1.4.4 诱导公式与旋转（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s·必修第二册 10.求下列各三角函数值. 所以f(-x)=-6cos(-x)+5sin2(-x)-4 (1)sin 1g)2os 29x cos(-x) --6cos x+5sin'z-4-f(), 10π sin 10 cos x 所以f(x)是偶函数， =-sin3 π 所以f(-m)=f(m)=2. 素养培优 SU YANG PEI YOU =sin 3 (2)cos 29x 4已知a)-m(+小号 6 =cos(4x+g 5π (1)分别求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值； (2)猜想f(2k一1)，f(2k),(k∈Z)的表达式，并对 6 2 猜想的结果进行验证。 11.设函数f(x)=asin(元.x+a)十bcos(元x+3)+4(其 中a,b,a,3均为非零实数)，若f(2025)=5,求 解：r)=ms(+3x+0）十am(-3x- f(2026)的值： 解：因为函数f(x)=asin(元x+a)十b·cos(元x十 =-2cos(3x+0 B)+4. 所以f(2025)=asin(2025m十a)+b·cos(2025元十3)+ 4=-asin a-bcos3+4=5,所以asin a+bcos B= 一1， 2cs(分x+ 所以f(2026)=asin(2026π+a)十b·cos(2026r+3) +4=asin a+bcos B+4=3. (3)-co) 能力提升 NENG LI TI SHENG =-2cos3x+0 12.化简下列各式 (1)sin cos6. (2)sin(-960°)cos1470°-cos(-240°)sin(-210°). =2cos(3x+0 解：(1)sin 19 3 cos6元 2)精8f2-1D=-2c(合r+】 元 f2)=2as(3x+0-. =sincos- 证明如下：f(2k一1) (2)sin(-960)cos1470°-cos(-240)sin(-210°) =-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°) +cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin60°cos30 +cos60°sin30°=1. 13.已知函数f(x)=6cos(r+x)5sin2(x-x)-4 且 =-2c0(3x+0 c0s(2元-x) f(m)=2,试求f(-m)的值. 解：易得f(x)的定义域关于原，点对称， 因为f(x)= 6c0s(元+x)+5sin2(π-x)-4 )+cos) c0s(2π-x) -6cos 2+5sin-4 =2cos(x+0 cos x 4.4 诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式，能作综合归纳，体会出公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数 通过诱导公式的应用提 学推理意识和能力 升数学抽象和逻辑推理 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 素养 ·28· 第一章三角函数 课前。预习学案 对应学生用书P18 [情境引入] 2思考1，视α为锐角，则诱导公式中各角所在象 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山 限是什么？ 的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果你的手中拿 提示： 着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个 角 2kn+a 元十a 2ki-a 角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你 所在 当然会准确地回答出来：对称！角α关于水平面对称 四 四 象限 的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么 关系呢？ [知识点三] 诱导公式的抽象概括 [知识梳理] 对任意角a,下列关系式均成立（其中k∈Z) [知识点一] 诱导公式(Q十受)的推导 sin(a+2kπ)=sin a cose(a十2kx)=cosa sin(-a)=-sin a cos(-a)=cos a 1.终边关系 sin(a十π)=sin(x+a)=-sina 设锐角a的终边与单位圆交于点P(u,o),将终边 cos(a十r)=cos(元十a)=-cosa sin(a-x)=-sin a cos(a-x)=-cos a 绕点O沿逆时针方向旋转受得到点P,即α十受的 sin(π-a)=sin a cos(π-a)=-cosa 终边与单位圆交于点P' sin(a+)-sin+a)-cos a cos[a+2)-e sin a 2.图形 P(-u)y sin-a)-cos a cos-a)-sin a P(u,v) 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导 公式 0 2思考2.诱导公式中的角α只能是锐角？ 提示：不一定.诱导公式中角α不仅可以是锐角， 还可以是任意角 3.公式 预习自测] sim(a+）=cosa 1.若sin（+<0,且os(受-0>0，则9是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 以一a代替a,则 sin -a 解析：B[由于sm(g+0-cos0<0,cor(经- = -cos a,cosa)-sin a. =sin0>0,所以角0的终边落在第二象限，故 [知识点二]诱导公式2kπ士a(k∈Z)的推导 选B.] 1.设a为任意角，则2kπ十a、2kr一a的终边与a的终 2.