1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 8.已知角a的终边经过点P(5m,12),且cosa= 能力提升 NENG LI TI SHENG 是则以 12.已知角a的终边上一点P(m,一√3)(m≠0)，且cosa 解析：由已知 5m =2m 25m2+12 3m<0且25m2 4 (1)求m的值； 十122=132，解得m=-1, (2)求sina. 答案：一1 解：(1)由题意知r=|OP|=√(-√5)+m=√3+m 9角a的终边经过点P(,4,且c0sa=言，则x (O为坐标原点)，因此cosa= sin a= 3+m 4 .2√2=√3+m,解得m=土5， 解析：由题意，得文 √+16 了，解得x=0或x (2)当m-5时，sina=- 6 土3.当x=0时，sina=1;当x=士3时，sina= 4 5 当m=-√5时，sina= 6 41 答案：0或士3 或1 13.已知点M是圆x2十y=1上的点，以射线OM为终 10.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴 边的角a的正弦值为一 求s的值 重合，角a的终边经过点P(4,一3)， 解：设点M的坐标为(x1,y).由题意，可知sina= 求sina,cosa. 解：由x=4,y=一3，得 r=OP|=√4+(-3)7=5. 所以x+y=1, 4 即十 2 1,解得1-学 11.已知角a的终边在直线y=2x上，求sina十cosa 所以cosa= 2 2 的值. 解：在直线y=2x上任取一，点P(a,2x)(x≠0)， 素养培优 SU YANG PEI YOU 则r=√十(2x)=√5x. 14.已知角a的终边与单位圆相交于点P(a,b),若sina ①若x>0,则r=√5.x,从而sina= 2x= 言求ab的值，并说明e是第几象限角。 √5x 解：由正弦函数的定义可知sm。=一手 cos a= ,.cosa十sina= √5.x 5 又公+8=1，所以公=1-6-器所以a=士号 ②若x<0,则r=√5.x,从而sina= 2x 5x 故a=6春当a=号6一青时，点P在第 回象，此时角a是第四家限角：当=一号山 cos a- 5.cosa十sina= 5 时，点P在第三象限，此时角Q是第三象限角. 4.2 单位图与正弦画数、余弦函数的基本性质 课程标准 素养解读 1.利用单位圆和正弦函数、余弦函数的定义研究正弦函数、余 通过运用性质解决与正弦、余弦函数有关的问题， 弦函数的定义域、值域、最大（小）值、周期性和单调性 2.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 提升直观想象，逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P13 [情境引入] 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0;当a在第二 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位圆 象限时，sina>0,cosa<0;当a在第三象限时，sina<0, 上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位圆的交 点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值的正负就 cosa0;当a在第四象限时，sina0,cosa>0. 不同，你能推导出sina,cosa在不同象限内的符号吗？ ·19· 数学s·必修第二册 [知识梳理] [知识点三] 正弦函数、余弦函数在各象限的符号 [知识点一]正弦函数、余弦函数的基本性质 根据正弦函数=sina和余弦函数u=cosa的定义， 象限 第 第二 第三 第四 我们不难从单位圆看出它们具有以下性质： 三角函数 象限 象限 象限 象限 (1)定义域是R; (2)最大值是1，最小值是一1，值域是[-1,1]： sin a (3)它们是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，最小正 周期为2x; cos a (4)正弦函数=ma在区间[2受，2x+受]∈刀 [注意] 按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦 上是增加的，在区间[2x+受2kx+]k∈) 偏在一、四中. ?思考4.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 上是减少的. 余弦函数u=cosa在区间[2kπ一π，2kπ](k∈Z)上 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限 是增加的，在区间[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上是减 的符号由角Q终边上任意二点的坐标来确定. 少的 预习自测] 2思考1.函数y=sinx的函数值可以取到 1.下列函数是周期函数的有 1.5吗？ 提示：不可以，y=sinx的最大值是1. ①y=sinx ②y=cosx③y=x2 2.当a取何值时，正弦函数v=sina取到最值？ A.①③ B.②③ 提示：当a=2kx十受，k∈，正弦函教u=sina C.①② D.