1.4.3 诱导公式与对称（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s·必修第二册 又a为第四象限角，所以m<0, (2)请以正弦函数y=sinx的性质为依据，并运用 从而m=一 5sin a=y= 4 m 函数的单调性定义证明：y=f(x)在区间 -5 13.已知点Psin a-cosa, sina在第一象限，在[0， 0,)上单润透或。 cos a 解：(1)因为函数f(x)= 1 2π)内，求a的取值范围. sin x' 所以sinx≠0， 解：'点Psin a-cosa, sin a cos a 所以x≠kπ，k∈Z,故函数的定义域为{xx≠kπ， 在第一象限， k∈Z). sin a-cos a>>0, 显然，f(x)的周期，即y=sinx的周期为2π. sin a0, 1 1 =一f(x), (cos a 由于满足f(-)=n(一刀 sin a 即a的终边在第一象限或第三象限，且sina> 故f(x)为奇函数 c0sa,如图， 由三角函数的定义知α∈ (2)因为正孩函数y=snx在区间(0，号)上单阴 (紧(. 递增，且f(x)的值域为(0,1)， 素养培优 SU YANG PEI YOU 设0<<a:<受，则0<sin<sinz,<1, 14.设函数f(x)=sin工 所以f(1)= 1 1=f(x2) sinsin 22 (1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶 即f(,)>f(x2), 性；（不必证明） 故y=f()在区间(0，受) 上单调递减. 4.3 该导公式与对称 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（一）（二）（三） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 2.了解诱导公式的意义和作用 和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和 2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 证明问题 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P16 [情境引入] 续表 如图，作P,关于原点的对称 点P2,以OP2为终边的角3与角a 有什么关系？角3，α的三角函数 sin(a十π)= 值之间有什么关系？ sin(-a)= -sin a,cos(a sin(π-a) 提示B=元十a,P1与P2横坐标 公 -sin a, x)=-cos a, 纵坐标都互为相反数。 式 Slna,cos(π cos(-a)= sin(a-π)= a)=-cos a. [知识梳理] cos a. -sin a,cos(a- [知识点]诱导公式 π)=一c0sa. (1)诱导公式 公式一 公式二 公式三 (2)本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的 终 角的三角函数之间的关系。 角-a与角a 角a士元与角 角元一a与角 (3)作用： 关 的终边关于x a的终边关于 a的终边关 公式一 将负角转化为正角求值。 系 轴对称. 原点对称. 于y轴对称. 公式二 将0~2π的角转化为0~元的角求值， ® PAu,v) a+n P(u) 公式三 将受~元的角转化为0~受的角求值。 形 M o-a 1 p(u-v) (4)应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中. 24· 第一章三角函数 ?思考1.从函数名称和符号变化两个方面观察公 2.im(） ( 式一至公式三，你能发现什么规律？ 提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而 c. 0.2 变化.简记：函数名不变，符号看象限。 2.诱导公式中角α不能是锐角吗？ 解析：A [sin 提示：诱导公式中角a可以是任意角. 选A.] [预习自测] 3.c0s(-30°)= 2π 1.sin585°的值为 sin 3 A.- 2 2 号 答案号号 答案：A 课堂。互动学亲 对应学生用书P17 题型一 给角求值问题 解：(1)c0s210°=c0s(180°+30°)=-c0s30°= [例1]求下列各三角函数值： (Dco(2)sin()(3)coin 2 汇思路点拨]注意不同角之间的关系. (2sn-sm(2x+)-sin (1)17r-2x+ 6 6 sin 4 1 (2)-855°=-(2×360°+135°)； (3)3=元-，1x=2-买 -sin 4 46 6 [解](1)cos 17π 5元 6 -cos 6 6 (4)c0s(-1920)=c0s1920°=cos(5×360°+120)= c0s120°=c0s(180°-60)= c0s60°= Γ2 题型二 给值（武）求值问题 2 (2)sin(-855)=-sin855°=-sin(2×360°+ [例2]已知cos 135)=-sin135°=-sin(180°-45)=-sin45 吾--求ca(+的值， 汇思路点拔] 5 6 十a=元- 2 (6 a,利用诱导公 式把要求角用已知角整体表示。 )原式=co()十sm(2x一】 [解] co(e+a小=cs[r-(6-a] 一sin 一cos4 √2+1 2 2 规律方法 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 规律方法 “负化正” 用公式一来转化 (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与 所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 “大化小” 用公式将角化为0°到360°间的角 差异及联系 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所 “小化锐 用公式一或三将大于90°的角转化为锐角 求式进行变形向已知式转化. “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 ◇[变式训练] ◇[变式训练 2.I)已知A=sin(+@2+osr+(k∈Z),则 1.求下列各三角函数式的值： sin a cos a (1)c0s210°； A构成的集合是 (2)sin 11 A.{-1,1,-2,2} B.{1,-1} 4 C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2} (3)sin (2)已知c0s(a-55)=- ，且。为第四象限角，并且 (4)c0s(-1920°). sina十cos2a=1,则sin(a+125°)= ·25· 数学s·必修第二册 解析：(1)当k为偶数时，A=2;当k为奇数时，A= 一2.故A构成的集合为{一2,2}. 所以fa)=sna=-oa=√- (2)因为cosa一55)=一}<0，且a为第四象限 角，所以α一55°是第三象限角， 所以sin(a-55)=-√1-cos(a-55)= 2√2 8f()=m()-in() 3 所以sin(a+125°)=sin[180°+(a-55)] sin= 3 2 =-sin(a-55)=2V2 规律方法 31 三角函数式的化简方法 答案：(1)C(2)2V2 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐 3 角三角函数 题型三 化简求值问题 (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数 化为弦函数 [例3]已知a是第四象限角，且 (3)注意“1”的变形应用. f(a)=sin(r-a）cos2x-sinC二a+2x2(其中， cos(-a+元)sin(3r-a) ◇[变式训练] sin'a+cos a=1). 3.化简： (1)化简f(a); (1 cos(一a)sin(7π+a) (2若osa=是求fa: sin(元-a)·cos(3π十a) (2)sin1440+a)·cos(a-1080°) cos(-180°-a)·sin(-a-180°)1 (3)若a= 求a 解：(1)原式= cos asin(π+a) sina·cos(r+a) [思路点拨]利用诱导公式将任意角的三角函数 cosa·(-sina) 转化为锐角的三角函数 sina·(-cosa) =1. [解] (1)f(a)= sin acos asin asin a. (2)原式=sin(4X360°+a)·cos(3X360°-a) cos asin a cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] (2)因为cosa= 号，且Q是第四象限角， 3 sina·cos(-a）=cosa=-1. (-cosa)·sina -cos a 随堂。步步夯实 对应学生用书P18 的值为 =sin(-4×360°-120°)cos(-3×360°+150°) 1.cos cos(-4X360°+60°)sin(4×360°-30°) A. B.-3 =sin(-120°)cos150°-cos60°sin(-30°) 2 3 c号 n誓 答案：1 解析：C [o()-as-m(x+） 4.已知sin(45°十a)= 是，则sin(225°+a) cos I- 解析：sin(225°+a)=sin[(45°+a)+180] 2.已知sin(g-3则sn(管+a) ( sin(45°+a)= 13 A昌 答案：一清 C.28 3 D.-2 sin(π+a)cos(2π-a) 3 5.已知f(a)= sin(-πa) 解析：A (1)化简f(a): (2)若a是第三象限角，且sin(a一x)= ,求f(a) 的值（注：sin2a十cos2a=1); 3.计算sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°)· sin1410°等于 (3)若a=,求的值 解析：sin(-1560°)cos(-930°)-cos(-1380°) ·sin14109 解：(1)f(a)=二sin cos a=一cosa sin a ·26· 第一章三角函数 (2sine-x)=-sina=方 (3:-3=-6X2x+ 5 3 3 ∴.sina= 司又a是第三象限角， .'cos a= 2fa1=25 5π co 课后。素养提升 对应学生课时P11 基础过关 JI CHU GUO GUAN A中sin月=sin(r一a)=sina=千.故A符合条件： 1.sin2025的值为 A号 B.