已知sina= 则cos(-a 边的对应关系如表： 答案： 2 相关角 终边之间的对应关系 2kx+a与a 终边相同 3.已知o(后-号则sin(+ 2k元-a与a 关于x轴对称 解桥：sm(答+a-snm[受-（后-a】 2.对任意角a,有下列关系式成立： cos(-a号 sin(2kx十a)=sina,cos(2k元+a)=cosa. sin(2kx-a)=-sin a,cos(2kx-a)=cos a. 答案：号 ·29· 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P19 题型一 利用诱导公式求值 题型二 利用诱导公式化简三角函数式 [例已知sim(管-a）- ,求os(+a [例2]化简： (1)cos(a-π) sim(+o)的值， sin(元- Q) sin(a-)eos(+aj月 [思路点拨先化简，再求值， sin(2x-a)sin(-2x-a)sin (2) [解】cos(晋+a·sim(+a cos(2x-a)sin(a-x)cos 2 o-(答-]sm-(昏-a] [思路点拨] 确定角的变换→确定诱导公式 代入公式化简 sin(-asin(-a [解] (1)原式= s。o.sn[-(受] sin a (-sin a) 规律方法… cos(-a) 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 sin a :【-m(经-小-ime (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求 角之间的关系； -cos a.(-cos a)(-sin a) sin a ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数 -cos a. 名的差异 (2)原式= (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的 角；将不同名的三角函数化为同名的三角 sin(-a)sin(-a)sin[a 函数 (3)注意：如5-与+a,+a与-a,- cos(-a)sin[-(r-a)Jeos[x+a)] 与买+a等互余，吾+0与5-0，年+9与要 -sin a(-sin a)-s sin(受+a)] 0等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角 cos asin(元 a)「- 的和，要善于利用角的变换来解决问题， sin asin a(-cos a) ◇[变式训练] cos a sin a(-sin a) 1.(1)已知cos 〔+-，且lg<则in sin asin acos a cos a sin asin a ( 》 =-1. . B 规律方法 C.-√5 D.√3 用诱导公式进行化简时的注意点 2cos(危-0则sin(臣+小 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. A B.2 (3)分母不含三角函数的符号. 3 (4)能求值的一定要求值. D.-2E (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、 3 约分等. 解析：1由co(受+9 -sin ◇[变式训练] 2 2.已知角a终边上一点P(一4,3)，化 得sin= 2 os(+esin(-x-a 简 (2).cos 11元 cos a)sin ..sin 1 +m[登一（器一] 5 解：原式部：。部吕国为为。缘边上 一，点P(一4,3)，所以角a是第二象限角，所以c0s a=- na一音，所以原式=一是 4 答案：(1)A(2)A 4 ·30· 第一章三角函数 题型三 利用诱导公式证明恒等式 当cosA= 号时s- 3 [例3]求证： 2 2sin()o(+ 又A,B是三角形的内角，∴A= 4元，B=5 3 sin 0+cos 0 元. sin 0-cos 0 (其中 1-2sin2(x+0) A+B>x, sin20+cos20=1). .'cos A=- 思路点拨先化简，再证明 ?不符合题意，合去， [证明] 右边 2an-0 ·(-sin0)-1 筛上可知，A=子，B=吾C- 规律方法 1-2sin20 1.诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小：②看角与角间的联系，可 通过相加、相减分析两角的关系. 1-2sin0 二看函数名称：一般是弦切互化. -2sin g-0sin0-1 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 (2 法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 1-2sin0 2.利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本 2cos 0sin 0-1 方法 cos20+sin20-2sin20 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要 (sin 0+cos 0)2 sin 0+cos 注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本 sin20-cos20 sin 0-cos 0 关系式，还要注意三角形的隐含条件一三角 三左边，所以原等式成立. 形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活 规律方法 运用. 三角恒等式的证明的策略 在△ABC中，常用到以下结论： (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或 sin(A+B)=sin(x-C)=sin C, 从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简 cos(A+B)=cos(x-C)= -cos C, 的原则 A B C (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公 sin (2T2 sin 2 cos 2 式变形法、“1”的代换法 A C ◇[变式训练] cos 22 cos 2 =sin 2 3.