1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 五维课堂 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课程标准 素养解读 1.利用单位圆和正弦函数、余弦函数的定义研究正弦函数、 通过运用性质解决与正弦、余弦函数 余弦函数的定义域、值域、最大（小）值、周期性和单调性 有关的问题，提升直观想象，逻辑推理 2.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二] 与角α终边相同的角的三角函 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用 数值 单位圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时， sin(a+2kπ)=sina,cos(a+2kπ)=cosa, 其与单位圆的交点坐标的符号就不同，因此其各 k∈Z. 个三角函数值的正负就不同，你能推导出sina, (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α+ c0sa在不同象限内的符号吗？ 2kπ，右边角为a. (2)由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变 化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函 数值将重复出现 (3)此公式也可以记为：sin(a十k·360)=sina, cos(a+k·360°)=cosa.其中k∈Z. [知识梳理] ?思考3.公式反映了“终边相同的角同一三 [知识点一]正弦函数、余弦函数的基本性质 角函数的值相等”，反之，若两个角某一三 根据正弦函数v=sina和余弦函数u=cosa的 角函数值相等，则这两个角终边相同吗？ 定义，我们不难从单位圆看出它们具有以下 性质： (1)定义域是R (2)最大值是1，最小值是一1，值域是[一1,1]： (3)它们是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，最 小正周期为2π； (4)正弦函数=s&在区间[2元一空，2x+] [知识点三] 正弦函数、余弦函数在各象限的 符号 ∈Z)上是增加的，在区间 [2kx+受，2kx+]∈上是减少的， 象限 第一 第二 第三 第四 三角函数 象限 象限 象限 象限 余弦函数u=cosa在区间[2kπ一π，2kπ](k∈ Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ十π](k∈Z) sina 上是减少的. cos a 2思考1.函数y=sinx的函数值可以取到1.5 吗？ [注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正； 余弦偏在一、四中. 2思考4.三角函数在各象限的符号由什么 决定？ 2.当a取何值时，正弦函数v=sina取到最值？ ·13· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 [预习自测] 2.函数y=√16-xZ+√sinx的定义域为( 1.下列函数是周期函数的有 A.R B.[0,x] ①y=sinx ②y=cosx③y=x2 C.[-4,-π] D.[-4,-r]U[0,π] A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 3.求y= 了osx∈[受，]的最大值为 课堂 。互动学案 -● 题型一】 正、余弦函数的定义域问题 题型三】 正、余弦函数的单调性荷题 [例1]求下列函数的定义域 (1)y=4-c0sx; [例2]y=sinc,x∈[一元，]的单调增区间为 (2)y=√J2sinx+1; ,单调减区间为 1 汇思路点拨]借助单位圆，理解正弦函数， (3)y=2+c0sx 余弦函数的单调性， (4)y=ln sin x. 尝试解答] 配思路点拔了“函数的定义域是使式子有意 规律方法 义的x的范围，从而构造不等式（组）求解. 利用单位圆中函数值的变化研究单调性 在单位圆中，对于正弦函数，当x由一 2 到5时，sinx由一1增加到1，当x由到 多x时sn由1减小到-1 ◇[变式训练] 2.求函数y=cosx一4的单调区间. 规律方法 通过单位圆观察角的终边与单位圆交点 坐标的变化，解出关于正、余弦函数的不 等式. ⊙[变式训练] 1.求下列函数的定义域 (1)y=√cosx; (2)y=lg(2sin x-1); 题型正弦函数、余弦函数的值域最值问题} [例3]已知函数y=一3sinx十1，求函数在区间 (3)y=1+sin x" [一答]上的最值 汇思路点拨]根据正弦函数的基本性质利 用单调性和最值求解。 ·14· 第一章三角函数 五维课堂兰 规律方法 规律方法 对于形如y=asin x十b的函数性质的研 1.判断三角函数值正负的两个步骤 究可借助正弦函数v=sinx的性质.要清 (1)定象限：确定角α所在的象限. 楚a,b对函数y=asin x十b的影响，若参 (2)定符号：利用三角函数值的符号规律， 数不确定还要注意分类讨论、 即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来 ⊙[变式训练] 判断 3.