①②③ 答案：C 取得谖大值1：当a=2x-受，k∈7时，正弦函 2.函数y=√16-x2十√sinx的定义域为 数v=sina取得最小值一1. A.R B.[0,x] [知识点二]与角α终边相同的角的三角函数值 C.[-4,-x] D.[-4,-x]U[0,π] sin(a+2k元)=sina,cos(a+2kr)=cosa,k∈Z. (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α+2kπ，右 解析：要使函数有意义，需满足 边角为a. 116-x2≥0 即∫ 4≤x≤4， (2)由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变化规 sinx≥0,2kπ≤x≤2kr+r(k∈Z). 律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复 故函数的定义域为[一4，-π]U[0,π]. 出现 答案：D (3)此公式也可以记为：sin(a十k·360°)=sina, c0s(a+k·360)=cosa.其中k∈Z. 3.求y= 3osx,x∈[受，]的最大值为 ?思考3.公式反映了“终边相同的角同一三角函 数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数值相 解析：结合单位园可知y=0sx在[受，]上是递减 等，则这两个角终边相同吗？ 提示：这两个角的终边不一定相同，如sina 的，故x= 受时函教取得最大值，ym=了0s受 =0. sin月=3，则有可能是a=30,8=150。 答案：0 课堂。互动学案 对应学生用书P14 题型一 正、余弦函数的定义域问题 (2)由题意知2sinx十120，即sinx≥二7在周期 [例1]求下列函数的定义域 (1)y-4-cos x; [受，]内满足上迷条件的角为工 (2)y=√2sinx+1; [一晋]由此可以得到画数的定义战为 1 (3)y=2+c0sx [2x-晋，2+]∈. (4)y=In sin z. (3)由2十c0s2≠0知c0sx≠-2， 思路点拨]“函数的定义域是使式子有意义的 又由cosx∈[一1,1]，故定义域为R. (4)由题意知sinx>0.又y=sinx在[0,2π]内， 的范围，从而构造不等式（组）求解. sinx>0满足0<x<π，所以定义域为(2kπ，2kπ十 [解](1)由y=4一cosx知定义域为R. π)（∈Z) ·20· 第一章三角函数 规律方法 [解] 因为正弦函数v=sinx在区间 通过单位圆观察角的终边与单位圆交点坐标的 变化，解出关于正、余弦函数的不等式 【一晋，受]上单调递增，在区间[受，]上单调遥 ◇[变式训练] 1.求下列函数的定义域 (1)y=√cosx; 在x=一 时取晟小值一日在一受时取最大值 (2)y=lg(2sin x-1); 1 (3)y=1sin z" 1.故y=3sinx+1在[晋，号]上的最大值是 解：(1)要使y=√cosx有意义，可得cosx≥0，解得 3×()+1=最小值是-3×1+1=-2. {红-受+2x≤≤受+2kx,k∈Z} 规律方法 对于形如y=asin x十b的函数性质的研究可 (2)要使y=lg(2sinx-1)有意义， 借助正弦函数v=sinx的性质.要清楚a,b对 可得2sinx-1>0,即sinx>) 函数y=asin x十b的影响，若参数不确定还要 注意分类讨论， 解得{吾+2x<x<+2kπ，k∈Z, ⊙[变式训练] 3.求函数y=2cosx-4的值域. (3)要使y= 1+sin x 有意义，可得sinx≠一1. 解：由余弦函数u=cosx的基本性质可知函数y= 2C0sx-4当x=2kπ(k∈Z)时，取最大值为一2；当 所以函数的定义域为：{红x≠-乏+2kπ，k∈Z x=2kπ十π(k∈Z)时，取最小值为一6，所以值域为 [-6,-2]. 题型二 正、余弦函数的单调性问题 题型四 三角函数的符亭 [例2]y=sin,x∈[-x,]的单调增区间为 [例4幻判定下列各式的符号： ,单调减区间为 (1)sin191°+cos191°： 思路点拨了“借助单位圆，理解正弦函数，余弦函 (2)sin 2cos 3sin 4. 数的单调性， 汇思路点拨]角的大小确定了，所在的象限就确 定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确 [解析] 在单位圆中，当x由一元到时，sinx由 定角所在象限，即可进一步确定各式的符号， 0减小到-1，再由一1增大到2.所以它的单调增 [解](1)191°是第三象限角， ∴.sin191°<0，cos191°<0， 区间为[一，]单调减区间为[-，] .sin191°+cos191°<0. (2):受<2<x,受<3<x<4< 2 [答案] 【-受]【-，-] 2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象 规律方法 限角. 利用单位圆中函数值的变化研究单调性.在单 .'sin 2>0,cos 3<0,sin 4<0. 位圆中，对于正弦函数，当x由一到时， .'sin 2cos 3sin 4>0. 2 规律方法 snz由-1带加到1，当x由受到号元时，sn 1.判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限. 由1减小到一1. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全 ◇[变式训练] 正，二正弦，三正切，四余弦”来判断 2.求函数y=cosx一4的单调区间. 提醒：若sina>0,则a的终边不一定落在第 解：由余弦函数u=c0sx的单调性可知， 一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴 y=cosx一4在区间[2k元-π，2kπ](k∈Z)上单调 的非负半轴上 递增，在区间[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上单调递减， 2.正弦、余弦函数值的正负规律 题型三正弦函数、余弦函数的值域最值问题 终边在x轴上方的角的 终边在x轴下方的角的 正弦值为正 正弦值为负 [例3]已知函数y=一3sinx+1,求函数在区间 (上正 正弦函数值 下负 [,]上的最值。 (左负 余弦函数值 、右正 汇思路点拨根据正弦函数的基本性质利用单调 终边在y轴左侧的角的 终边在y轴右侧的角的 性和最值求解。 余弦值为负 余弦值为正 21 数学s·必修第二册 ◇[变式训练] 4.判断下列各式的符号： (2)因为<4<，所以4孤度角是第三象限角， (1)cos120°sin269°； 所以c0s4<0,因为 23m=一6m十， (2)cos 4sin _23x) 4 解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以一 平是第-象限角：所以sn(2)>0, 所以c0s120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin269°<0. 所以os4n(-学a 所以c0s120°sin269>0. 随堂。步步夯实 对应学生用书P15 1.函数y=2+号0sx的定义域为 4.函数y=cos 在[一]上的最大值为 A[,] B.R 最小值为 解析：如图. C.{xx≠kπ，k∈Z D{lx≠x+受∈Z 2 T 解析：B[:y=cosx的定义域为R. y=2+ 3cosx的定义域为R.] 1 2.函数fx)=co(一看)的最小正周期为（ A.元 B.2x c ymax =1. 解析：B [f(x)=cos (一)的最小正期 2 为2元.] 答案1-号 3.若受a<x,则点0,sina)位于 5.求y= 2sinx,∈【吾，]的最大值与最 A.第一象限 B.第二象限 小值. C.第三象限 D.第四象限 解：当x=一 时，ynm=1, 6 解析：B[:受<a<,cos<0,sina>0. 点Q在第二象限.] 当x=受时m=一2. 课后。素养提升 对应学生课时P9 基础过关 JI CHU GUO GUAN 2.a-看"是*na=号”的 1.在[0,2]上满足sina≥5的a的取值范围是 A.充分而不必要条件 2 B.必要而不充分条件 ( C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A.o] [后] 解析：A[由a=吾，可得sina=名，由sina一 c[肾] n[晋 可得a=晋+26，kCZ或a-要+2，∈乙.不能 6 2,sin 解析：C'sin二号，sin红=，且o三simo 3 推出a=云故选A] 在[背，受]小上单调运增，在[受]上单调递减， 3.若对于任意实数x,都有2-sinx>a,则实数a的 取值范围是 () “在[0,2]上满足sm®≥汽的a的取值花国 A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(-1,1) D.[-1,1 是[ 解析：A[因为-1≤sinz≤1，所以1≤2-sinz≤ 3,又因为2-sinx>a恒成立，所以a<1.] ·22· 第一章三角函数 4.已知点P(sina,cosa)在第三象限，则角a的终边 7.函数y=2一3cosx的单调递减区间是 在 ( 解析：函数y=2一3cosx的单调递减区间即函数y A.第一象限 B.第二象限 =一c0sx的单调递减区间，也即函数y=cosx的 C.第三象限 D.第四象限 单调递增区间，即[2k元一π，2kπ](k∈Z). 解析：C[,点P(sina,cosa)在第三象限， 答案：[2k元一元，2kπ](k∈Z) .sina<0,且cosa<0, 1 由sina<0,知角a的终边在第三、四象限或y轴的 8.函数y=2cosx一1的最大值为 非正半轴上， 解析：，-1≤cosx≤1，.当cosx=1时函数y= 由c0sa<0,知角a的终边在第二、三象限或x轴 的非正半轴上， 0s1取得最大值-子 1 .角a的终边在第三象限.] 答案： 1 5.(多选)下列各三角函数值为负的是 ( A.sin(-100) B.cos(-220°) 9.函数y=√9-z2+ 1一的定义域为 C.sin(-10) D.cos 0 √/sin x 解析：AB[因为一100°是第三象限角， 解析：由题意得9一x≥0， 所以sin(-100°)<0； Isin >0, 因为一220°是第二象限角， 所以人3≤x≤3， 所以c0s(-220)<0; {2kπx<2kπ+元，k∈Z, 所以x∈(0,3]，即函数的定义域为(0,3]. 因为-10(2受-3小：所以-10是第二象限 答案：(0,3] 角，所以sin(-10)>0;cos0=1>0.故选AB.] 10.求函数y=√/一sinz十√cosx的定义域 6.(多选)下列命题不正确的是 ( 解：由题意知{sin之0'所以sin≤0且c0s A.