-③ c B中，0s(x十B)=cos(2元-a)=c0sa=±压，故B 4 2 符合条件；C中，sin(元-B)=sin[x-(π-a)]= 答案：A 2.sin315°+sin(-480°)+cos(-330)的值为( sina=子，即C不符合条件：D中，cos(2x一) A B. c. 0os[2x-(x-a)]=c0s(x+a)=-c0sa=±V压， 4 答案：C 故D符合条件.故选ABD.] 3m20g的值等于 7.√/c0s600°= A司 B c.5 解析：√c0s600°=|cos120°|=|-cos60°|= 2 D.-3 2 答案：C 4已知o()是则(誓-小（ 答案：日 B.-3 c c0s(-585°) 8.sn496千sn570的值是 解标：B[cs(售-ca[x-（e-)】 解析：原式 c0s(360°+225) sin(360°+135)-sin(210°+360) -m(-)-] c0s225 5.(多选)已知角α和3的终边关于x轴对称，则下列 sin 135-sin 210 各式中不正确的是 c0s(180°+45°) A.sin a=sin B sin(180°-45)-sin(180°+30) B.sin(a-2x)=sin B - C.cos a=cos B -C0s45 sin45°+sin30° 2=2-2. D.cos(2x-a)=-cos B 解析：ABD[由角a和B的终边关于x轴对称，可 知B=-a+2kπ(k∈Z),故cosa=cosB,A、B、D都 答案：√2-2 不正确.] 9.已知f(x)= sinπx,(x<0), 6.(多选)定义：角0与9都是任意角，若满足0十9=π，则 f(x-1)-1,(x>0), 称0与p“广义互补”.已知sin(π十a)= 子，下列 则()一()+() 角B中，可能与角a“广义互补”的是（其中sina十 cos'a=1) ( 解析：f()=sm(吕*sn晋-合 A.sing= B.cos(π十3g》= 4 (得)()1-()2 C.sin(r-g》= 4 D.c0s(2π-3)= √15 =sn()2=-号 解析：ABD[:sin(x十a)=一sin&=一子 1 ()得)多-2 .'sin a=- ,若a十月=元，则3=元-a. 1 答案：2一2 ·27· 数学s·必修第二册 10.求下列各三角函数值. 所以f(-x)=-6cos(-x)+5sin2(-x)-4 (1)sin 1g)2os 29x cos(-x) --6cos x+5sin'z-4-f(), 10π sin 10 cos x 所以f(x)是偶函数， =-sin3 π 所以f(-m)=f(m)=2. 素养培优 SU YANG PEI YOU =sin 3 (2)cos 29x 4已知a)-m(+小号 6 =cos(4x+g 5π (1)分别求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值； (2)猜想f(2k一1)，f(2k),(k∈Z)的表达式，并对 6 2 猜想的结果进行验证。 11.设函数f(x)=asin(元.x+a)十bcos(元x+3)+4(其 中a,b,a,3均为非零实数)，若f(2025)=5,求 解：r)=ms(+3x+0）十am(-3x- f(2026)的值： 解：因为函数f(x)=asin(元x+a)十b·cos(元x十 =-2cos(3x+0 B)+4. 所以f(2025)=asin(2025m十a)+b·cos(2025元十3)+ 4=-asin a-bcos3+4=5,所以asin a+bcos B= 一1， 2cs(分x+ 所以f(2026)=asin(2026π+a)十b·cos(2026r+3) +4=asin a+bcos B+4=3. (3)-co) 能力提升 NENG LI TI SHENG =-2cos3x+0 12.化简下列各式 (1)sin cos6. (2)sin(-960°)cos1470°-cos(-240°)sin(-210°). =2cos(3x+0 解：(1)sin 19 3 cos6元 2)精8f2-1D=-2c(合r+】 元 f2)=2as(3x+0-. =sincos- 证明如下：f(2k一1) (2)sin(-960)cos1470°-cos(-240)sin(-210°) =-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°) +cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin60°cos30 +cos60°sin30°=1. 13.已知函数f(x)=6cos(r+x)5sin2(x-x)-4 且 =-2c0(3x+0 c0s(2元-x) f(m)=2,试求f(-m)的值. 解：易得f(x)的定义域关于原，点对称， 因为f(x)= 6c0s(元+x)+5sin2(π-x)-4 )+cos) c0s(2π-x) -6cos 2+5sin-4 =2cos(x+0 cos x 4.4 诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2.对诱导公式，能作综合归纳，体会出公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数 通过诱导公式的应用提 学推理意识和能力 升数学抽象和逻辑推理 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 素养 ·28·