求证.os(6r+msim(一2红-》=L ⊙[变式训练] +0j小n+0】 4.如图，以Ox为始边作角a与3(0 c0S\2 <3<a<π)，它们的终边分别与单 证明：左边 cos 0sin(-0) 位圆相交于点P,Q,已知点P的 coas(g+0小sin(g+0 坐标为 ) cos 0(-sin 0) =1=右边. 3sin(π a)+5sin a- 11元 -sin 0cos 0 2 (1)求 所以原等式成立 2cos(-a)-cosa2 π 题型四 诱导公式的综合应用 的值； [例4]在△ABC中，若sin(2r-A)=-√2sin(π-B), √5cosA=-√2cos(元一B),求△ABC的三个内角 (2)若a=B+受，求2 sins月-2osB的值. (其中sinA+cos2A=1). 解：(1)由题意得c0sa= [思路点拨]先利用诱导公式化简已知的两个等 5,sin a= 5 式，然后结合sinA十cos2A=1,求出cosA的值， 3sin(x-a)+5sina- 11元 2 再利用A十B十C=元进行求解. 3sin a++5cos a 7π 2cos a-sin a [解] 由已知得sinA=√2sinB ①， 2cos(-a)-c0sa十 W3cosA=√2cosB②， 5 3 由①2+②，得2cos2A=1,c0sA=士 10 2 3 青msA-9时ms月=要 (2)由题得B=a-2' 又A,B是三角形的内角A=于，B=晋 .'sin B=-cos a= 5,cos B=sin a= 5 C=元-(A+= ÷2 sino月-2c0s月=2Xg×告-2X号 16 5 5 25 ·31· 数学s·必修第二册 随堂。步步夯实 对应学生用书P21 1m(臣-0）3则n(登+0 4.sin95°+cos175°的值为 解析：sin95°+cos175°=sin(90°+5°)+cos(180° A.号 R号 5)=c0s5°-c0s5°=0. c- n2 答案：0 5.已知sina是方程5.x2一7x-6=0的根，a是第三象 解桥：A[:eo(臣-0)=方im(+ sin 3π）.3π a2 cos 2-a sn受-（倍]-(-故选A] 限角，求 2的值. cos2-a)sin(2ta π 2.若cos(a十π)=- 解：方程5.x2-7x-6=0的两根为x1=一 A号 B.号 5 22=2, 由a是第三象限角，得sina= 解析：A[因为cos(a十x)=一cosa=- 所以 则cosa= 5 cos a= =cos a=- 3化简sine+)·cos(e-一）的结果是 ( ) A.1 B.sin acos a os(-a小sim(+a C.-sin acos a D.-1 解析：C [因为sina+ sin-oos(+ sin acos a =c[x+(登-a]=-na,所以原式= cos a(-sin a) -1. cosa(-sina)=-sin acos a,故选C.] sin acos a 课后。素养提升 对应学生课时P13 基础过关 JI CHU GUO GUAN 解析：A[依题意得B=a十元，因为sina= 2,所以 1.co(1)im(-1) 的值是 sin B=sin(a+x)=-sin a=- A.√2 B.-√2 C.0 n号 4若smx+a)+as(+一m,则（受计 2sin(6π一a)的值为 答案：A 2.(2025·全国二卷，8)已知0<a<π，cos -则 a A.-m 2 B.一2m 2 sin(-) D. A得 B. C32 D 解析：B[sin(x十a)+cos(+a=-m, 10 答案：D Ep-sin a-sin a=-2sin a=-m 3.在平面直角坐标系zOy中，角a以Oa为始边，且 .'.sin a= sina=号.把角a的终边绕端点O按逆时针方向旋转 2 元弧度，这时终边对应的角是3，则sinB= ( cos(-t2sin(6x- A-号B号C-9D 3 3 --sin a-2sin a=-3sin a ·32· 第一章三角函数 5.(多选)已知f(x)=sinx,下列式子中不成立的是 10.化简求值 (1)cos(2x-a)sin(-2x-a)cos(6x-a) A.f(+x)=sin x cos(a-元)sin(5元-a) B.f(2π-x)=sinx (2)-_cos190°·sin(-210°) cos(-350)·sin(-585) c(-引 -cos 解：(1)原式=cosa,sin(-a)cos(-a) cos(x-a)sin(x-a) D.f(π-x)=-f(x) 解析：ABD[f(.x十x)=sin(x+元)=-sinx, cos a(-sin a)cos a-cos a. (-cos a)sin a f(2x-x)=sin (2x-x)--sin (2)原式=cos180+10)·[-sin(180°+30°)] cos(360°-10°)·[-sin(360°+225) in(2-号)-in(度-小--) -cos10°·sin30° sin30° 2 =sin(π-x)=sinπ=f(x).故A、B、D不成立.] cos10°·(-sin225) -sin45° √2 6.(多选)若A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等 2 式中不成立的是 ) A.cos(A+B)=cos C 2 B.sin(A+B)=-sin C 11.