1.4.3 诱导公式与对称（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 变式训练 4.解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以c0s120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. 所以c0s120°sin269°>0. (2)因为<4<受，所以4孤度角是常三象限角， 所以c054<0,因为-28r=一6x十 4 4 所以-2要是第一象限角，所以sim(婴）>0， 4 所以cos4sin(-2）<0, 随堂步步夯实 1.B[:y=cosx的定义域为R. 六y=2+3cosx的定义城为R.] 2.B[fx)=cos(-晋)的最小正周期为2x.] 3.Bcos<0,sin a0 点Q在第二象限.] 4.解析：如图。 2T 6 ymnx=1. 1 ynin-2 答案：1-1 5.解：当x=一 时以=1. 当x=受时ym=-2 4.3诱导公式与对称 课前预习学案情境引入 提示B=π十a,P,与P2横坐标，纵坐标都互为相反数. 知识梳理知识点 (1)-sin a cos a -sin a -cos a sin a -cos a [思考] 1.提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化 记：函数名不变，符号看象限 2.提示：诱导公式中角α可以是任意角. 预习自测 1.A2.A 2 课堂互动学案 [例1[解](cos1号=os(2x+）=cos号 =o(x-晋)】 2 (2)sin(-855°)=-sin855°=-sin(2×360°+135°) =-sin135°=-sin(180°-45)=-sin45°=-g5 (3)原式=o(a-子)十si如(2x-晋)】 2 数学(s·必修第二册 变式训练 1.解：(1)c0s210°=c0s(180°+30)=-c0s30°= (2)s=sn(2x+）=sin要 3in(）=-sn(6x+)=-sn号 =-sin(+晋）sin晋- 1 (4)c0s(-1920)=c0s1920°=c0s(5×360°+120)=c0s120° 1 =c0s(180°-60°)=-c0s60°= 2 [例2][解] as(+c)-o[-(-)川 一 3 变式训练 2.解析：(1)当k为偶数时，A=2;当k为奇数时，A=一2.故A 构成的集合为{一2,2. (2)因为c0s(a-55°)= 3 <0,且a为第四象限角，所以a 一55°是第三象限角， 所以sin(a-55)=- √1-c0sa-559)=-2E】 3 所以sin(a十125°)=sin[180°+(a-55°)] =-sin(a-55)= 22 3 答案：(1)C (2)22 3 [例3][解] (1)f(a)-sin acos asin asin a. -cos asin a (2)因为cosa= 3 ，且a是第四象限角， 所以f(a)=sina=一 3)r()=sin(）-n(晋) 2 变式训练 3.解：(1)原式= cos asin(π十a) sina·cos(π十a) cosa·(-sina) =1. sina·(-cosa) (2)原式=sin4X360°+a)·cos(3X360°-a) cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] -sin a cos(a)cos a1. (-cosa)·sina -cos a 随堂步步夯实 1.C [cos 故选C.] 2A[sm(答+)=[-（停-门-sn(答-子J 3.解析：sin(-1560°)cos(-930)-cos(-1380°)·sin1410 =sin(-4×360°-120)c0s(-3×360°+150)-cos(-4× 360°十60°)sin(4×360°-30°) =sin(-120)cos150°-cos60°sin(-30) 答案：1 4.解析：sin(225°十a)=sin[(45°十a)十180] 5 =-sin(45°+a)=-1i3 答案：一吕 214· 参考答案 5.解：(1)f代a)=二sinc=-cosa sin a (2),sin(a-π)=-sina= 1 5 .sin a=- 行又a是第三象限角， ∴.c0sa= 26fa)=26 5 5 (3)- =-6×2m+5 3 31 π cos3 π 21 4.4诱导公式与旋转 课前预习学案 知识梳理[思考] 1.提示： 角 2kπ十a π十 2kπ-a 所在 象限 四 2.提示：不一定，诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任 意角。 预习自 1.B 2.号 课堂互动学案 [例1][解] cos(f+c）·sin(+e） =o[受-（号-小sim[-(骨-a)] =sin(3-a）小·sim(3-a） =×- 变式训练 1.解折：1由co(径十）=-sn9-。 得sinp= ∴sm(侣）=sin[受-（倍一）] 答案：(1)A(2)A [例2】[解原式-s。.s[-(受一)] sin a (-sin a) =cos(π-a sin a [-sim(受-e)]小水 -sina） -cos a (-cos a)(-sin a) sin a =-c0s2a. (2)原式= sin(-a)sin(-a)sin[r+(E十a）] cos(-asinl-(-)]eos[r+(受-a】 sin a(- sin a)- sin(+a) cos asin(x-a) -o(受-] sin asin a(-cos a) -cos a sin a(-sin a) sin asin acos a cos a sin asin a =-1. 五维课堂 变式训练 sina·sina_sina 2.解：原式-sna·cosa cos a 因为角a终边上一点P(一4,3)，所以角a是第二象限角，所 以c0sa= 5,sin a=. ，所以原式=一3 3 4 -2sm(竖-9）(-sin0)-1 [例3][证明]右边= 1-2sin0 2sim[+(受-0）]sim0-l 1-2sin20 -2sn(受-0）小sin0-1 1-2sin20 -2cos 0sin 0-1 cos20+sin0-2sin0 _(sin 0+cos 0)2 sin 0++cos a sin'-cos'sin -cos =左边，所以原等式成立， 变式训练 3.证明：左边 cos Osin(-0) os(径+0）sin(受+） =0s9sin=1=右边. -sin 0cos a 所以原等式成立 [例4幻[解] 由已知得{sinA=√2sinB①， 5cosA=V2cosB②， 0+@,得2mA=1mA=±号 当c0sA=9时，e0sB=写 2 2 又A,B是三角形的内角A=平，B=晋 .7 .C=R-(A+B)=2元 当cosA= 时e0sB= √3 2 2 又A,B是三角形的内角，A=3 B=名 :A十B>π， csA=号不特合题意，合去 综上可知A=牙，B=晋，C-是x 7 变式训练 4.