出公式的共性与个性，培养由特殊到 通过诱导公式的应用提 一般的数学推理意识和能力 升数学抽象和逻辑推理 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问 素养 题的能力 课前。预习学案 [情境引入] 一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒 模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果 称！角α关于水平面对称的角的度数是多少？ 你的手中拿着一个度数为α的角的模型，你观察 这两个角的三角函数值有什么关系呢？ ·18· 第一章三角函数 五维课堂兰 [知识梳理] 2思考1.视α为锐角，则诱导公式中各角所在 [知识点一] 诱导公式a十受) 的推导 象限是什么？ 1.终边关系 设锐角a的终边与单位圆交于点P(u,),将 终边绕点O沿逆时针方向旋转罗得到点P', 知识点三]诱导公式的抽象概括 即®十2的终边与单位圆交于点P, 对任意角a,下列关系式均成立（其中∈Z) 2.图形 sin(a+2kx)=sin a cos(a+2kx)=cos a P'(-u, sin(-a)--sin a cos(-a)-cos a P(u,) sin(a+x)=sin(+a)=-sin a cos(a+π)=cos(π十a)=-cosa sin(a-x)=-sin a cos(a-x)=-cos a sin(x-a)=sin a cos(x-a)=-cos a sin 2 十a cos a 3.公式 cos a2 -sin a sin a+ 2 =cos a, a -cos a a sin a 2 -sin a, 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导 公式 以-a代替a,则sin 2 coS a, 2思考2.诱导公式中的角α只能是锐角？ cos 2 a sin a. [知识点二]诱导公式2kπ士a(k∈Z)的推导 1.设a为任意角，则2k元十a、2k元一a的终边与a 的终边的对应关系如表： [预习自测丁 相关角 终边之间的对应关系 1.若sin +0小0，且co(8 0>0,则0是 2kπ十a与a 终边相同 A.第一象限角 B.第二象限角 2k元-a与a 关于x轴对称 C.第三象限角 D.第四象限角 2.对任意角a,有下列关系式成立： sin(2k元十a)=sina,cos(2kr十a)=cosa. 2.已知sma号则co(小 sin(2k元-a)=-sina,cos(2kπ-a)=cosa. 3已知小号则m小 课堂。互动学案 题型一 利用诱导公式求值 规律方法 已知三角函数值，求其他三角函数值的解 [例1已知sin等-a小-求o(+a: 题思路 sin(+aj的值. (1)观察：①观察已知的角和所求角的差 汇思路点拨]先化简，再求值 异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三 角函数名的差异 (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为 相同的角；将不同名的三角函数化为同 名的三角函数. ·19 世五维课堂 数学s·必修第二册 (3)注意：如-a与晋+a,营十a与 ⊙[变式训练] 3 6 -a 2.已知角α终边上一点P（一4,3)，化 子a与晋十a等互余，晋十0与管 cosE+esin(-xa） 至+0与亚-0等互补，通到此类间意， 不妨考虑两个角的和，要善于利用角的 变换来解决问题 ◇[变式训练] 1.(1)已知cos ( ) A.3 C.-5 D.5 题型三 利用诱导公式证明恒等式 [例3]求证： ( A号 B.22 sin 0++cos 0 一（其 sin 0-cos 0 1-2sin2(元+0) 3 中sin20+cos20=1). C.- 1 D.22 汇思路点拨]先化简，再证明 3 题型二】 利用诱亭公式化简三角函数式 [例2]化简： (1)cos(a-x) sin(x-a) sin(u-2)cos(a), sin(2x-a)sin(-2x-a)sin 3大0 (2) 2 cos(2x-a)sin(a-n)cos 3元 2 -a 汇思路点拨] 确定角的变换 规律方法…… 确定诱导公式→代入公式化简 三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右 边，或从右边到左边，或左右归一，应遵 循化繁为简的原则. (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角 法、公式变形法、“1”的代换法。 ⊙[变式训练] 3.求证，os(6x+0)sin(二2r-0=L. cos(+0小sin(+0 规律方法 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少， (3)分母不含三角函数的符号， (4)能求值的一定要求值. (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式 分解、约分等 ·20· 第一章三角函数 五维课堂到 题型四 诱亭公式的综合应用 2利用诱导公式解决三角形中有关问题的 [例4]在△ABC中，若sin(2π-A)= 基本方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题 √2sin(π-B),W√5cosA=-√2cos(π-B),求 时，既要注意综合运用诱导公式、同角三 △ABC的三个内角（其中sin2A十cos2A=1). 角函数的基本关系式，还要注意三角形 汇思路点拨]先利用诱导公式化简已知的两 的隐含条件—三角形内角和等于 个等式，然后结合sinA十cos2A=1,求出 180°，以及下面的公式的灵活运用. cosA的值，再利用A十B+C=元进行求解. 在△ABC中，常用到以下结论： sin(A+B)=sin(-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π-C)= cos C, (A B sin 22 C sin 22 cos 2 =cos 2 =sin ◇[变式训练] 4.如图，以Ox为始边作角a与3 (0<3<长a<π)，它们的终边分 别与单位圆相交于点P,Q,已 知点P的坐标为 34 3sin(-a)+5sin 11元 (1)求 2 的值； 7π 规律方法…… 2cos(-a)-cos a2 1.诱导公式综合应用要“三看” (2)若a=B+受，求2sin8cosB-2cosB的值. 一看角：①化大为小；②看角与角间的联 系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化， 三看式子结构：通过分析式子，选择合适 的方法，如分式可对分子分母同乘一个 式子变形 随堂。步步夯实 ● () 5.已知sina是方程5x2-7x-6=0的根，a是第 3π A. B.2② sin -a- cos 三象限角，求 2 2 的值 D.-22 cos2-a )sin ta c. 3 2若cos(a十x)= 3 2 B.、2 c D.- 5 3 化简m叶到 3的结果是 ·cosa一 A.1 B.sin acos a C.-sin acos a D.-1 @温馨提污 4.sin95°+cos175°的值为 学习至此，请完成配套训练 ·21·