证明： C.con)-sin sin(2x--co(x+e)cos(径+oj）eos(-a sin a cos(x-asin(3x-a)sin(-x-e)sin(竖+a） cos a B+C-=cos 2 D.sin A 证明：左边= 解析：ABC[A十B十C=元，.A十B=π一C (一sine(-osa(--sin a)[5r+(受-c] .'cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C...A, B都不正确，C显然不正确；同理，B十C=元一A, (-cosa)sin(π a[-smr+es[红+（登+a] inB士-n(受)-oD正确.] sin'acos a 后】 若n(吾--得则sn) 解折：“n(信-小9如（信） sin'acos a -cos asin a sina=右边，所以原式成立. cos a 能力提升 =如+(]m(后小=9 NENG LI TI SHENG 12.已知cos(元十a)=- 合，且。在第四象限（其中 答案： sina十cos2a=1),计算： (1)sin(2x-a): 8.已知os=e∈（小则n。 (2)sin[a(sin()() sin(r-a)cos(a十2nr) 解桥：n。-)一sin(受一-a） 解：因为cos(π十a)=-号 cos a 2 所以一c0sa=一 2,则cosa=2,又因为&在第 3 答案：一号 四象限，所以sina=一√-0sa=- 21 (1)sin(2r-a)=sin[2x+(-a)] 9.设函数f(x)=asin(πx+a)十bcos(xx十B),其中 -sin(-a) a,b,a,3都是非零实数，且满足f(2025)=-1,则 f(2026)的值为 =-sin a3 2 解析：.f(2025)=asin(2025π十a)+bcos(2025m+3) (2)sinLa+(2n+1)x]+sin(x+a) =asin(x十a)+bcos(元十3) sin(x-a)cos(a+2nm) =-(a sin a+6 cos B)=-1, -sin(a+2nx-x)-sin a sin acos a .'a sin a+b cos B-1. .f(2026)=asin(2026π+a)+bcos(2026π+3) =sin(xta)-sin a sin acos a -a sin a+b cos B-1. -2sin a 2 答案：1 =一4. sin acos a cos a ·33· 数学s·必修第二册 13.已知角a的终边过点P(1,√). 素养培优 SU YANG PEI YOU (1)求sin(元-a)- n(g+o的值： 14.化简：ink-a)cos[-)x-a(k∈ZD. (2)写出角a的集合S sin[(k十1)x+a]cos(kπ十a) 解：a的终边过点P(1,√3)， 解：当k=2n(k∈Z)时， 2=1,y=5, 原式=sin(2mr-a)cos[(2n-1)r-e sin(2n+1)π+a]cos(2nπ+a) r=√1十3=2， =sin(-a)·cos(-元-a) 六sina=义=3 2,c0sa=2 sin(π+a)·cosa =-sina·(-cosa）=-l; (1)sin (x-a)-sin (+a= -s1na·cosa sin a-cos a 当k=2n十+1(n∈Z)时，原式= =3-1 sin[(2n+1)π-a]·cos[(2n+1-1)π-a] 2 sin[(2n+1+1)π+a]·cos[(2n+1)元+a] (2)若a∈[0,2π]，由sina= 2,cosa=7,得a sin(π-a)·cos a sin a·cosa =-1 sina·cos(r+a) sina·(-cosa) 若，故角a的集合S={知a=2kx+于k∈Z, 综上，原式=一1. §5.正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1正弦函数的图象与性质再认识 第一课时正弦函数的图象与性质再认识（一） 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角 通过探索正弦函数y=sinx的周期性、奇偶性， 重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养 函数的奇偶性 课前。预习学案 对应学生用书P22 [情境引入] (2)由诱导公式： 1sin(x十2k)=sinx'(k∈Z)结合 如果现在是早上9，点钟，问你：24小时以后是几 (cos(x+2kπ)=cosx, 点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟.因为 正（余）弦曲线，可以看出正（余）弦函数怎样的特征？ 你很清楚，0点、1点、2点、3点…23点，每隔24小 图象变化趋势是怎样的？ 时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出 后是星期几？你也会回答：还是星期一.因为你很清 现，图象发生“周而复始”的变化 楚，星期一、星期二…星期天，每隔7天就重复出现 [知识梳理] 一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如 1.正弦函数的图象 “24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所 (1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下： 熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象，如日出 第一步：如图所示，在直角坐标系的x轴的负半轴 日落、月圆月缺、四季交替等.正弦函数、余弦函数是 上任取一点O,,以O,为圆心作单位圆： 否有这样的周期性呢？ (B)y=sinx,xE[0,2] 继续探究： 3m 2π 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： 第二步：从圆O,与x轴的交点A起把圆弧分成 01234x 12等份： 第三步：过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得 (1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现. 到对应于角0，晋，营受…，2x等分点的正弦值： ·34·