求函数y=2cosx-4的值域. 提醒：若sina>0,则a的终边不一定落 在第一象限或第二象限内，有可能终边 落在y轴的非负半轴上 2.正弦、余弦函数值的正负规律 终边在x轴上方的角的 终边在x轴下方的角的 正弦值为正 正弦值为负 上正 正弦函数值 一（下负 题型四 三角函数的符号 左负) 余弦函数值 (右正 [例4]判定下列各式的符号： 终边在y轴左侧的角的 终边在y轴右侧的角的 余弦值为负 余弦值为正 (1)sin191°+cos191°； (2)sin 2cos 3sin 4. ◇[变式训练] 汇思路点拨]角的大小确定了，所在的象限 4.判断下列各式的符号： 就确定了，三角函数值的符号也就确定了， (1)cos120°sin269°； 因此只需确定角所在象限，即可进一步确定 2s4sn-2） 各式的符号. 随堂。步步夯实 1函数y=2十了0sx的定义域为 () 5.求y=-2sinx,x∈[- ，]的最大值与最 A[,] 小值. B.R C.{xx≠kπ，k∈Z D{x≠x+晋∈z 2.函数f(x)=cosx一 的最小正周期为《) A.元 B.2元 c 3π 0. 3若罗<a<,则点Qosa,n位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.函数y=c0sa在[一晋，]上的最大值为 C温馨提 ,最小值为 学习至此，请完成配套训练 ·15参考答案 5 电{十=1得 Z1= x=- 51 (y=2x, 25 5 5 5 ①当角a的终边在第一象限时，c0sa=x1= sin a=y215 5 ②当角α的终边在第三象限时， 5 cos a=x2= ,sin a=y:=215 5 51 变式训练 3.解析：因为y=3x,sina<0,所以点P(m,n)位于y=3x在第 三象限的图象上，且m<0,n<0,n=3m. 所以OP=√m十n=√10m=-√10m=√10. 所以m=-1,n=-3,所以m-n=2. 答案：2 随堂步步夯实 1A[r=VB+16,0sa=二b= -b √62+16 =3.] 2.D[依题意可知点(2sin30°，-2cos30),即(1，-√3)，则r =√P+(-B)=2,因此sina=义=-5.] r 2 3.解析：因为sin0=- y 4+y 5 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案：一8 4.解析：因为点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina>0,cosa ≤0，所以{。.年得-2<a8 答案：-2<a≤3 5解：1D周为a=号=2x+号x 8 所以角ú的终边与号无的路边相同。 以原，点为角的顶点，以x轴非负半轴为 M 角的始边，逆时针花转号，与单位国交 于点P,则角a如图所示. (2)因为a=号x,所以点P在第二象限，由(1知∠A0P 经，进点P作PMLr轴于点M 则在R△OMP中，∠OMP=,∠MOP=牙，OP-1, 由直肩三商形的边肩关系：得OM=宁MP-9。 所以点P的生标为（合号） (3)根据正孩画数的定义有sin3=乞 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课前预习学案情境引入 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0;当a在第二象 限时，sina>0,cosa<0;当a在第三象限时，sina<0,cosa <0;当a在第四象限时，sina<0,cosa>0. 知识梳理[思考] 1.提示：不可以，y=sinx的最大值是1， 2.提示：当a=2kx十受k∈乙，正孩函教0=sina取得最大值1：当 。=2kx一受，k∈Z时，正孩通数u=sina取得最小值-1 ·2 五维课堂色 3提示：这两个角的终边不一定相同，加sina=sin月=子，则 有可能是a=30°，3=150° 4.提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角 α终边上任意一点的坐标来确定， 预习自测 1.C2.D3.0 课堂互动学案 [例1][解](1)由y=4一cosx知定义域为R. (2)由题意知2sinx十1≥0，即sinx≥- 在周期 2 [一三]内满足上选条件的角为x【晋得]由此 可以得到西数的定义城为[2一吾，2x+晋]∈D. (3)由2十c0sx≠0知c0sx≠-2， 又由cosx∈[-1,1]，故定义域为R (4)由题意知sinx>0.又y=sinx在[0,2π]内，sinx>0满 足0x<π，所以定义域为(2kπ，2kπ十π)(k∈Z) 变式训练 1.解：(1)要使y=√c0sx有意义，可得c0sx≥0，解 得{红-5+2km≤x≤受+2km,k∈Z} (2)要使y=lg(2sinx-1)有意义， 可得2sinx-1>0,即sm>2, 解得{吾+2x<<号+2e7☑ (3)要使y=1于sn有意义，可得sinx≠一-1， 所以函数的定义城为：{红x≠-受十2π，k∈Z} [例2][解析]在单位圆中，当x由-元到否时，sinx由0 减小到-1，再由一1增大到分所以它的单调增区间为 [一受，香]单调减区间为[-，登] [答案] [-登][-x-] 变式训练 2.