解：(1)由题意得cosa= 5,sin a=- 51 3sin(x-a)+5sin(e- 11π 3sin a-5cos a 2cos(-a) cos(a+) 2cos a-sin a 3x告+5×() 3 2x(号)厂号 -10 (2)由题得B=a一2， sn月=-0sa=号os=sina= 2sins-20s月=2x号×-2X=-2 随堂步步夯实 1. A [:o(径-）=子·sim(倍+） sim[受-（能-0）]-co(臣-）分，故选A.] 215·世五维课堂 数学s)·必修第二册 4.3诱导公式与对称 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（一）（二）（三） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生 2.了解诱导公式的意义和作用 数学直观和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理 证明问题 和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] (3)作用： 如图，作P1关于原点 公式一 将负角转化为正角求值， 的对称，点P2,以OP2为终 将0~2π的角转化为0~元的角 边的角阝与角α有什么关 公式二 求值 系？角β，α的三角函数值 之间有什么关系？ 公式三 将受~π的角转化为0~受的角 求值 (4)应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明 [知识梳理] 之中 [知识点]诱导公式 配思考1.从函数名称和符号变化两个方面观 (1)诱导公式 察公式一至公式三，你能发现什么规律？ 公式一 公式二 公式三 终 角一a与角a 角a士元与角 角元一a与角 边 的终边关于x a的终边关于 a的终边关 关 轴对称. 原点对称. 于y轴对称. 2.诱导公式中角α不能是锐角吗？ 系 P(u,v) 图 PAu.v) Q+T P(uz) 形 M方 -a 1 O M -T P《出， [预习自测] sin(a+元)= 1.sin585°的值为 sin(-a)= cos (a sin(元-a)= A.一2 2 B.② C.⑤ D. 公 十)=一 cos a, 式 cos(-a)= sin (a-x)= C0s(元-a) 2m（-= -sin a,cos(a 元) C③ 0.2 1 (2)本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对 3.c0s(-30°)= ,sin 2r 称的角的三角函数之间的关系， 3 ·16 第一章三角函数 五维课堂兰 ● 课堂。互动学案 题型一 给角求值问题 题型三 给值（武）求值问题 [例1]求下列各三角函数值： 17π (1)cos [例2]已知（晋 。小一号求（的值 (2)sin(-855); [思路点拨] 十a=一 6 小利用诱 (8os经+sn5 导公式把要求角用已知角整体表示。 汇思路点拔了注意不同角之间的关系 （1)17m=2x+5x; 6 6 (2)-855°=-(2×360°+135°)； （3)3还=元一买，r=2元- 4 46 61 规律方法 (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察 条件与所求式之间的角、函数名称及有 关运算之间的差异及联系 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化， 或将所求式进行变形向已知式转化. ◇[变式训练] 规律方法 2.(1)已知A sin(kr十a）+cos(kr+a)(k∈Z),则 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 sin a cos a A构成的集合是 ( “负化正” 用公式一来转化 A.{-1,1,-2,2} B.{1,-1} “大化小” 用公式将角化为0°到360°间的角 C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2} “小化锐” 用公式一或三将大于90°的角转化为锐角 (2)已知c0s(a-55°)=- 3,且a为第四象限 “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 角，并且sin2a十cos2a=1,则sin(a十125°)= ◇[变式训练] 1.求下列各三角函数式的值： 题型三 化简求值问题 (1)c0s210°； [例3]已知a是第四象限角，且 (2sin f(a)-sin(r-a)cos(2ra)sin(-a+2r( cos(-a+π)sin(3π-a) 43元 中，sin2a+cos2a=1). (3)sin 6 (1)化简f(a); (4)c0s(-1920). (2)若cosa=号求fa): (3)若a= 求fe 汇思路点拨]利用诱导公式将任意角的三 角函数转化为锐角的三角函数， ·17 世五维课堂 数学s)·必修第二册 规律方法 (2)sin1440°+a)·cos(a-1080°) 三角函数式的化简方法 cos(-180°-a)·sin(-a-180): (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数. (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的 切函数化为弦函数， (3)注意“1”的变形应用 ◇[变式训练] 3.化简： (1)-cos(-a)sin(7x+a) sin(π-a)·cos(3π+a) 随堂。步步夯实 1.cos 7π -4 的值为 5.已知f(a)=sin(π十a)cos(2r-a) sin(-元-a) A号 B.、③ (1)化简f(a)； (②)若a是第三象限角，且sin(a一x)=,求 c号 f(a)的值（注：sin2a十cos2a=1); 2已知n(管-a小-则sn+() 3)若a=-3.求a的值. A B.一3 C. D.、23 3 3.计算sin(-1560)cos(-930°)-cos(-1380°)· sin1410°等于 4.已知sin(45°+a)=3,则sin(225°+a) @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 4.4诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式，能作综合归纳，体会出公式的共性与个性，培养由特殊到 通过诱导公式的应用提 一般的数学推理意识和能力 升数学抽象和逻辑推理 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问 素养 题的能力 课前。预习学案 [情境引入] 一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒 模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合…如果 称！角α关于水平面对称的角的度数是多少？ 你的手中拿着一个度数为α的角的模型，你观察 这两个角的三角函数值有什么关系呢？ ·18·