若a,B都是第二象限角，且sina>sinB,则cosa 1cosx≥0， <cos B ≥0，所以角x的终边在第四象限或在x轴的非负 B.若a,3都是第三象限角，且cosa>cos3,则sina 半轴上或在y轴的非正半轴上，即函数的定义域 >sin B C.若a,3都是第四象限角，且sina>sinB,则cosa 为{2-吾<≤2，∈ cos B 11.比较大小： D.若a,3都是第一象限角，且cosa>cosB,则sina (1)sin),sin) >sinβ 解析：ABD[设角a,3的终边与单位圆分别交于 点A(u,v),点B(m,n).若a,3都是第二象限角，且 sina>sin3,即v>n,如图1，则u>m,即cosa> 解：(1)因为 <-<-希<0，且y=sm 2 cosB,故A错误；若a,B都是第三象限角，且cosa >cosB,即u>m,如图2，则<n,即sina<sinB, 在区间[一受，0]上是增画数， 故B错误；若a,3都是第四象限角，且sina>sin3, 即v>n,如图3，则u>m,即cosa>cosB,故C正 所以m()小m() 确；若a,B都是第一象限角，且cosa>cosB,即> (2)因为0< 2红< m,如图4，则v<n,即sina<sin3,故D错误.] 5 之，且y=cosx在 [0,号]上单调递减，所以c0s吾>c0s 2π A(u,D) 能力提升 B(m,n) NENG LI TI SHENG 12.已知sina 1 B(m,n) ,且lg(cosa)有意义. sin a (1)试判断角α的终边所在的象限： A(u,v 图1 图2 (②)若角e的终边上有一点M(管m且OM=1 (O为坐标原点)，求m及sina的值 1y 解：(1)由sina 1 sina得sina<0,由 1 B(m,n) lg(cosa)有意义，可知c0sa>0,所以角a的终边 A(u.) 在第四象限， A(山，D)x 0 (2)因为101=1，所以()】 十m2=1, B(m,n) 图3 图4 解得m=士生 ·23· 数学s·必修第二册 又a为第四象限角，所以m<0, (2)请以正弦函数y=sinx的性质为依据，并运用 从而m=一 5sin a=y= 4 m 函数的单调性定义证明：y=f(x)在区间 -5 13.已知点Psin a-cosa, sina在第一象限，在[0， 0,)上单润透或。 cos a 解：(1)因为函数f(x)= 1 2π)内，求a的取值范围. sin x' 所以sinx≠0， 解：'点Psin a-cosa, sin a cos a 所以x≠kπ，k∈Z,故函数的定义域为{xx≠kπ， 在第一象限， k∈Z). sin a-cos a>>0, 显然，f(x)的周期，即y=sinx的周期为2π. sin a0, 1 1 =一f(x), (cos a 由于满足f(-)=n(一刀 sin a 即a的终边在第一象限或第三象限，且sina> 故f(x)为奇函数 c0sa,如图， 由三角函数的定义知α∈ (2)因为正孩函数y=snx在区间(0，号)上单阴 (紧(. 递增，且f(x)的值域为(0,1)， 素养培优 SU YANG PEI YOU 设0<<a:<受，则0<sin<sinz,<1, 14.设函数f(x)=sin工 所以f(1)= 1 1=f(x2) sinsin 22 (1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶 即f(,)>f(x2), 性；（不必证明） 故y=f()在区间(0，受) 上单调递减. 4.3 该导公式与对称 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式（一）（二）（三） 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观 2.了解诱导公式的意义和作用 和数学抽象素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和 2.根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运 证明问题 算素养 课前。预习学案 对应学生用书P16 [情境引入] 续表 如图，作P,关于原点的对称 点P2,以OP2为终边的角3与角a 有什么关系？角3，α的三角函数 sin(a十π)= 值之间有什么关系？ sin(-a)= -sin a,cos(a sin(π-a) 提示B=元十a,P1与P2横坐标 公 -sin a, x)=-cos a, 纵坐标都互为相反数。 式 Slna,cos(π cos(-a)= sin(a-π)= a)=-cos a. [知识梳理] cos a. -sin a,cos(a- [知识点]诱导公式 π)=一c0sa. (1)诱导公式 公式一 公式二 公式三 (2)本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的 终 角的三角函数之间的关系。 角-a与角a 角a士元与角 角元一a与角 (3)作用： 关 的终边关于x a的终边关于 a的终边关 公式一 将负角转化为正角求值。 系 轴对称. 原点对称. 于y轴对称. 公式二 将0~2π的角转化为0~元的角求值， ® PAu,v) a+n P(u) 公式三 将受~元的角转化为0~受的角求值。 形 M o-a 1 p(u-v) (4)应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中. 24·