解：由余弦函数u=cosx的单调性可知， y=c0sx一4在区间[2kπ一π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区 间[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上单调递减. [例3][解]因为正孩画教=sinx在区问[-否，受]上 单调递增，在区问[受，]上单调递减，且sim(晋) 血所以=在=一吾时取最小位 1 ，在x=受时取最大值1.故y=-3nx十1在 [一后]上的最大值是-3×()十1=号，最小值是 -3×1+1=-2. 变式训练 3.解：由余弦函数u=cosx的基本性质可知函数y=2c0sx 4当x=2kπ(k∈Z)时，取最大值为一2；当x=2kπ十π(k∈Z) 时，取最小值为一6，所以值域为[一6，一2]. [例4][解](1)，191°是第三象限角， .sin191°0，c0s191°0， .sin191°+cos191°0. (2):受<2<，受<3<，<4<经。 2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角. .',sin 2>0,cos 3<0,sin 4<0. .∴.sin2cos3sin4>0. 3 世五维课堂 变式训练 4.解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以c0s120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. 所以c0s120°sin269°>0. (2)因为<4<受，所以4孤度角是常三象限角， 所以c054<0,因为-28r=一6x十 4 4 所以-2要是第一象限角，所以sim(婴）>0， 4 所以cos4sin(-2）<0, 随堂步步夯实 1.B[:y=cosx的定义域为R. 六y=2+3cosx的定义城为R.] 2.B[fx)=cos(-晋)的最小正周期为2x.] 3.Bcos<0,sin a0 点Q在第二象限.] 4.解析：如图。 2T 6 ymnx=1. 1 ynin-2 答案：1-1 5.解：当x=一 时以=1. 当x=受时ym=-2 4.3诱导公式与对称 课前预习学案情境引入 提示B=π十a,P,与P2横坐标，纵坐标都互为相反数. 知识梳理知识点 (1)-sin a cos a -sin a -cos a sin a -cos a [思考] 1.提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化 记：函数名不变，符号看象限 2.提示：诱导公式中角α可以是任意角. 预习自测 1.A2.A 2 课堂互动学案 [例1[解](cos1号=os(2x+）=cos号 =o(x-晋)】 2 (2)sin(-855°)=-sin855°=-sin(2×360°+135°) =-sin135°=-sin(180°-45)=-sin45°=-g5 (3)原式=o(a-子)十si如(2x-晋)】 2 数学(s·必修第二册 变式训练 1.解：(1)c0s210°=c0s(180°+30)=-c0s30°= (2)s=sn(2x+）=sin要 3in(）=-sn(6x+)=-sn号 =-sin(+晋）sin晋- 1 (4)c0s(-1920)=c0s1920°=c0s(5×360°+120)=c0s120° 1 =c0s(180°-60°)=-c0s60°= 2 [例2][解] as(+c)-o[-(-)川 一 3 变式训练 2.解析：(1)当k为偶数时，A=2;当k为奇数时，A=一2.故A 构成的集合为{一2,2. (2)因为c0s(a-55°)= 3 <0,且a为第四象限角，所以a 一55°是第三象限角， 所以sin(a-55)=- √1-c0sa-559)=-2E】 3 所以sin(a十125°)=sin[180°+(a-55°)] =-sin(a-55)= 22 3 答案：(1)C (2)22 3 [例3][解] (1)f(a)-sin acos asin asin a. -cos asin a (2)因为cosa= 3 ，且a是第四象限角， 所以f(a)=sina=一 3)r()=sin(）-n(晋) 2 变式训练 3.解：(1)原式= cos asin(π十a) sina·cos(π十a) cosa·(-sina) =1. sina·(-cosa) (2)原式=sin4X360°+a)·cos(3X360°-a) cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] -sin a cos(a)cos a1. (-cosa)·sina -cos a 随堂步步夯实 1.C [cos 故选C.] 2A[sm(答+)=[-（停-门-sn(答-子J 3.解析：sin(-1560°)cos(-930)-cos(-1380°)·sin1410 =sin(-4×360°-120)c0s(-3×360°+150)-cos(-4× 360°十60°)sin(4×360°-30°) =sin(-120)cos150°-cos60°sin(-30) 答案：1 4.解析：sin(225°十a)=sin[(45°十a)十180] 5 =-sin(45°+a)=-1i3 答案：一吕 214·